ПУАНКАРЕ Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) – французский математик, физик и философ науки, член Парижской Академии наук.* * * Ученый, достойный таковым называться, и прежде всего математик, испытывает в своей работе такие же впечатления, как и художник; его удовольствие столь

Жан Лафит (1782-1854) Жан Лафитт (Jean Lafitte) – самый известный французский пират, оперировавший в Мексиканском заливе в начале XIX века. Оставил яркий след в истории Нового Орлеана. План-карта Нового Орлеана. XVIII в.Родился в Порт-о-Пренсе на острове Гаити в 1782 году. Его отцом был

ПУАНКАРЕ, Анри (Poincar?, Henri, 1854–1912), французский математик и физик 518 Наука строится из фактов, как дом строится из кирпичей; но сумма фактов не есть наука, так же как груда кирпичей не есть еще дом. «Наука и гипотеза» (1909), гл. 9 ? Oster, p.

Выдающийся французский ученый Пуанкаре Анри был человеком, опередившим свое время. Ему принадлежит авторство 11 томов серьезнейших исследований, которые затрагивали едва ли не все математические области. В своих наработках ученый излагал теоретические основы, которые по сей день используются в научных исследованиях. Сегодня мы рассмотрим биографию французского математика и коротко познакомимся с его наработками.

Детство

Пуанкаре Анри родился 29 апреля 1854 года во Франции, в небольшом городе Сите Дюкаль около Нанси. Его отец Леон Пуанкаре был врачом и преподавателем медицинского факультета. Мать, Эжени Лануа, была домохозяйкой, и много времени посвящала детям. У Анри была сестра Алина. С раннего детства мальчик страдал рассеянностью. На протяжении всей жизни Анри эта проблема его сопровождала. Однако, когда он повзрослел, стало понятно, что рассеянность является свидетельством его удивительной способности погружаться в собственные мысли, размышлять и анализировать.

В раннем детстве Пуанкаре переболел дифтерией. Из-за осложнения, которое дала болезнь, он несколько месяцев даже не мог ходить и говорить. В этот тяжелый период он приучил себя обращать больше внимания на звуки. С годами эта особенность вылилась в то, что звуки у будущего ученого стали ассоциироваться с определенными цветами. У многих людей такая способность наблюдается в детстве, но уходит к зрелости. У Пуанкаре же она сохранилась на всю жизнь.

Домашнее образование

Постепенно мальчик поправился, начал говорить и ходить, однако физическая слабость его не покидала. Из-за пережитой болезни он стал робким и стеснительным. Первое образование он получил на дому благодаря А. Гинцелину, образованнейшему на тот момент человеку. Какой бы наукой они ни занимались, Анри редко делал записи и отлично считал в уме. Его не нужно было заставлять делать домашнее задание и загружать лишней информацией. Занятия Гинцелина с Анри выглядели как беседа взрослого человека с ребенком обо все на свете. Эти занятия поспособствовали еще большему развитию у Пуанкаре слуховой памяти. Болезненный робкий мальчуган быстро стал образованным и эрудированным парнем, обладающим индивидуальной манерой мышления. Кстати говоря, нелюбовь к письму у Анри сохранилась на всю жизнь.

Школа

Мальчик был настолько развитым, что его взяли сразу во второй класс лицея в Нанси. На тот момент классы считались от 10-го к 1-му, поэтому, если говорить более корректно, Анри поступил в 9-й класс. Педагоги лицея очень гордились им. Он без труда справлялся с любыми математическими задачами и писал интересные сочинения. Несмотря на то что преподаватель математики отмечал в Пуанкаре большой потенциал, будучи школьником, тот больше склонялся к гуманитарным предметам. В конечном итоге Анри перешел на гуманитарное отделение.

В июне 1870 года начались военные противостояния Франции с Пруссией, которые принесли французам много горя и разочарования. В эти времена отец Анри был в городе главным по медицине. Сын помогал ему в работе с ранеными солдатами. Он занимал должность помощника в амбулатории и личного секретаря Леона Пуанкаре.

События той ужасной войны развивались очень бурно и вызвали у шестнадцатилетнего юноши истинное потрясение. Свои переживания будущий ученый отобразил в диссертации «Как может нация возвыситься?», написанной по окончании обучения в гимназии.

Высшее образование

В 1871 году Пуанкаре Анри сдал вступительный экзамен на бакалавра по словесности с оценкой "хорошо". У него была возможность поступить на филологический факультет, но через три месяца молодой человек сдает экзамены на факультет естественных наук. Экзамен по математике он едва ли не провалил из-за своей рассеянности. Анри опоздал на него, и, растерявшись, стал рассказывать материал, который не касался поставленного ему вопроса. К неудаче парня отнеслись с пониманием, так как знали, что он способен на большее. Анри допустили к устному экзамену, на котором он показал себя во всей красе. В результате Пуанкаре получил степень бакалавра естественных наук. Во время обучения в классе элементарной математики он дополнительно изучал литературу и не единожды завоевывал первые места в математических состязаниях.

Политехническая и горная школы

Осенью 1873 года Анри стал студентом Политехнической школы. Первое время он был одним из лучших учеников, однако вскоре потерял свои позиции. Причиной тому стали несколько предметов, которые молодой ученый попросту не мог воспринимать всерьез. Среди них были черчение, рисование, а также военное искусство. Таким образом, Пуанкаре окончил школу не с самыми лучшими показателями. Позже он поступил в Горную школу, которая по тем временам считалась весьма престижным учебным заведением. Здесь Анри занимался кристаллографическими исследованиями.

В 1879 году молодой ученый защитил в Горной школе докторскую диссертацию, которая пришлась по душе профессору Сорбонны Г. Дарбу. Последний утверждал, что в одной работе Пуанкаре смог поместить столько материалов и идей, сколько хватило бы на несколько хороших диссертаций.

В апреле 1879 года Пуанкаре начал работать инженером в шахтах. Когда в одной из шахт произошел взрыв, вследствие которого погибли люди, Анри не побоялся спуститься на место взрыва, дабы исследовать причины и размеры трагедии. После защиты диссертации ученый начал преподавать математический анализ в Кане.

Семейная жизнь

Несмотря на безграничную любовь к науке, Пуанкаре находил время и для семьи. В 1881 году он женился на Луизе Полен д"Андеси. Свадьба была довольно пышной и состоялась в Париже. В 1887 году на свет появился долгожданный первенец, девочка, которую назвали Жанной. Через два года жена родила вторую девочку - Ивонну, а еще через год - третью, Генриетту. Спустя два года после рождения третьей дочери у четы Пуанкаре появился сын, которого назвали Лионом.

Семейная жизнь французского математика была переполнена любовью и покоем. «Гигантской работой мысли», которую ученый проделал на своем творческом пути, он во многом обязан своей супруге. Она всегда поддерживала в семье благоприятную атмосферу.

Математические заслуги

Серия заметок о фуксовых функциях, написанная Пуанкаре для французского журнала Compres Rendus, привлекла внимание именитых математиков (главным образом Вейерштрасса и Ковалевской) и вызвала в научном обществе неподдельный интерес. Следом за заметками последовало еще пять интересных работ на ту же тему.

Открыв в конечном итоге автоморфные функции, математик получил должность преподавателя в Парижском университете. Переехав во французскую столицу, двадцатисемилетний Пуанкаре занимается семьей, преподавательской деятельностью, и тесно сотрудничает с молодыми математиками, Эмилем Пикаром и Полем Аппелем. Наставником тройки новоиспеченных ученых становится профессор Эрмит.

Вскоре в Париже издается работа Пуанкаре Анри под названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями», которая состоит из четырех частей. Ранее данный метод оставался в научной среде без внимания. Ученый в этом трактате закладывает теорию устойчивости дифференциальных уравнений по малым параметрам и начальным условиям. В 1886 году герой нашего разговора возглавляет кафедру математической физики и теории вероятностей. А в 33 года он попадает в ряды французской Академии наук.

Изыскания ученого привели его к топологии. Он ввел в науку такие понятия, как число Бетти и фундаментальная группа, доказал формулу Эйлера-Пуанкаре и сформулировал общее понятие размерности. Французский математик сделал массу открытий в дифференциальной геометрии, алгебраической топологии, теории вероятностей и многих других направлениях математики. Ученый обнаружил связь между комформно-евклидовой моделью и задачами теории функций комплексного переменного. Это стало одним из первых серьезных приложений геометрии Лобачевского. Благодаря этому комформно-эвклидову модель часто называют «модель Пуанкаре - пространства Лобачевского». Кроме того Пуанкаре принадлежит авторство в работах по обоснованию принципа Дирихле.

С младых ногтей Пуанкаре интересовали звезды и законы, по которым свое движение осуществляют небесные тела. В 1889 году на свет вышел его трактат «Никогда не перейдут светила предписанных границ». Работа получила премию на международном конкурсе. Немного позже ученый написал трехтомный труд «Новые методы небесной механики». Кроме того, он опубликовал множество значимых трудов на тему устойчивости движения и фигур равновесия вращающейся гравитирующей жидкости. Ученый также создал метод интегральных инвариантов и многое другое. С 1896 года небесная механика вошла в его жизнь еще плотнее: Пуанкаре стал главой кафедры небесной механики в Сорбонском университете.

Физика

Огромным также было влияние французского ученого на физику. Несмотря на то что Пуанкаре и Эйнштейн пользуются разной степенью популярности, Пуанкаре задолго до Эйнштейна раскрыл в своих статьях основы такого понятия, как теория относительности. Главной из таких статей была работа «Измерение времени». Вместе с тем ученому очень нравилась работа со студентами. Он читал довольно объемный курс по физике, который в дальнейшем был опубликован в виде двенадцатитомной книги. В своих наработках он затрагивал все актуальные вопросы и предлагал свой подход к их решению. Физик и математик Пуанкаре предвосхитил многие умозаключения других ученых, живших позже.

В 1902 году вышла работа Пуанкаре Анри о науке, получившая название «Наука и гипотеза». Она вызвала огромный резонанс в научном кругу. Через два года, выступая с лекцией в Америке, Пуанкаре производит настоящий фурор. В статье под названием «Заметки Академии наук», вышедшей в 1905 году, он доказывает инвариантность уравнений Максвелла касательно преобразований Лоренца. М. Борн считал, что теория относительности не является заслугой какого-то определенного ученого. Это результат коллективной работы блистательных умов со всего мира. К ним, безусловно, относится и Пуанкаре Анри.

«Гипотеза Пуанкаре»

Французский математик и физик выдвинул за время своей деятельности немало интересных гипотез. Одна из них получила просто название «Гипотеза Пуанкаре». Она утверждала, что любое трехмерное, односвязное компактное многообразие безгранично гомеоморфно трехмерной сфере. Американский ученый Маркус Дю Сотой из Оксфорда считал эту гипотезу центральной проблемой как математики, так и физики. Он называл ее попыткой понять, какие формы может обретать вселенная. В конечном итоге гипотеза французского ученого попала в список «Семь Задач Тысячелетия». За решение каждой из этих задач институт Клэя выдвигал награду в 1 млн американских долларов.

Долгое время гипотеза Пуанкаре, сформулированная в 1904 году, не пользовалась особым вниманием. Первый интерес к ее разрешению был проявлен Генри Уайтхедом. Ученый даже объявил о своем доказательстве, но оно оказалось неверным. С тех пор многие пробовали доказать гипотезу, особенно в 60-х годах прошлого столетия. Огромное количество доказательств было опровергнуто.

В 2004 году российский ученый Григорий Перельман все-таки доказал гипотезу Пуанкаре. За это он был удостоен международной премии «Медаль Филдса». В 2010 году институт Клэя присудил российскому ученному обещанную награду, однако Перельман отказался от нее.

Американский математик Гамильтон также работал над доказательством, однако не довел дело до конца. В 2011 году Перельман настоял, чтобы награда института Клэя была присуждена Гамильтону, так как именно он создал математическую теорию, которой в своем доказательстве отчасти воспользовался Перельман.

Награды и звания

Заслуги Пуанкаре Анри, биография которого стала темой нашего сегодняшнего разговора, не единожды оценивались по достоинству. Он был обладателем таких премий:

• Поиселе (в 1885 году).
• Короля Швеции (в 1889 году).
• Жана Рейно (Парижская Академия Наук, 1896 год).
• Бойя (Венгерская Академия Наук, 1905 год).

Ученый был также награжден медалями Лондонского астрономического общества, Лондонского королевского общества и многими другими. Научные общества Британии, Франции и России считали честью членство Пуанкаре в своих рядах.

17 июля 1912 года великий ученый ушел из жизни. На тот момент ему было всего 58 лет. Пуанкаре был погребен на кладбище Монпарнас, в родовом склепе. В его честь были названы астероид, один из лунных кратеров, парижский Математический институт, парижская улица и множество математических терминов.

Заключение

Сегодня мы познакомились с жизнью и деятельностью выдающегося французского ученного. Благодаря тяге к знаниям, которая была заложена Пуанкаре с детства, он не только победил серьезные недуги, но и смог добиться феноменальных успехов в науке. Один этот факт заслуживает уважения.

Проблема, о которой пойдет речь сегодня, выбивается из ряда других проблем 2000 года: лишь она одна считается уже решенной. Правда, статус ее все-таки не до конца ясен, ведь «настоящей» публикации с решением так и не появилось. Приоритет Григория Перельмана – нашего соотечественника, доказавшего гипотезу Пуанкаре, – неоспорим, его доказательство признано ведущими экспертами, но формальные требования до сих пор не выполнены. Об этой почти детективной истории читателям расскажет врезка, а мы пока обратимся к самой задаче.

Гипотеза Пуанкаре – одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.

Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха]. Гипотезу Пуанкаре, на мой взгляд, из всех проблем 2000 года проще всего объяснить непрофессионалу; конечно, ей далеко до простого алгебраического тождества, поля для доказательства которого оказались воистину слишком узки, но я надеюсь, что даже в рамках этой небольшой статьи мы сможем полностью понять, в чем состоит (учитывая достижения Григория Перельмана – состояла) проблема. Итак, вперед.

Анри Пуанкаре – один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, – пост президента страны.

За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.

Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика – интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах – вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре – возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая – топологическая – к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.

Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин – от Солнца. На самом деле, конечно, топология – очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна – ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие – гомеоморфизм – также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм – это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин – в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера – поверхность трехмерного шара).

Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.

История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, – препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ,http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.

В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава – тяготит.

Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана [См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html ]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.

Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки – теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность – сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.

Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.

Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904–1960) – выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).

Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине – в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.

Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях – так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.

К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики – вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.

Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом – конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу («алгоритмическая проблема Пуанкаре»). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., «О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы», Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако строго доказать им удалось только, что наличие «волны» гарантирует – перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна» никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход – провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы – и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла – веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно – спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…

Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.

Леонид Левкович-Маслюк

Значение опыта и обобщения.

Опыт - единственный источник истины: только опыт может научить нас чему-либо новому, только он может вооружить нас достоверностью. Эти два положения никто не может оспорить.

Однако если опыт - все, то какое место остается для математической физики? Зачем экспериментальной физике это пособие, которое кажется бесполезным, а может быть, даже опасным? Тем не менее математическая физика существует; она оказала нам неопровержимые услуги. Это - факт, нуждающийся в объяснении.

Дело в том, что одних наблюдений недостаточно; ими надо пользоваться, а для этого необходимо их обобщать. Так всегда и поступали; однако поскольку память о бывших ошибках делала человека все более осмотрительным, то наблюдать стали все больше, а обобщать все меньше.

Каждое поколение смеется над предыдущим, обвиняя его в слишком поспешных и слишком наивных обобщениях. Декарт выражал сожаление по адресу философов-ионийцев; в свою очередь он вызывает улыбку у нас; без сомнения, когда-нибудь наши потомки посмеются над нами.

Но в таком случае нельзя ли нам уже теперь избрать путь, который устранил бы эти предвидимые нами насмешки? Нельзя ли нам удовольствоваться одним только чистым опытом?

Нет, это невозможно; такое стремление свидетельствовало бы о полном незнакомстве с истинным характером науки. Ученый должен систематизировать; наука строится из фактов, как дом из кирпичей; но простое собрание фактов столь же мало является наукой, как куча камней - домом.

И, прежде всего, ученый должен предвидеть. Карлейль * в одном месте пишет примерно так: "Только факт имеет ценность; Иоанн Безземельный прошел здесь: вот что заслуживает удивления, вот реальность, за которую я отдал бы все теории мира". Карлейль был соотечественником Бэкона; подобно последнему он постоянно пропагандировал свою веру for the God of Things as they are **, но Бэкон не сказал бы предыдущих слов. Это - язык историка. Физик скорее выразился бы так: "Иоанн Безземельный прошел здесь; это меня мало интересует, потому что больше это не повторится".

* Т. Карлейль (1795-1881) - английский, философ и историк. Основные работы относятся к первой половине XIX в. - Примеч. ред.

** В бога вещей, каковы они суть (англ.). - Примеч. ред.

* Решающий эксперимент (лат.). - Примеч. ред.

В самом деле, без обобщения невозможно и предвидение. Условия произведенного опыта никогда не повторяются в точности. Наблюденный факт никогда не начнется сначала; единственное, что можно утверждать, - это что при аналогичных условиях произойдет аналогичное явление. Поэтому, чтобы предвидеть, надо по крайней мере опираться на аналогию, т.е. обобщать.

Как бы робок ни был исследователь, ему необходимо делать интерполяцию; опыт дает нам лишь некоторое число отдельных точек: их надобно соединить непрерывной линией, и это - настоящее обобщение. Этого мало: проводимую кривую строят так, что она проходит между наблюденными точками - близ них, но не через них. Таким образом, опыт не только обобщается, по и подвергается исправлению; а если бы физик захотел воздержаться от этих поправок и на самом деле удовольствоваться голым опытом, то ему пришлось бы высказывать очень странные законы.

Итак, голые факты не могут нас удовлетворить; иными словами, нам нужна наука упорядоченная, или, лучше сказать, организованная.

Нередко говорят, что следует экспериментировать без предвзятой идеи. Это невозможно; это не только сделало бы всякий опыт бесплодным, но это значило бы желать невозможного. Всякий носит в себе свое миропредставление, от которого не так-то легко освободиться. Например, мы пользуемся языком, а наш язык пропитан предвзятыми идеями и этого нельзя избежать; притом эти предвзятые идеи неосознанны, и поэтому они в тысячу раз опаснее других.

Можно ли сказать, что, допустив вторжение вполне осознанных нами предвзятых идей, мы этим усиливаем вред? Не думаю; по моему мнению, они скорее будут служить друг другу противовесом, так сказать, противоядием; они вообще будут плохо уживаться друг с другом; одни из них окажутся в противоречии с другими, и, таким образом, мы будем вынуждены рассматривать проблему с различных точек зрения. Этого достаточно для нашего высвобождения; кто может выбирать себе господина, тот уже больше не раб.

Итак, благодаря обобщению каждый наблюденный факт позволяет нам предвидеть множество других; однако не следует забывать, что из них только один первый достоверен, а все другие только вероятны. Как бы прочно обоснованным ни казалось нам наше предвидение, все же мы никогда не имеем абсолютной уверенности в том, что оно не будет опровергнуто опытом, предпринятым в целях его проверки. Однако вероятность часто бывает достаточно велика, чтобы практически мы могли ею удовлетвориться. Лучше предвидеть без абсолютной уверенности, чем не предвидеть вовсе.

Из предыдущего ясно, что не следует упускать ни одного случая выполнить проверочные опыты. Но всякое экспериментальное исследование продолжительно и сопряжено с трудностями; работников мало; число же фактов, которые нам нужно предвидеть, неизмеримо: в сравнении с количеством их число возможных для нас проверок всегда будет величиной ничтожно малой.

Из того немногого, что может быть нами достигнуто непосредственно, нужно извлечь возможно большую пользу; нужно, чтобы каждый опыт позволял нам возможно больше увеличить как численность, так и вероятность предвидимых нами фактов. Задача состоит в том, чтобы повысить производительность научного познания.

Я позволю себе сравнить науку с библиотекой, которая должна беспрерывно расширяться; но библиотекарь располагает для своих приобретений лишь ограниченными кредитами; он должен стараться не тратить их понапрасну. Такая обязанность делать приобретения лежит на экспериментальной физике, которая одна лишь в состоянии обогащать библиотеку. Что касается математической физики, то ее задача состоит в составлении каталога. Если каталог составлен хорошо, то библиотека не делается от этого богаче, но читателю облегчается пользование ее сокровищами. С другой стороны, каталог, указывая библиотекарю на пробелы в его собраниях, позволяет ему дать его кредитам рациональное употребление; а это тем более важно ввиду их совершенной недостаточности.

Итак, вот в чем значение математической физики. Она должна руководить обобщением, руководить так, чтобы от этого увеличивалась производительность науки. Нам остается рассмотреть, какими путями она этого достигает и как может она это выполнить без опасных уклонений с правильного пути.

Единство природы.

Заметим прежде всего, что всякое обобщение до известной степени предполагает веру в единство и простоту природы. Допущение единства не представляет затруднений. Если бы различные части Вселенной не относились между собой как органы одного и того же тела, они не обнаруживали бы взаимодействий - они, так сказать, взаимно игнорировали бы друг друга, и мы, в частности, знали бы только одну из них. Поэтому мы должны задавать вопрос не о том, едина ли природа, а о том, каким образом она едина.

Относительно второго положения дело обстоит сложнее, нельзя быть уверенным, что природа проста. Можем ли мы без опасения считать это допущение справедливым?

Было время, когда простота закона Мариотта служила аргументом в пользу его точности. Сам Френель, сказавший однажды в беседе с Лапласом, что природа не беспокоится об аналитических трудностях, считал себя обязанным дать по этому поводу объяснения, чтобы не встать в слишком резкое противоречие с господствовавшим тогда мнением.

С тех пор взгляды сильно изменились; однако те, которые не верят, что законы природы должны быть просты, все же часто бывают вынуждены поступать так, как если бы они разделяли эту веру. Они не могли бы совершенно отрешиться от этой необходимости, не разрушая тем самым всякой возможности обобщения, а следовательно, и науки.

Ясно, что любой факт может быть обобщен бесконечным множеством способов, из которых надо выбирать, а при выборе можно руководствоваться только соображениями простоты. Возьмем самый обыденный пример - интерполяцию. Между точками, полученными из наблюдений, мы проводим непрерывную, возможно более плавную линию. Отчего мы избегаем угловых точек и слишком резких поворотов? Отчего мы не чертим кривую в виде ряда самых причудливых зигзагов? Оттого, что мы заранее знаем (или считаем, что знаем), что закон, который нужно отобразить, не может быть очень сложным.

Массу Юпитера можно определять или из движений его спутников, или из возмущений больших планет, или из возмущений малых планет. Беря среднюю из величин, полученных по каждому способу, найдем три числа, весьма близкие друг к другу, но все же разные. Можно было бы объяснить этот результат, предположив, что коэффициент притяжения не является одинаковым в этих трех случаях; тогда, конечно, наблюдения были бы воспроизведены гораздо лучше. Почему же мы устраняем такое объяснение? Не потому, что оно было бы нелепо, а потому, что оно страдает бесполезной сложностью. Его примут лишь тогда, когда оно станет обязательным; а пока этого еще нет.

Словом, любой закон обычно считается простым, пока не доказано противоположное. Я только что указал основания, которые внушили физикам это воззрение; но как оправдать его, стоя лицом к лицу с открытиями, каждый день указывающими нам новые детали явлений, все более сложные, все более обильные? Помимо этого, как примирить его с допущением единства природы? Ибо если все вещи находятся во взаимной зависимости, то отношения, в которых принимает участие такая масса объектов, не могут быть просты.

Изучая историю науки, мы замечаем два явления, которые можно назвать взаимно противоположными: то за кажущейся сложностью скрывается простота, то, напротив, видимая простота на самом деле таит в себе чрезвычайную сложность.

Что может быть сложнее запутанных движений планет и что может быть проще закона Ньютона? Природа, играя (как говорил Френель) аналитическими трудностями, комбинацией простых элементов создает тут какие-то гордиевы узлы. Вот пример скрытой простоты, которую надо было обнаружить.

Примерам обратных случаев нет числа. В кинетической теории газов рассматриваются быстро движущиеся частицы, траектории которых, вследствие постоянных столкновений, принимают самые причудливые формы; они бороздят пространство по всем направлениям. Доступный наблюдению результат есть простой закон Мариотта, каждый отдельный факт был сложным, но закон больших чисел восстанавливает простоту в средних величинах. Эта простота - кажущаяся; лишь грубость наших чувств мешает нам видеть действительную сложность.

Множество явлений повинуется закону пропорциональности - почему? Потому что в них встречается какая-нибудь весьма малая величина. Выведенный из наблюдений простой закон является в этом случае лишь применением общего аналитического правила, по которому исчезающе малый прирост функции пропорционален приросту независимой переменной. Так как в действительности наблюдаемые нами приросты не бесконечно малы, а только очень малы, то закон пропорциональности является лишь приближенным и простота - кажущейся. То же самое применимо к правилу суперпозиции малых движений, столь плодотворному по своим применениям и образующему, между прочим, основу оптики.

А сам закон Ньютона? Простота его, так долго остававшаяся скрытой, быть может, просто кажущаяся. Кто знает, не лежит ли в основании управляемых им явлений некоторый сложный механизм (может быть, соударения тонкой материи, возбужденной беспорядочными движениями), и не есть ли простота этого закона лишь следствие игры средних величин и больших чисел? Во всяком случае, трудно удержаться от мысли, что истинный закон содержит добавочные члены, которые делаются значительными на малых расстояниях. Если в астрономии ими можно пренебрегать сравнительно с основным членом, так что здесь закон Ньютона является во всей своей простоте, то это имеет место лишь вследствие огромности небесных расстояний.

Нет сомнения, что если бы наши методы исследования становились все более и более проникающими, то мы открывали бы простое под сложным, потом сложное под простым, потом опять простое под сложным и т. д., причем невозможно было бы предвидеть, каково будет последнее звено. Где-нибудь да необходимо остановиться; и чтобы наука была возможна, надо остановиться, когда мы пришли к простоте, Простота - единственная почва, на которой мы можем воздвигнуть здание наших обобщений. Но если эта простота только кажущаяся, то будет ли такая почва достаточно надежной? Это - вопрос, заслуживающий исследования. Итак, рассмотрим, какую роль играет в наших обобщениях уверенность в простоте. Пусть мы установили, что некоторый простой закон подтверждается для достаточно большого числа отдельных случаев; тогда мы отказываемся допустить, что такое удачное совпадение было простой случайностью, и заключаем отсюда, что закон этот должен быть верен вообще.

Кеплер заметил, что все наблюденные Тихо Браге положения одной из планет лежат на одном и том же эллипсе. Ему ни на мгновение не приходит мысль, что благодаря странной игре случая Тихо смотрел на небо как раз в те моменты, когда истинная траектория планеты пересекала этот эллипс.

В таком случае не все ли равно, реальна ли простота или за ней скрывается сложная истина. Пусть простота будет следствием влияния больших чисел, которое сглаживает индивидуальные различия, или пусть она зависит от малости некоторых величин, позволяющей пренебрегать некоторыми членами, - как бы то ни было, она не случайна. Реальна ли эта простота или призрачна - она всегда имеет причину. Мы можем рассуждать таким образом всегда, и если простой закон был подтвержден большим числом отдельных наблюдений, то у нас есть законное право предположить, что он и впрямь будет верен в аналогичных случаях. Отказаться от этого - значило бы для нас приписать случайности недопустимую роль.

Однако имеется одно отличие. Простота реальная, глубоко коренящаяся, устояла бы перед увеличением точности наших измерительных средств. Если бы мы считали природу простою в основе, мы должны были бы сделать заключение от простоты приближенной к простоте строгой. Так прежде и поступали; но мы больше не имеем на это права.

Так, например, простота законов Кеплера - только кажущаяся. Это обстоятельство не мешает нам со значительным приближением прилагать эти законы ко всем системам, подобным Солнечной системе, но оно препятствует им быть строго точными.

Роль гипотезы.

Всякое обобщение есть гипотеза. Поэтому гипотезе принадлежит необходимая, никем никогда не оспаривавшаяся роль. Она должна лишь как можно скорее подвергнуться и как можно чаще подвергаться проверке.

Если она этого испытания не выдерживает, то, само собой разумеется, ее следует отбросить без всяких сожалений. Так вообще и делают; но иногда не без некоторой досады. Но это чувство ничем не оправдано; напротив, физик, который пришел к отказу от одной из своих гипотез; должен был бы радоваться, потому что тем самым он нашел неожиданную возможность открытия. Я предполагаю, что его гипотеза не была выдвинута необдуманно, что она принимала в расчет все известные факторы, могущие помочь раскрыть явление! Если она не оправдывается, то это свидетельствует о чем-то неожиданном, необыкновенном; это значит, что предстоит найти нечто неизвестное, новое.

И была ли опровергнутая таким образом гипотеза бесплодной? Нисколько! Она, можно сказать, принесла больше пользы, чем иная верная гипотеза: не только потому, что она вызвала решающий опыт, но и потому, что, не будь ее, этот опыт был бы произведен наудачу, и в нем не увидели бы ничего чрезвычайного; только в списке фактов прибавился бы один лишний, не влекущий за собой никаких следствий.

Теперь выясним, при каком условии пользование гипотезой не представляет опасности? Одного твердого намерения руководиться опытом еще недостаточно; этим еще не исключается возможность влияния опасных гипотез; такими в особенности являются те, которые вводятся неосознанно, принимаются молчаливо, почему мы и не можем от них избавиться. Здесь-то и обнаруживается еще одна услуга, которую нам может оказать математическая физика. По свойственной ей точности она вынуждает нас сформулировать все гипотезы, которые мы иначе могли бы допустить, сами не подозревая этого.

Заметим, с другой стороны, что весьма важно не множить гипотез чрезмерно и вводить их только одну после другой. Если мы создали теорию, основанную на множестве гипотез, если опыт осуждает ее, то как найти между нашими предпосылками ту, которая должна быть изменена? Открыть ее было бы невозможно. И наоборот, если опыт согласуется с теорией, то можно ли считать, что подтверждены сразу все гипотезы? Можно ли надеяться из одного уравнения определить несколько неизвестных?

Равным образом нужно тщательно отличать различные виды гипотез. В числе их бывают, прежде всего, такие, которые вполне естественны и которых почти невозможно избежать; так, например, трудно не предположить, что влияние очень удаленных тел ничтожно, что малые движения подчинены линейной зависимости, что действие является непрерывной функцией причины. То же я скажу об условиях, вытекающих из понятия симметрии. Все эти гипотезы, так сказать, образуют общий фонд всех теорий математической физики. Если бы их пришлось оставить, то это уже после всех других.

Гипотезы второй категории я назову безразличными. В большинстве вопросов исследователь в самом начале своих вычислений предполагает, либо что материя непрерывна, либо, наоборот, что она состоит из атомов. Он мог бы изменить свое предположение на обратное, не меняя этих выводов; лишь получение их стало бы более трудным. Если теперь опыт подтверждает его заключения, станет ли он думать, что ему удалось доказать, например, реальность атомов?

В оптических теориях вводятся два вектора, из которых один рассматривается как скорость поступательного движения, другой - как вихрь (tourbillon). Это-пример безразличной гипотезы, так как те же самые выводы получаются и при обратном предположении; поэтому здесь согласие с опытом не может доказать, что действительно первый вектор есть поступательная скорость; оно подтверждает лишь, что величина, о которой идет речь, есть действительно вектор, - а это и есть единственная гипотеза, фактически введенная в число предпосылок. Мы рассматриваем этот вектор либо как скорость, либо как вихрь просто потому, что ограниченность нашего ума вынуждает нас облекать наши представления в некоторую конкретную форму. Пусть нам необходимо обозначить этот вектор буквой х или же у, подобно тому как результат опыта, каков бы он ни был, не дает оснований к тому, чтобы рассматривать вектор как скорость, он не может быть истолкован в том смысле, что его надо обозначать через х , а не через у .

Этого рода безразличные гипотезы никогда не представляют опасности, лишь бы только природа их была ясно понимаема. Они могут быть полезными то в качестве вычислительного приема, то как некоторая конкретная опора для нашей мыслительной способности. Поэтому нет оснований их осуждать.

Гипотезы третьей категории являются обобщениями в настоящем смысле слова. Дело опыта - подтвердить их пли опровергнуть. Как в том, так и в другом случае они являются плодотворными; но, по изложенным мною основаниям, это имеет место лишь при условии ограниченности их числа.

Происхождение математической физики.

Пойдем дальше, займемся более пристальным рассмотрением обстоятельств, обусловивших развитие математической физики. Прежде всего мы обнаруживаем, что усилия ученых всегда были направлены к тому, чтобы разложить сложное явление, данное непосредственно в опыте, на весьма большое число элементарных явлений.

Это осуществляется тремя различными способами. Сначала о разложении во времени: вместо того чтобы охватывать последовательное развитие явления в его целостности, стараются установить связь каждого момента с моментом, непосредственно предшествующим. Так, например, допускают, что нынешнее состояние мира полностью обусловливается его ближайшим прошлым, что на него, если можно так выразиться, прямо не влияет воспоминание об отдаленном прошлом. Благодаря этому постулату вместо непосредственного изучения всей последовательности явлений можно ограничиться составлением их "дифференциального уравнения", на место законов Кеплера становится закон Ньютона.

Далее стремятся расчленить явление по отношению к пространству. Опыт дает нам запутанную совокупность фактов, происходящих в пространстве некоторого объема. Надо постараться распознать в ней элементарное явление, которое, напротив, было бы локализовано в пределах весьма малой части пространства.

Несколько примеров, быть может, помогут лучше понять мою мысль. Никогда не достиг бы цели тот, кто захотел бы прямо изучить сложное распределение температур в охлаждающемся теле. Но все упрощается, если принять во внимание, что ни одна точка тела не может непосредственно передавать теплоту удаленной точке; теплота будет передаваться лишь точкам, лежащим в непосредственном соседстве; лишь постепенно тепловой поток достигнет других точек тела. Здесь элементарным явлением служит обмен теплоты между двумя смежными точками; этот процесс заключен в тесные пространственные пределы и является относительно простым, если ввести естественное допущение, что на него не влияет температура частиц, лежащих на заметном расстоянии.

Другой пример. Я сгибаю стержень; он принимает весьма сложную форму, прямое изучение которой было бы невозможно; я смогу приступить к ее исследованию, если замечу, что сгибание стержня является результатом деформации весьма малых элементов стержня и что деформация каждого из них зависит исключительно от сил, непосредственно к нему приложенных, а не от сил, действующих на другие элементы.

В этих примерах, которые можно было бы множить без труда, заключено допущение, что не существует действия на расстоянии (по крайней мере на значительном расстоянии). Это-гипотеза; она не всегда является верной - примером служит закон тяготения; поэтому ее надлежит подвергнуть проверке; если она подтверждается хотя бы приближенно, то она ценна, потому что она позволит нам обосновать математическую физику по крайней мере путем последовательных приближении.

Если такая гипотеза не выдерживает проверки, следует искать что-либо аналогичное, ибо есть и другие средства дойти до элементарных явлений. Если несколько тел действуют вместе, то возможно, что их действия независимы и просто складываются друг с другом либо как векторы, либо как скалярные величины. В таком случае элементарным явлением будет действие отдельного тела. В иных случаях задачу сводят к малым движениям, или - более общо - к малым вариациям, которые подчинены известному закону суперпозиции. Наблюденное движение разложится тогда на простые движения, например звук - на гармонические тоны, белый свет - на монохроматические составляющие.

Какими же средствами можно уловить элементарное явление после того как выяснилось, с какой стороны следует его искать?

Прежде всего, часто случается, что, для того чтобы его угадать или - лучше - чтобы угадать то, что есть в нем полезного для нас, вовсе нет необходимости проникать в самый механизм его; достаточно будет применить закон больших чисел. Обратимся опять к примеру распространения теплоты: каждая частица излучает по направлению к каждой соседней частице, но по какому закону - этого нам нет необходимости знать; всякое предположение относительно этого было бы гипотезой безразличной, а следовательно, бесполезной и не поддающейся проверке. В самом деле, благодаря свойствам средних величин и вследствие симметричности среды все различия сглаживаются и результат оказывается всегда одним и тем же, какая бы гипотеза ни была предложена.

Подобное имеет место в теории упругости и в теории капиллярных явлений: близкие друг к другу молекулы притягиваются и отталкиваются, но нам нет нужды знать по какому закону. Достаточно того, что это притяжение действует только на малых расстояниях, что число частиц весьма велико, что среда симметрична, а далее остается лишь пустить в ход закон больших чисел.

В приведенных примерах простота элементарного явления таилась под сложностью непосредственно наблюдаемого результата; но эта простота в свою очередь является призрачной и скрывает за собою весьма сложный механизм.

Лучшим средством дойти до элементарного явления был бы, очевидно, опыт. С помощью искусных экспериментальных приемов нужно было бы разъединить ту сложную связанность, какую природа предоставляет нашему исследованию, а затем тщательно изучать найденные и доведенные до возможной степени чистоты составные элементы. Примером может служить разложение естественного белого луча призмой на монохроматические лучи и поляризатором - на поляризованные лучи.

К несчастью, это не всегда возможно и достаточно. Иногда необходимо, чтобы умозрение предшествовало опыту. Я ограничусь одним примером, который всегда поражал меня: разлагая белый свет, я могу выделить узкую полосу спектра, но, как бы мала она ни была, она будет иметь известную ширину. Точно так же естественные монохроматические источники света дают нам линию тонкую, но не до бесконечности. Кто-нибудь мог бы предположить, что, подвергая экспериментальному изучению эти естественные источники, употребляя все более и более тонкие спектральные линии и в конце концов переходя, так сказать, к пределу, удалось бы достигнуть знания свойств строго монохроматического света. Но это было бы неточно. Пусть мы имеем два луча, испускаемые одним и тем же источником; пусть мы сначала поляризуем их во взаимно перпендикулярных плоскостях, затем приведем к одной плоскости поляризации и, наконец, заставим интерферировать. Интерференция произошла бы, если бы свет был строго монохроматичен; но при наших лишь приближенно монохроматических источниках интерференция не произойдет, как бы узка ни была взятая спектральная линия; чтобы явление имело место, она должна была бы быть во много миллионов раз уже, чем самые тонкие известные нам линии.

Таким образом, в этом случае переход к пределу обманул бы нас; здесь теоретическая мысль должна была идти впереди опыта, и если она успела в этом, то лишь потому, что инстинктивно руководилась соображением простоты.

Знание элементарного факта позволяет нам сформулировать задачу в виде уравнения; отсюда путем некоторых комбинаций остается только вывести заключение о сложном факте, подлежащем наблюдению и проверке. Это - не что иное, как интегрирование, которое уже составляет дело математика.

Можно задать вопрос: почему в физических науках обобщение так охотно принимает математическую форму? Причина этого теперь понятна: она состоит не только в том, что приходится выражать числовые законы, но и в том, что наблюдаемое явление есть результат суперпозиции большого числа элементарных явлений, подобных друг другу: значит, здесь вполне естественно появиться дифференциальным уравнениям.

Однако недостаточно, чтобы каждое элементарное явление подчинялось простым законам; все подлежащие сочетанию явления должны подчиняться одному и тому же закону. Только в этом случае математика может принести пользу, потому что она научит нас сочетать подобное с подобным. Цель ее - предсказывать результат сочетания, не проделывая его шаг за шагом на самом деле. Когда приходится повторять несколько раз одну и ту же операцию, математика позволяет нам избежать этого повторения и путем особого рода индукции заранее узнать нужный результат. Я изложил этот прием выше, в главе о математическом умозаключении. Однако для этого необходимо, чтобы все эти операции были подобны друг другу; в противном случае, очевидно, пришлось бы на деле выполнить их одну за другой и помощь математики оказалась бы ненужной.

Таким образом, возможность рождения математической физики обусловлена приблизительной однородностью изучаемого предмета. Это условие не выполняется в биологических науках: здесь мы не находим ни однородности, ни относительной независимости разнородных частей, ни простоты элементарного явления. Вот почему биологи вынуждены прибегать к иным приемам обобщения.

Глава Х
ТЕОРИИ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ

Значение физических теорий.

Люди, стоящие в стороне от научной работы, поражаются кажущейся эфемерностью научных теорий. Они видят их постепенный упадок после нескольких лет процветания, видят нагромождение все новых руин, предвидят, что и модные теперь теории в свою очередь скоро подвергнутся той же судьбе, и выводят отсюда заключение об их полной бесполезности. Они называют это банкротством науки. Но такой скептицизм поверхностен. Эти люди не отдают себе никакого отчета в том, что составляет цель и назначение научных теорий, иначе они поняли бы, что и руины еще могут быть для чего-нибудь полезны.

Казалось, не было теории более прочной, чем теория Френеля, которая рассматривала свет как движение в эфире. Однако теперь ей предпочитают теорию Максвелла. Значит ли это, что труды Френеля были бесполезны? Нет, ибо Френель не ставил своей целью узнать, существует ли реально эфир, имеет ли он атомистическое строение, так ли или иначе движутся его атомы; его цель была иная - предвидеть оптические явления. А этому требованию теория Френеля удовлетворяет теперь точно так же, как и до Максвелла. Ее дифференциальные уравнения всегда верны; способы интегрирования их всегда одни и те же, и получающиеся отсюда интегралы всегда сохраняют свое значение.

Пусть не говорят, что мы таким образом низводим физические теории до степени простых практических рецептов. Уравнениями выражаются отношения, и если уравнения остаются справедливыми, то это означает, что и эти отношения сохраняют свою реальность. Теперь, как и раньше, уравнения Френеля показывают нам наличие такого-то отношения между одной вещью и некоторой другой вещью; но только то, что мы прежде называли движением, теперь называем электрическим током. Но названия эти были просто образными выражениями *, мы подставляем их вместо реальных предметов, которые природа.навсегда утаила от нас. Истинные отношения между этими реальными предметами представляют собой единственную реальность, которую мы можем постигнуть; единственное условие состоит в том, чтобы те же самые отношения имели место как между этими предметами, так и между образными выражениями, которыми нам пришлось их заместить. Раз отношения нам известны, то уже не существенно, какое образное выражение мы считаем удобным применить.

* Стоящий во французском тексте термин image переводчики издания 1904 г. (А.И. Бачинский и Н.М, и Р.М. Соловьевы) и издания 1906 г. (А.В. Чернявский) перевели по смыслу: символ. - Примеч. ред.

Было предложено много теорий дисперсии; более ранние были несовершенны и содержали лишь малую долю истины. Затем явилась теория Гельмгольца; потом ее изменяли на разные лады, и сам Гельмгольц построил другую теорию, основанную на принципах Максвелла. Но при этом весьма замечательно, что все ученые после Гельмгольца приходили к одним и тем же уравнениям, хотя исходные позиции их были, по-видимому, весьма различны. Я решаюсь сказать, что все эти теории одновременно справедливы, не только потому, что они позволяют нам предвидеть одни и те же явления, но и потому, что они обнаруживают очевидность действительно существующего отношения между абсорбцией и аномальной дисперсией. То, что есть верного в предпосылках этих теорий, является общим для всех авторов: именно это утверждение того или иного отношения между некоторыми вещами, носящими у одних одно название, у других другое.

Кинетическая теория газов дала повод для многих возражений, на которые трудно было бы ответить, если бы мы имели претензию видеть в ней абсолютную истину. Но все эти возражения не уничтожат того, что она оказалась полезной, и это, в частности, проявилось в том, что она открыла нам истинное отношение между газовым и осмотическим давлением, -отношение, которое без того было бы глубоко сокрытым. В этом смысле ее можно назвать истинной.

Если физик констатирует противоречие между двумя теориями, одинаково дорогими ему, он иногда говорит; не станем об этом беспокоиться; пусть промежуточные звенья цепи скрыты от нас - мы будем крепко держать ее концы. Этот аргумент, напоминающий запутавшегося богослова, был бы смешон, если бы физическим теориям приписывался тот смысл, какой им придают профаны. Тогда в случае противоречия по меньшей мере одна из них должна была бы быть признана ложной. Это не необходимо, если искать в них только то, что следует искать. Может случиться, что и та и другая теории выражают действительные отношения, а противоречие лежит лишь в символах, в которые мы обрядили реальность.

Если кто-нибудь найдет, что этим слишком суживается область, доступная ученому, я отвечу: те вопросы, которых мы вам запрещаем касаться и о которых вы сожалеете, не только неразрешимы - они призрачны, они лишены смысла.

Пусть какой-то философ претендует на то, чтобы объяснять все физические процессы взаимными столкновениями атомов. Если бы он просто хотел этим указать, что в области физических явлений имеют место такие же отношения, как в случае взаимных столкновений большого числа шаров, и ничего более, то его утверждение было бы доступно проверке и могло бы оказаться справедливым. Но он хочет сказать еще нечто сверх того; и нам кажется, что мы его понимаем, потому что нам представляется, будто мы знаем, что такое удар; а это почему? - просто потому, что мы часто видели, как играют на бильярде. Станем ли мы думать, что бог, созерцающий свое творение, испытывает те же ощущения, что и мы при виде бильярдной партии? Если мы, с одной стороны, не хотим вкладывать в рассматриваемое утверждение столь странный смысл, а с другой - отказываемся от только что данного ограничительного толкования, которое является правильным, то это утверждение теряет всякий смысл.

Гипотезам подобного рода свойствен лишь метафорический смысл. Ученому нет надобности воздерживаться от них, подобно тому как и поэт не избегает метафор; но он должен ясно сознавать их истинное значение. Они могут быть полезны как средство достигнуть известного умственного удовлетворения; они безвредны, пока остаются безразличными гипотезами.

Предыдущие соображения разъясняют нам, почему некоторые теории, считавшиеся оставленными и бесповоротно осужденными опытом, вдруг возрождаются к новой жизни. Причина здесь та, что они выражали реальные отношения и не утратили этого свойства даже после того, как мы по тем или иным основаниям сочли нужным выражать те же отношения другим языком. Таким образом, они сохраняли некоторую скрытую жизнеспособность.

В течение последних пятнадцати лет, что было более смешного, наивного и устарелого, чем жидкости Кулона? И вот они теперь возрождаются под именем электронов. Чем отличаются эти постоянно наэлектризованные частицы от электрических частиц Кулона? Правда, у электронов электричество имеет носителя в виде некоторого крайне незначительного количества материи; иными словами, электроны обладают массой (впрочем, в настоящее время оспаривается и это их свойство). Но и Кулон не отрицал у своих жидкостей свойства обладать массой или по крайней мере делал это неохотно. Опрометчиво было бы утверждать, что вера в электроны более не померкнет; тем не менее было любопытно констатировать это неожиданное возрождение.

Но наиболее поразительным примером является принцип Карно. Карно установил его, исходя из ложных гипотез. Когда обнаружили, что теплота не обладает свойством неуничтожаемости, но что она может быть преобразована в работу, идеи Карно были совершенно оставлены; но затем Клаузиус возвратился к ним и доставил им окончательное торжество. Теория Карно в ее первоначальном виде выражала рядом с верными отношениями также и другие, которые были неточны, являлись обломками старых идей; но присутствие последних не нарушало реальности первых. Клаузиус просто откинул эти последние, как срезают у дерева засохшие ветви, и в результате появился второй основной закон термодинамики. Это были все те же отношения, хотя по крайней мере внешне они были отношениями уже между другими предметами. Даже рассуждения Карно не потеряли от этого своей пригодности - они ошибочно применялись к ложному содержанию, но форма, т.е. самое существенное, была правильна.

Из предыдущего выясняется также значение общих принципов, каковыми являются принцип наименьшего действия и принцип сохранения энергии.

Эти принципы имеют весьма высокую ценность; они были получены путем отыскания того, что является общим элементом в множестве физических законов; поэтому они образуют как бы квинтэссенцию бесчисленной массы наблюдений. Однако из их общности вытекает следствие, на которое я обращал внимание читателя в главе VIII и которое состоит в том, что они не могут не подтвердиться. Так как мы не можем дать общее определение энергии, то принцип сохранения энергии просто означает, что существует нечто, что остается постоянным. Если так, то сколько бы новых сведений о мире ни дал нам будущий опыт, мы заранее уверены, что будет нечто, остающееся постоянным, что мы сможем назвать энергией.

Значит ли это, что рассматриваемый принцип лишен смысла, что он обращается в тавтологию? Нисколько: он означает, что различные вещи, которым мы даем наименование энергии, связаны истинным сродством; он утверждает между ними реальное отношение. Но если принцип имеет смысл, то он может оказаться ложным; возможно, что мы не имеем права распространять до бесконечности область его: применения, и тем не менее оправдание его, пока он рассматривается в узком смысле слова, является заранее обеспеченным. По какому же признаку мы узнаем, что достигнут крайний предел его законного распространения? Просто потому, что он перестанет быть нам полезным, т.е. перестанет давать нам возможность верно предвидеть новые явления. Тогда мы будем уверены, что утверждаемое отношение не является уже реальным, ибо иначе оно было бы и плодотворным; опыт, не противореча непосредственному новому расширению принципа, тем не менее осудит его.

Физика и механицизм.

Большинство теоретиков обнаруживает постоянное предрасположение к объяснениям, заимствованным из области механики или динамики. Одни были бы довольны, если бы могли свести все явления к движению частиц, взаимно притягивающихся по известным законам. Другие более требовательны: они хотели бы устранить действия на расстоянии, у них частицы двигались бы по прямолинейным путям и сходили бы с этих путей только вследствие столкновений. Иные же, подобно Герцу, устраняют также и силы, но при этом подчиняют частицы геометрическим связям, похожим, например, на те, которые имеют место в наших суставах; они некоторым образом хотели бы свести динамику к своего рода кинематике. Словом, все хотели бы втиснуть природу в определенную форму, вне которой их ум не может найти удовлетворения. Но является ли природа достаточно гибкой для этого?

Мы исследуем этот вопрос в главе XII по поводу теории Максвелла. Мы увидим, что всякий раз, когда выполняются принцип сохранения энергии и принцип наименьшего действия, существует не только одно механическое истолкование, но и бесконечное множество их. На основании известной теоремы Кёнига о механизмах можно было бы показать, что существует бесконечное множество объяснений явлений как связями по способу Герца, так и с помощью центральных сил. Несомненно, столь же легко было бы доказать, что все явления всегда можно объяснить простыми соударениями.

Разумеется, для этого надо принять, что нельзя удовольствоваться общераспространенным представлением о материи * в том виде, как о ней дают нам знать наши чувства и движения которой мы наблюдаем непосредственно. Пришлось бы или предположить, что эта материя состоит из атомов, внутренние движения которых ускользают от нас, а доступным нашим чувствам оказывается лишь перемещение целого, или пришлось бы постулировать одну из тонких субстанций, которые под названием эфира или под каким-либо другим названием во все времена играли столь значительную роль в физических теориях.

* Под термином "материя" Пуанкаре имеет в виду вещество. - Примеч. ред.

Прежние невесомые жидкости - теплород, электричество и пр. - были оставлены, когда замечено было, что теплоте не свойственна неуничтожаемость. Но тут было и другое основание. Возведением их в ранг субстанций утверждалась их индивидуальность; они становились как бы разделенными друг от друга глубокой пропастью. Эту пропасть потребовалось засыпать, когда стало живее чувствоваться единство природы, когда были замечены тесные внутренние связи между всеми ее частями. Прежние физики размножением своих жидкостей не только создавали ненужные субстанции, но и разрывали реальные связи. Недостаточно, чтобы теория не утверждала неверных соотношений; надо, чтобы она не скрывала истинных соотношений.

А наш эфир - существует ли он в действительности? Известно, откуда явилась уверенность в его существовании. Свету требуется несколько лет, чтобы дойти до нас от удаленной звезды. В это время он уже не находится на звезде и еще не находится на Земле. Надо допустить, что он где-то находится, что он имеет, так сказать, некоторый материальный носитель,

Можно выразить ту же идею в более математической и более абстрактной форме. Мы констатируем лишь изменения, которым подвергаются частицы материи; например, мы видим, как наша фотографическая пластинка испытывает влияние процессов, совершавшихся в раскаленной массе звезды много лет назад. Но в обычной механике состояние изучаемой системы определяется состоянием ее в непосредственно предшествующий момент; благодаря этому система удовлетворяет известным дифференциальным уравнениям.

Напротив, если бы мы отрицали эфир, то состояние материального мира зависело бы не только от непосредственно предшествующего состояния, но и от состояний гораздо более давнего времени; такая система удовлетворяла бы уравнениям в конечных разностях. Чтобы избегнуть этого отклонения от общих законов механики, мы и придумали эфир,

Изложенное выше заставляет нас наполнить эфиром только междупланетное пространство, но не пропитать им внутренность самих материальных сред. Физо идет дальше. В своем опыте, заставляя интерферировать лучи, прошедшие через движущийся воздух или воду, он, по-видимому, показывает нам две различные среды, проникающие друг друга и смещающиеся одна относительно другой. Можно сказать, что здесь вы касаетесь эфира пальцем.

Однако можно вообразить опыты, которые ввели бы нас в еще более тесное соприкосновение с ним. Предположим, что закон Ньютона, утверждающий равенство действия и противодействия, будучи приложен только к материи, оказался неверным, и нам удалось это установить. Геометрическая сумма всех сил, приложенных ко всем материальным частицам, не равнялась бы нулю. Тогда пришлось бы либо изменить всю механику, либо ввести эфир так, чтобы действие, испытываемое материей, компенсировалось противодействием, оказываемым материей на что-то другое. Или далее, пусть будет доказано, что световые и электрические явления видоизменяются вследствие движения Земли. Тогда пришлось бы заключить, что ход этих явлений может указать не только относительные перемещения материальных тел, но и так называемые их абсолютные движения.

В таком случае стало бы необходимым допустить существование эфира, чтобы эти "абсолютные" перемещения были отнесены не к пустому пространству, а к некоторой конкретной вещи.

Придем ли мы к нему когда-нибудь? Я не надеюсь и сейчас скажу, почему; однако надежда на это не так нелепа, раз она свойственна другим.

Так, если бы теория Лоренца, о которой я буду говорить подробнее в главе XIII, была справедлива, то закон Ньютона прилагался бы не к одной только материи и отклонения от него не были бы очень далеки от значений, доступных наблюдению.

С другой стороны, влияние движений Земли на электрические и оптические явления служило предметом многих исследований. Результаты всегда были отрицательными. Но уже одно то, что эти опыты были предприняты, показывает, что не было твердой уверенности в результатах, а по господствующим теориям компенсация является лишь приближенной, и можно надеяться, что более точные методы принесут положительные результаты.

Я считаю такие надежды призрачными; тем не менее любопытно показать, что успех этого рода опытов некоторым образом открыл бы нам новый мир.

Теперь я позволю себе сделать отступление, чтобы объяснить, почему я, вопреки Лоренцу, не думаю, что когда-нибудь более точные наблюдения могут обнаружить что-либо иное, кроме относительных перемещений материальных тел. Произведенные ранее опыты имели целью обнаружить члены первого порядка. Результат был отрицательный; могло ли это быть делом случая? Этого никто не мог допустить; стали искать общее объяснение, и Лоренц нашел его: он показал, что члены первого порядка взаимно уничтожаются. Это не имело места для членов второго порядка. Тогда были произведены более точные опыты, которые снова дали отрицательный результат. Это опять не могло произойти случайно - требовалось объяснение, которое и было дано. За объяснением дело никогда не станет: гипотезы представляют собой неисчерпаемый фонд.

Это не все: кто не почувствует, что здесь случайности предоставляется очень большая роль? Разве не случайным является то странное совпадение, благодаря которому известное обстоятельство явилось как раз вовремя, чтобы уничтожить члены первого порядка, а другое, совершенно отличное, но столь же благоприятное обстоятельство взяло на себя труд уничтожить члены второго порядка? Нет, следует найти одно и то же объяснение для обоих случаев, и тогда естественно явится мысль, что то же будет иметь место равным образом и для членов высших порядков и что взаимное уничтожение всех членов будет точным и абсолютным.

Современное состояние науки.

В истории развития физики можно различать две противоположные тенденции. С одной стороны, ежеминутно открываются новые связи между предметами, которые, казалось, должны были навсегда остаться разделенными; отдельные факты перестают быть чуждыми друг другу; они стремятся систематизироваться в величественном синтезе. Наука движется по направлению к единству и простоте.

С другой стороны, наблюдение ежедневно открывает нам новые явления; они долго ждут своего места в системе, и иногда для этого бывает нужно сломать один из ее углов. Даже в хорошо известных явлениях, которые нашими грубыми чувствами воспринимаются как однородные, мы с каждым днем замечаем все более разнообразные подробности; то, что мы считали простым, делается сложным, и наука, по-видимому, идет по пути возрастания сложности и многообразия.

Какая из этих двух тенденций, которые, как кажется, поочередно торжествуют победу, в конце концов одержит верх? Если первая, то наука возможна; но a priori этого доказать нельзя, и можно опасаться, что после тщетных попыток насильно подчинить природу нашему идеалу единства мы, затопляемые постоянно повышающейся волной новых приобретений, будем принуждены отказаться от классификации их, оставить наш идеал и свести науку к простой регистрации бесчисленного множества рецептов.

На этот вопрос мы не можем ответить. Мы можем только сравнивать науку, какою она является сегодня, с ее вчерашним состоянием. Из такого рассмотрения, несомненно, можно извлечь некоторые предположения.

Вот уже полвека, как зародились самые широкие ожидания. Благодаря открытию закона сохранения энергии и ее превращений тогда только что было обнаружено единство сил природы. Оно показало также, что тепловые явления могут быть объяснены движениями молекул. Какова природа этих движений - этого точно еще не знали, но не сомневались, что скоро это станет известным. Относительно света задача казалась окончательно решенной.

Успехи в области электричества были не столь значительны. Связь электричества с магнетизмом была только что установлена. Это был значительный и окончательный шаг к единству. Но как электричество в свою очередь могло бы приобщиться ко всеобщему единству, в какой форме вошло бы оно во вселенский механизм? Относительно этого еще не было никакой идеи. Однако никто не сомневался, что такое сведение к единству возможно, - все в это верили. Наконец, что касается молекулярных свойств материальных тел, то приведение их к общему единству казалось еще более легким; однако все детали оставались в тумане. Словом, это были большие живые, но не вполне ясные надежды.

Что же мы видим теперь?

Прежде всего - первый прогресс, и прогресс огромный. Теперь известны отношения между электричеством и светом: три области - свет, электричество и. магнетизм, - прежде разделенные, объединились в одну и, по всей видимости, объединились окончательно.

Однако этот триумф стоил нам некоторых жертв. Световые явления входят в область электрических как частный случай; пока они оставались изолированными, легко было объяснять их движениями, которые считались известными во всех деталях; но теперь объяснение может быть принято лишь тогда, когда оно может без труда охватить всю область электричества. А вот это не обходится без трудностей.

Наиболее удовлетворительной из всего, что мы имеем, является теория Лоренца; эта теория, как мы это увидим в последней главе, объясняет электрический ток движением малых наэлектризованных частиц; она, бесспорно, лучше всех истолковывает известные нам факты, освещает больше реальных отношений, чем любая другая, и свойственные ей черты войдут в наибольшем числе в будущее окончательное построение. Тем не менее ей свойствен отмеченный уже выше крупный недостаток: она противоречит ньютонову закону действия и противодействия; или, точнее, по мнению Лоренца, этот закон приложим не только к самой материи; чтобы он оправдывался, надо принимать в расчет действие эфира на материю и противодействие, оказываемое материей на эфир. Но до новых открытий представляется вероятным, что положение вещей не таково.

Как бы то ни было, благодаря Лоренцу результаты, полученные Физо при исследовании оптических свойств движущихся тел, законы нормальной и аномальной дисперсии и законы поглощения света оказываются связанными как между собой, так и с другими свойствами эфира, и эта связь без сомнения более не порвется. Посмотрите, с какой легкостью новое явление Зеемана нашло в этой теории готовое место и даже помогло ввести в систему фарадеево магнитное вращение, не повиновавшееся усилиям Максвелла; эта легкость доказывает, что теория Лоренца не есть искусственное построение, обреченное на разрушение. Ее, возможно, придется изменить, но не разрушить.

Однако Лоренц не имел иных притязаний, как только обобщить в едином целом всю оптику и электродинамику движущихся тел; он не имел в виду дать им механическое истолкование. Лармор идет дальше: сохраняя существенные черты теории Лоренца, он, так сказать, прививает к ней идеи Мак-Келлафа (MacCullagh) о направлении движений эфира. С его точки зрения, скорость эфира имеет те же направление и величину, что и магнитная сила. Тем самым становится известной скорость эфира, поскольку свойства магнитной силы доступны опыту. Как бы остроумна ни была эта попытка, недостатки теории Лоренца здесь сохраняются и даже увеличиваются. По Лоренцу, мы не знаем характера движений эфира и благодаря этому незнанию можем предполагать их такими, чтобы, компенсируясь движениями материи, они восстанавливали равенство действия и противодействия. По Лармору, мы знаем движения эфира и можем констатировать, что компенсация не имеет места.

Если попытка Лармора, как я считаю, не имела успеха, то означает ли это невозможность механического истолкования? Нисколько: я уже говорил раньше, что раз данное явление подчиняется принципу сохранения энергии и принципу наименьшего действия, оно допускает бесчисленное множество механических истолкований: то же самое имеет место и для световых и электрических явлений. Но этого недостаточно: чтобы механическое истолкование было пригодным, надо, чтобы оно было простым; для отбора между всеми возможными истолкованиями надо иметь еще и другие основания, кроме простой необходимости отбора. И вот, теории, которая удовлетворяла бы этому условию и, следовательно, могла бы быть на что-нибудь пригодной, мы еще не имеем. Следует ли сожалеть об этом? Это означало бы забыть, какую цель мы преследуем; истинная, единственная цель науки - раскрытие не механизма, а единства.

Поэтому нам следует ограничить наши притязания; не будем гнаться за механическим истолкованием, удовлетворимся указанием на то, что мы всегда могли бы его достигнуть, если бы пожелали. В этом мы имели бы успех: принцип сохранения энергии постоянно подтверждается; к нему присоединился и второй принцип, принцип наименьшего действия, облеченный в подходящую для физики форму. Он также постоянно подтверждался, по крайней мере для обратимых явлений, подчиненных уравнениям Лагранжа, т.е. наиболее общим законам механики.

Необратимые явления гораздо более непокорны. Однако и они упорядочиваются и стремятся войти в общее единство; озаривший их свет исходил из принципа Карно. Термодинамика долгое время ограничивалась изучением расширения тел и изменения их состояния. С некоторого времени она стала смелее и значительно расширила свою область. Мы обязаны ей теорией гальванического элемента и теорией термоэлектрических явлений; во всей физике нет ни одного уголка, не исследованного ею; она захватила даже химию. Повсюду царят одни и те же законы; повсюду под кажущимся разнообразием мы открываем принцип Карно и удивительное по своей абстрактности понятие энтропии, которое имеет столь же универсальный характер, как и понятие энергии, и которому, как и понятию энергии, по-видимому, соответствует какая-то реальность. Казалось, лучистая теплота должна была избежать такого подчинения; но в последнее время мы видели, что и она покорилась тем же законам.

На этом пути нам открылись новые аналогии, которые часто простираются до деталей: омическое сопротивление уподобляется вязкости жидкостей; гистерезис - трению твердых тел. Во всех случаях трение является образцом, которому подражают разнообразнейшие необратимые явления, и это сродство отличается реальностью и глубиной.

И для этих явлений искали механическое истолкование в собственном смысле, но почти без успеха. Чтобы найти его, нужно было предположить, что необратимость есть лишь видимость, что элементарные явления обратимы и подчиняются известным законам динамики. Но число элементов чрезвычайно велико; они постоянно перемешиваются между собой, так что нашему грубому зрению кажется, что все стремится к однообразию, т.е. что все движется в одном направлении без надежды на возврат. Таким образом, кажущаяся необратимость есть лишь следствие закона больших чисел. Лишь существо, одаренное бесконечно острыми чувствами, как воображаемый Максвеллом демон, могло бы распутать этот запутанный клубок и повернуть мировой процесс в обратном направлении.

Это представление, связанное с кинетической теорией газов, стоило больших усилий и все же в общем было не очень плодотворно; быть может, оно еще станет таковым. Здесь не место рассматривать, не ведет ли оно к противоречиям и соответствует ли оно истинной природе вещей.

Во всяком случае, отметим оригинальные идеи Гуи (Gouy) о броуновском движении. Согласно Гуи, это своеобразное движение избежало бы подчинения принципу Карно. Колеблемые им частицы меньше по размерам, чем петли нашего запутанного клубка; поэтому эти частицы были бы в состоянии распутать их и таким образом дать задний ход мировой машине. Тем самым как бы была видна работа максвеллова демона.

Резюмируя предыдущее, скажем, что известные раньше явления систематизируются все лучше и лучше. Но и новые явления требуют себе места; большинство их, подобно явлению Зеемана, нашло его тотчас же. Но мы имеем также катодные лучи, рентгеновские лучи, лучи урана и радия. Тут целый мир, о существовании которого никто и не догадывался. Всех этих неожиданных гостей надо определить к месту!

Никто не может еще предвидеть, какое именно место они займут. Но я думаю, что они не разрушат общего единства, а скорее дополнят его собою. В самом деле, с одной стороны, новые излучения представляются связанными с явлениями люминесценции; они не только возбуждают флюоресценцию, но иногда возникают при тех же условиях, что и эта последняя. Далее, они состоят в родстве с теми причинами, которые заставляют проскакивать искру под действием ультрафиолетового света. Наконец (и это особенно важно), во всех этих явлениях предполагают участие настоящих ионов, правда, обладающих несравненно более значительными скоростями, чем скорости ионов в электролитах. Все это довольно неясно; но точность придет со временем.

Фосфоресценция, действие света на искру были до сих пор областями, сравнительно изолированными и поэтому менее привлекавшими исследователей. Теперь можно надеяться, что мы близки к построению нового пути, который облегчит их связь с универсальной наукой.

Мы не только обнаруживаем новые явления, но и в тех, которые считались известными, нам открываются неожиданные аспекты. В свободном эфире законы сохраняют свою величественную простоту; но материя в собственном смысле представляется все более и более сложной; все, что о ней говорится, всегда имеет только приближенное значение, и наши формулы ежеминутно требуют все новых членов.

Тем не менее это не разрушает общего плана. Отношения, установленные между вещами в предположении простоты последних, сохраняются и после того, как мы узнаем об их сложности, - а только это и важно. Правда, наши уравнения становятся все более и более сложными, для того чтобы по возможности ближе подойти к сложности природы; но в отношениях, которые позволяют выводить одни уравнения из других, не произошло никаких перемен. Одним словом, форма уравнений устояла.

Возьмем в качестве примера законы отражения света. Френель вывел их из простой и увлекательной теории, которая, по-видимому, подтверждалась опытом. Впоследствии более точные исследования доказали, что это подтверждение было лишь приближенным, и обнаружили повсюду следы эллиптической поляризации. Но тотчас же благодаря той точке опоры, которую мы имели в первом приближении, найдена была причина этих аномалий, состоящих в наличии поглощающего слоя: в существенных чертах теория Френеля сохранила свое значение.

Здесь только нельзя удержаться от следующего соображения. Все эти отношения остались бы незамеченными, если бы с самого начала существовала догадка о сложности взаимодействующих объектов. Давно уже было сказано, что если бы инструменты Тихо были в десять раз точнее, то мы никогда не имели бы ни Кеплера, ни Ньютона, ни астрономии. Для научной дисциплины составляет несчастье возникнуть слишком поздно, когда средства наблюдения стали слишком совершенными. В таком положении ныне находится физическая химия: третий и четвертый десятичные знаки причиняют большие затруднения ее основателем: по счастью, это - люди крепкой веры.

По мере того как продвигается изучение свойств материи, мы видим, как вступает в свои права идея непрерывности. Со времени работ Эндрюса и ван-дер-Ваальса мы уяснили способ, каким происходит переход от жидкого состояния к газообразному: этот переход не является внезапным. Точно так же нет и пропасти между жидким и твердым состояниями; в Трудах последнего съезда физиков наряду с работой о затвердевании жидкостей мы встречаем доклад о текучести твердых тел.

При такой тенденции простота, без сомнения, утрачивается: прежде некоторое явление изображалось несколькими прямыми, теперь приходится состыковывать эти прямые при помощи более или менее сложных кривых. Зато очень выигрывает единство. Эти разрозненные категории успокаивали ум, но не удовлетворяли его.

Наконец, физические методы завоевали новую область - химию; возникла физическая химия. Она еще очень молода, но уже видно, что она позволит нам связать друг с другом такие явления, как электролиз, осмос, движение ионов.

Что можно заключить из этого беглого очерка? То, что в итоге произошло приближение к единству; правда, движение было не таким быстрым, как этого ожидали пятьдесят лет назад, самые пути не всегда совпадали с ожидаемыми; но в конце концов приобретения оказались весьма значительными.

Глава XI
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Без сомнения, читатель будет удивлен, встретив здесь размышления об исчислении вероятностей.

Какое отношение может оно иметь к методу физических наук? А между тем вопросы, которые я хочу поднять, не разрешая их, естественно встают перед философом, желающим размышлять о физике, и уже в двух предыдущих главах я принужден был несколько раз использовать выражения: "вероятность" и "случайность".

Предвидение фактов, говорил я выше, может быть только вероятностным.

Уже одно название "исчисление вероятностей". представляет собой пародокс; вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают; как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний? Между тем многие выдающиеся ученые занимались этим вычислением, и никто не станет отрицать, что наука уже извлекла из него некоторую пользу. Как же объяснить это явное противоречие?

Была ли определена вероятность? И может ли она быть определена? И если нет, то как мы решаемся рассуждать о ней? Определение, - скажут, - очень просто: вероятность какого-нибудь события есть отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию, к полному числу возможных случаев.

Простой пример даст нам понять, как неполно это определение. Я бросаю две игральные кости; какова вероятность того, что по крайней мере на одной из них выпадет 6? Каждая кость может выпасть шестью различными способами: число возможных случаев есть 6 X 6 = 36; число благоприятствующих случаев есть 11, вероятность равна 11/36.

Таково правильное решение. Но не могу ли я с таким же успехом сказать: числа очков, выпавшие на обеих костях, могут образовать (6X7)/2=21 различных комбинаций; среди этих комбинаций 6 благоприятствующих; вероятность равна 6/21.

Почему первый способ рассчитывать возможные случаи более законен, чем второй? Во всяком случае наше определение нам этого не указывает.

Таким образом, приходится дополнить это определение, говоря: "...к полному числу возможных случаев при условии, чтобы эти случаи были равновероятны". И вот мы пришли к определению вероятного при помощи вероятного же.

Как мы узнаем, что два возможных случая равновероятны? Не является ли это результатом некоторого условного соглашения? Если мы в начале каждой проблемы явно укажем условное соглашение, то все пойдет хорошо; нам придется только применять правила арифметики и алгебры, и мы доведем вычисление до конца так, что результат не оставит места никакому сомнению. Но если мы желаем сделать малейшее применение этого результата, то необходимо будет доказать, что наши условные соглашения были законны, и мы как раз натолкнемся на то затруднение, которое думали обойти.

Нам могут сказать: простого здравого смысла достаточно чтобы указать, какое соглашение следует допустить. Но вот Бертран, курьеза ради, разобрал простую задачу: "Какова вероятность того, чтобы в окружности хорда была больше стороны вписанного равностороннего треугольника?" Знаменитый геометр допустил последовательно два соглашения, одинаково, по-видимому, внушаемые здравым смыслом, и нашел в одном случае 1/2, в другом 1/3.

Заключение, которое по всей видимости вытекает из всего этого, состоит в том, что исчисление вероятностей есть наука бесполезная, что нужно с недоверием относиться к тому неясному инстинкту, который мы называем здравым смыслом и к которому обращаемся при установлении наших соглашений.

Тем не менее мы не можем подписаться под этим заключением; мы не можем обойти этот неясный инстинкт; без него наука была бы невозможна, без него мы не могли бы ни открыть закон, ни применять его. Имеем ли мы, например, право говорить о законе Ньютона? Без сомнения, многочисленные наблюдения согласуются с ним; но не есть ли это результат простой случайности? И далее, откуда мы знаем, что этот закон, верный на протяжении стольких веков, будет верным и на будущий год? На это возражение вы можете лишь ответить: "это очень мало вероятно".

Но примем некий закон; я верю, что, опираясь на него, я могу вычислить положение Юпитера на целый год. Однако имею ли я на это право? Кто мне сказал, что за это время какая-нибудь гигантская масса, наделенная огромной скоростью, не пройдет вблизи Солнечной системы и не произведет непредвиденных возмущений? И здесь ничего не остается ответить, как только: "это очень мало вероятно".

С этой точки зрения все науки суть только бессознательные приложения исчисления вероятностей; осудить это исчисление - значит осудить всю науку в целом.

Я не стану долго останавливаться на научных проблемах, где участие исчисления вероятностей является более очевидным.

Такова прежде всего задача интерполяции, где по известному числу значений функции стараются определить промежуточные значения. Упомяну также о знаменитой теории погрешностей наблюдений (к которой еще вернусь позднее), о кинетической теории газов - этой общеизвестной гипотезе, по которой предполагается, что каждая газовая молекула описывает крайне сложную траекторию, но где по свойству закона больших чисел явления, взятые в среднем - в форме, единственно доступной для наблюдения, - подчиняются простым законам, каковы законы Мариотта и Гей-Люссака.

Все эти теории покоятся на законах больших чисел, так что падение исчисления вероятностей, очевидно, увлекло бы их за собой. Правда, они представляют только частный интерес и, за исключением интерполяции, это были жертвы, с которыми можно было бы примириться. Но, как я указал выше, речь шла бы не об этих только частных жертвах - речь шла бы о всей науке, законность которой была бы подвергнута сомнению.

Я знаю, что мне могли бы сказать: "Мы ничего не знаем и все-таки мы должны действовать. Но мы не имеем времени заняться исследованием, достаточным для того, чтобы рассеять наше незнание; кроме того, подобное исследование потребовало бы бесконечного времени. Следовательно, мы должны решаться, не обладая знанием; надо действовать наудачу и следовать правилам, не слишком им доверяя. Я знаю не то, что такая-то вещь истинна, но то, что для меня все же лучше действовать так, как если бы она была истинна". Исчисление вероятностей и, следовательно, наука имели бы не более как только практическое значение.

К сожалению, таким путем трудность не была бы устранена. Игрок желает попытать счастья, он спрашивает у меня совета. Если я ему дам совет, я буду руководствоваться исчислением.вероятностей, но я не гарантирую ему успеха. Это то, что я назову субъективной вероятностью. В этом случае можно было бы довольствоваться объяснением, которое я привел выше. Но предположим, что при игре присутствует наблюдатель, который отмечает все ходы, и что игра продолжается долгое время; когда он подведет итог в своей записной книжке, он констатирует, что события распределены согласно законам исчисления вероятностей. Это - то, что я назову объективной вероятностью, и именно это явление нужно объяснить.

Существует множество страховых обществ, которые применяют правила исчисления вероятностей; они выдают своим акционерам дивиденды, объективную реальность которых невозможно оспорить. Чтобы объяснить это, недостаточно ссылаться на наше незнание и на необходимость действовать.

Таким образом, абсолютный скептицизм не может быть принят; мы должны быть осторожны, но не должны все огульно осуждать; необходимо подробное исследование.

1. Классификация проблем вероятности.

Чтобы классифицировать проблемы, которые касаются такой темы, как вероятность, можно стать на несколько различных точек зрения и прежде всего на точку зрения общности.

Выше я сказал, что вероятность есть отношение числа благоприятствующих случаев к числу возможных случаев. То, что за недостатком лучшего термина я называют общностью, будет возрастать с числом возможных случаев. Это число может быть конечным, как, например, в случае, когда рассматривается бросание костей, где число возможных случаев есть 36. Это - первая степень общности.

Но если мы спросим, например, какова вероятность того, что точка, расположенная внутри круга, окажется лежащей также внутри вписанного квадрата, то число возможных случаев будет таково же, как число точек в круге, т.е. бесконечно. Это - вторая степень общности.

Общность может быть распространена еще далее: можно задаться вопросом о вероятности того, что функция удовлетворяет данному условию; в этом случае существует столько возможных случаев, сколько можно вообразить различных функций. Это - третья степень общности, до которой восходят, например, когда стараются определить наиболее вероятный закон по конечному числу наблюдений.

Можно стать на совершенно иную точку зрения. Абсолютное знание, будучи тождественным достоверности, не оставило бы места для вероятности. Но и абсолютное незнание не привело бы к вероятности: ведь надо все же иметь хоть какую-нибудь осведомленность, чтобы прийти даже к этой недостоверной науке. Проблемы вероятности могут быть, таким образом, классифицированы по большей или меньшей глубине незнания.

Уже в области математики могут возникать проблемы вероятности. Какова вероятность того, что пятый десятичный знак логарифма, взятого наудачу из таблиц, будет 9? Никто не затруднится ответить, что эта вероятность есть 1/10. Здесь мы обладаем всеми данными проблемы; мы могли бы вычислить наш логарифм, не прибегая к таблицам, но мы не хотим заниматься этим. Это - первая степень незнания.

В физических науках наше незнание уже больше. Состояние системы в данный момент зависит от двух обстоятельств: от ее начального состояния и от закона, по которому это состояние изменяется. Если бы мы сразу знали и этот закон и это начальное состояние, то нам нужно было бы разрешить только математическую проблему и мы снова пришли бы к первой степени незнания.

Но часто бывает, что нам известен закон, начальное же состояние неизвестно. Спрашивается, например, каково действительное распределение малых планет; мы знаем, что во всякое время они подчинены законам Кеплера, но мы знаем, каково было их начальное распределение.

В кинетической теории газов предполагается, что все газовые молекулы движутся по прямолинейным траекториям и подчиняются законам удара упругих тел, но, так как их начальные скорости неизвестны, то ничего неизвестно и об их действительных скоростях. Только исчисление вероятностей позволяет предвидеть средние явления, которые будут результатом комбинации этих скоростей. Это - вторая степень незнания.

Возможно, наконец, что не только начальные условия, но и самые законы будут неизвестны; тогда мы будем иметь третью степень незнания и вообще ничего не сможем утверждать относительно вероятности явления.

Часто бывает, что стараются предсказать не событие по более или менее несовершенному знанию закона, а, наоборот, зная события, стараются предсказать закон; таким образом, выводят не действия из причин, а причины на основании действий.

Это - так называемые проблемы вероятности причин, наиболее интересные с точки зрения их научных приложений.

Я играю в экарте с человеком, которого знаю как вполне порядочного; он сдает карты. Какова вероятность того, что он откроет короля? Эта вероятность равна 1/8; это - проблема вероятности событий. Я играю с человеком, которого не знаю; он 10 раз сдавал карты и 6 раз открывал короля; какова вероятность того, что это шулер? Это - проблема вероятности причин.

Можно сказать, что это - главная проблема экспериментального метода. Я наблюдал n значений для х и соответственные значения для у , я константировал, что отношение вторых к первым является заметно постоянным. Вот событие; какова его причина?

Вероятно ли, чтобы существовал общий закон, по которому у пропорционально х , и чтобы небольшие отклонения были обусловлены погрешностями наблюдений? Вот вопрос, который постоянно ставит перед собой исследователь и который он бессознательно решает всякий раз, когда занимается наукой.

Теперь я займусь обсуждением различных категорий проблем и рассмотрю сначала то, что я выше назвал субъективной вероятностью, а затем то, что назвал вероятностью объективной.

II. Вероятность в математических науках.

Невозможность квадратуры круга доказана в 1883 году, но уже много раньше этой близкой к нам даты все геометры рассматривали эту невозможность как столь "вероятную", что Академия наук оставляла без рассмотрения мемуары (к сожалению, слишком многочисленные), посылаемые ей каждый год какими-то неудачниками.

Была ли Академия права? Конечно, да; она хорошо знала, что, поступая так, она нисколько не рискует затормозить важное открытие. Она не могла бы доказать, что она права; но она знала, что ее инстинкт не обманывает ее. Если бы вы спросили академиков, они бы вам ответили: "Мы сравнили вероятность того, что неизвестный ученый нашел истину, которую тщетно искали уже столь долгое время, с вероятностью того, что число умалишенных людей увеличилось на единицу; вторая вероятность показалась нам больше". Эти соображения очень хороши, но они не имеют в себе ничего математического; они - чисто психологического характера.

А если бы вы спрашивали их более настойчиво, они прибавили бы: "Почему вы желаете, чтобы частное значение трансцендентной функции было алгебраическим числом? И если бы п было корнем алгебраического уравнения, то почему вы желаете, чтобы только этот корень был периодом функции sin(2х) и чтобы ими не были другие корни того же уравнения?". Словом, они сослались бы на принцип достаточного основания в его наиболее неопределенной форме.

Но что они бы могли извлечь из этого? В лучшем случае - практическое правило для употребления времени, которое с большей пользой могло бы быть потрачено на их обычные работы, чем на изучение вымученного сочинения, внушающего законное недоверие. Но то, что я назвал выше объективной вероятностью, не имеет никакого отношения к этой первой проблеме.

Иначе обстоит дело со второй проблемой. Возьмем 10 000 первых логарифмов, которые я нахожу в таблицах. Среди этих 10 000 логарифмов я беру наудачу один; какова вероятность, что его третий десятичный знак есть четное число? Вы не затруднитесь ответить: 1/2 - и в самом деле, если вы просмотрите в таблице третьи десятичные знаки этих 10 000 чисел, вы найдете приблизительно столько же четных цифр, сколько и нечетных.

Или, если желаете, напишем 10 000 чисел, по количеству наших логарифмов; каждое из этих чисел пусть равно +1, если третий десятичный знак четный, и -1 в обратном случае. Возьмем затем среднюю величину из этих 10 000 чисел. Я не затруднюсь сказать, что эта средняя величина, вероятно, равна нулю; если бы я произвел вычисление в действительности, я убедился бы, что она очень мала.

Но эта проверка даже бесполезна. Я мог бы строго доказать, что это среднее меньше 0,003. Чтобы установить этот результат, мне пришлось бы привести довольно длинное вычисление, для которого здесь мало места, и поэтому я ограничусь ссылкой на статью, опубликованную мною в "Revue generale des Sciences" 15 апреля 1899 г. Единственный пункт, на который я должен обратить внимание, следующий: в этом вычислении я опирался только на два факта, а именно, что первая и вторая производные логарифма в рассматриваемом промежутке остаются заключенными в известных пределах.

Отсюда первое следствие: что это свойство справедливо не только для логарифма, но для какой угодно непрерывной функции, так как производные всякой непрерывной функции заключены в определенных пределах.

Если я уже заранее был уверен в результате, то это прежде всего потому, что я часто замечал аналогичные факты для других непрерывных функций; затем потому, что я - более или менее бессознательно и несовершенно - провел в уме рассуждение, которое привело меня к предыдущим неравенствам, подобно тому как опытный вычислитель, не доведя до конца умножения, соображает, что "получится приблизительно столько-то".

И кроме того, так как то, что я назвал бы моей интуицией, есть лишь несовершенный образ истинного рассуждения, то, как выяснилось, наблюдение подтвердило мои догадки, и объективная вероятность оказалась в согласии с вероятностью субъективной.

В качестве третьего примера я выберу следующую проблему: пусть число u взято наудачу, n - данное очень большое целое число; каково вероятное значение sin(n/u) ? Эта проблема сама по себе не имеет никакого смысла. Чтоб придать ей смысл, необходимо условное допущение: мы условимся, что вероятность того, что число u заключено между а и a+d a , равна f (a)d a , что она, следовательно, пропорциональна величине бесконечно малой разности d a и равна этой величине, умноженной на функцию f (a) , зависящую только от а . Что касается этой функции, то я выбираю ее произвольно, но надо предположить ее непрерывной. Так как значение sin пи остается тем же, когда и возрастает на 2p , то я могу, не ограничивая общности, допустить, что и заключено между 0 и 2p , и таким образом приду к допущению, что f (a) есть периодическая функция с периодом 2p .

Искомое вероятное значение легко выражается простым интегралом, и легко показать, что этот интеграл меньше чем

2p (M k / n k ),

где M k - наибольшее значение k -й производной функции f (u) . Итак, мы видим, что если k -я производная конечна, то наша вероятная величина стремится к нулю, когда n возрастает беспредельно, и притом быстрее чем

1 / n k-1 .

Итак, вероятное значение sin(nu) для очень большого n есть нуль; чтобы определить это значение, мне необходимо было сделать условное допущение, но результат остается тем же, каково бы ни было это условное допущение. Я наложил лишь небольшие ограничения, допуская, что функция f (a) есть непрерывная и периодическая, и эти гипотезы столь естественны, что неясно, как можно было бы их избежать.

Обсуждение трех предыдущих примеров, столь различных во всех отношениях, до некоторой степени обнаруживает, с одной стороны, значение того, что философы называют принципом достаточного основания, а с другой - важность того факта, что некоторые свойства являются общими для всех непрерывных функций. Изучение вероятности в физических науках приведет нас к тому же результату.

III. Вероятность в физических науках.

Перейдем теперь к проблемам, относящимся к тому, что я назвал выше второй степенью незнания; это - те проблемы, в которых известен закон, но неизвестно начальное состояние системы. Я мог бы умножать число примеров, но я возьму только один: каково в настоящее время вероятное распределение малых планет на зодиаке?

Мы знаем, что они подчиняются законам Кеплера: мы можем даже, не изменяя ничего в природе проблемы, допустить, что все их орбиты круговые и расположены в одной и той же известной нам плоскости. Зато мы совершенно не знаем, каково было их начальное распределение. И все же мы, не колеблясь, можем утверждать, что теперь это распределение приблизительно равномерно. Почему?

Пусть b будет долготой малой планеты в начальный момент, т.е. в момент, равный нулю, пусть а - средняя скорость ее движения; ее долгота в настоящий момент t будет at + b . Сказать, что распределение планет в настоящий момент равномерно, это все равно, что сказать, что средняя величина из синусов и косинусов кратного аргумента at+b есть нуль. Почему же мы утверждаем это?

Изобразим каждую малую планету точкой на плоскости, именно точкой, координаты которой в точности суть a и b . Все эти изображающие точки будут заключены в некоторой области плоскости, но так как их очень много, то эта область окажется усеянной точками. Впрочем, мы ничего не знаем о распределении этих точек.

Как приложить исчисление вероятностей в данном случае? Какова вероятность того, что одна или несколько изображающих точек находятся в такой-то части плоскости? Вследствие нашего незнания нам приходится ввести произвольную гипотезу. Чтобы выяснить природу этой гипотезы, я использую вместо математической формулы грубый, но конкретный образ.

Представим себе, что поверхность нашей плоскости покрыта воображаемой материей, плотность которой переменна, но изменяется она непрерывно. Условимся принять, что вероятное число изображающих точек, приходящихся на данную часть плоскости, пропорционально количеству находящейся здесь воображаемой материи. Поэтому, если мы имеем на плоскости две области одинаковых размеров, то вероятности того, что точка, изображающая одну из наших малых планет, находится в той или другой из этих областей, будут относиться, как средние плотности воображаемой материи в той или другой области.

Вот, следовательно, два распределения: одно - действительное, где изображающие точки крайне многочисленны, крайне скучены, но разделены, как молекулы материи по атомистической гипотезе; другое - расходящееся с действительностью, где наши изображающие точки заменены воображаемой непрерывной материей. Относительно последней мы знаем, что она не может быть реальной, но наше незнание вынуждает нас принять ее.

Если бы затем мы имели какое-нибудь представление о действительном распределении изображающих точек, то мы могли бы условиться так, чтобы во всякой области плотность этой воображаемой непрерывной материи была приблизительно пропорциональна числу изображающих точек или, если угодно, числу атомов, заключающихся в этой области. Но и этот прием невозможен, наше незнание столь велико, что мы принуждены выбирать произвольно функцию, определяющую плотность нашей воображаемой материи. Мы вынуждены принять только одну гипотезу, которой мы почти не в состоянии избежать, - мы предположим эту функцию непрерывной. Этого, как мы увидим, достаточно для того, чтобы мы могли сделать некоторое заключение.

Каково вероятное распределение малых планет в момент t ? Или, иначе, каково вероятное значение синуса долготы в момент t , т.е. sin(at+b) ? Мы начали с произвольного соглашения; если мы примем его, то это вероятное значение вполне определено. Разобьем плоскость на элементы площади, рассмотрим значение sin(at+b) в центре каждого из этих элементов; умножим эту величину на площадь элемента и на соответствующую плотность воображаемой материи; составим затем сумму для всех элементов плоскости. Эта сумма по определению будет искомой вероятной средней величиной, которая окажется, таким образом, выраженной при помощи двойного интеграла.

Можно сначала подумать, что эта средняя величина будет зависеть от выбора функции f , определяющей плотность воображаемой материи, и что так как эта функция f произвольна, то в зависимости от произвольного выбора, который мы сделаем, мы можем получить какую угодно среднюю величину. Но это совсем не так.

Простое вычисление показывает, что наш двойной интеграл очень быстро убывает с возрастанием t .

Таким образом, я совершенно не знал, какую гипотезу мне допустить относительно вероятности того или иного начального распределения; но каково бы ни было сделанное допущение, результат будет тот же: это и выводит меня из затруднения.

Какова бы ни была функция f , средняя величина стремится к нулю с возрастанием t , и так как малые планеты, конечно, совершили очень большое число обращений, то я могу утверждать, что эта средняя величина очень мала.

Я могу выбрать f по своему желанию, однако с одним ограничением: эта функция должна быть непрерывной; и в самом деле, с точки зрения субъективной вероятности выбор прерывной функции был бы неразумным; какое основание имел бы я, например предполагать, что начальная долгота может быть равна именно 0° но что она не может быть заключена между 0° и 1°?

Но трудность возникает вновь, если стать на точку зрения объективной вероятности - если мы перейдем от нашего воображаемого распределения, где воображаемая материя предполагалась непрерывной, к действительному распределению, где наши изображающие точки образуют собой как бы дискретные атомы.

Среднее значение sin(at+b) представится просто через

(1/n)S sin(at+b) ,

где n - число малых планет. Вместо двойного интеграла, относящегося к непрерывной функции, мы имеем сумму дискретных членов, и между тем никто серьезно не усомнится в том, что это среднее значение будет на самом деле очень мало.

Именно вследствие того, что наши изображающие точки крайне скучены, наша дискретная сумма вообще будет очень мало отличаться от интеграла.

Интеграл есть предел, к которому стремится сумма членов, когда число этих членов беспредельно возрастает. Если членов очень много, то сумма будет очень мало отличаться от своего предела, т.е. от интеграла, и то, что я сказал о последнем, будет справедливо и для суммы.

Тем не менее существуют исключительные случаи. Если бы, например, для всех малых планет имело место равенство b=p /2-at , то в момент t долгота всех планет равнялась бы p /2 и среднее значение было бы, очевидно, равно 1. Для этого было бы необходимо, чтобы в момент t =0 все малые планеты были размещены на некоторой спирали особенной формы с крайне тесно сближенными витками. Всякий признает, что подобное начальное распределение крайне невероятно (и даже если допустить его в действительности, то распределение было бы неравномерным для некоторого момента, например, 1 января 1900 г., но оно перешло бы в равномерное через несколько лет).

Однако почему мы признаем такое начальное распределение невероятным? Необходимо это выяснить, так как если бы мы не имели основания отбросить эту нелепую гипотезу как не заслуживающую доверия, то все бы рушилось и мы уже ничего не могли бы утверждать относительно вероятности того или иного действительного распределения.

Мы опираемся здесь опять-таки на принцип достаточного основания, принцип, к которому постоянно приходится возвращаться. Мы могли бы допустить, что вначале планеты были распределены приблизительно на прямой линии или что они были расположены неравномерно; но, как нам кажется, нет достаточного основания предполагать, что неизвестная причина, породившая их, действовала, следуя столь правильной и в то же время столь сложной кривой, которая представлялась бы выбранной умышленно как раз для того, чтобы нынешнее распределение не было равномерным.

IV. Красное и черное.

Вопросы теории азартных игр, например игры в рулетку, в сущности вполне аналогичны тем, которые мы только что рассматривали.

Представим себе циферблат, разделенный на большое число равных делений, попеременно красных и черных; в центре его укреплена вращающаяся стрелка; после сильного разгона эта стрелка, сделав значительное число оборотов, остановится против одного из делений. Вероятность того, что это деление красное, очевидно, равна 1/2.

Стрелка повернулась на угол Q , заключающий в себе несколько окружностей: я не знаю, какова вероятность того, что стрелка отброшена с такой силой, чтобы этот угол был заключен между Q и Q +d Q , но я могу ввести условное положение - могу допустить, что эта вероятность равна f (Q )dQ ; что касается функции f (Q ) , то я могу выбрать ее вполне произвольно, нет ничего, что могло бы руководить мной в этом выборе; однако я, естественно, буду предполагать эту функцию непрерывной.

Пусть е-длина (она считается по окружности радиуса, равного единице) каждого красного или черного деления. Надо вычислить интеграл от f (Q )dQ , распространяя его, с одной стороны, на все красные деления, с другой - на все черные, и затем сравнить полученные результаты.

Рассмотрим промежуток 2e , заключающий одно красное деление и следующее за ним черное. Пусть М и m - наибольшее и наименьшее значения функции f (Q ) в этом промежутке. Интеграл, распространенный на красные деления, будет меньше S Me ; интеграл, распространенный на черные деления, будет больше S me ; следовательно, разность их будет меньше S(M-m)e . Но если функция f предположена непрерывной, если, с другой стороны, промежуток e очень мал сравнительно с полным углом, описанным стрелкой, то разность М-m будет крайне мала. Поэтому и разность двух интегралов будет очень мала и вероятность будет очень близка к 1/2.

Всякому понятно, что, не зная ничего о функции f , .я должен действовать так, как если бы вероятность была равна 1/2. Ясно, с другой стороны, что если, становясь на объективную точку зрения, я буду наблюдать известное число выпадений, наблюдение даст мне приблизительно столько же выпадений черного, сколько и красного. Все игроки знают этот объективный закон, но он вовлекает их в одну странную ошибку, которая им часто указывалась, но в которую они всегда впадают снова. Когда красное выпало, например, шесть раз подряд, они ставят на черное, рассчитывая на верный выигрыш; ведь очень редко бывает, говорят они, чтобы красное выпадало семь раз подряд.

В действительности вероятность выигрыша и о этом случае остается равной 1/2. Правда, наблюдение показывает, что серии из семи последовательных красных крайне редки; но серия из шести красных, за которой следует один черный, является столь же редкой. Им бросилась в глаза редкость серий из семи красных; но они не обращали внимания на редкость серий из шести красных и одного черного единственно потому, что подобные сочетания меньше поражают внимание.

V. Вероятность причин.

Я перехожу к проблемам вероятности причин - проблемам, наиболее важным с точки зрения их применений в науке. Пусть, например, две звезды расположены на небесной сфере очень близко друг к другу. Не является ли эта видимая близость результатом простой случайности, и не находятся ли эти звезды - хотя они расположены почти на одном и том же луче зрения - на очень различных расстояниях от Земли, а следовательно, на значительном отдалении одна от другой? Или мы имеем здесь действительную близость? Вот это и есть проблема вероятности причин. Прежде всего я напомню, что всякий раз, обсуждая проблемы вероятности событий, которыми мы занимались до снх пор, мы всегда должны были выдвигать некоторое условное положение, более или менее оправдываемое. И если чаще всего результат был в известной мере независим от этого условного положения, то это лишь в силу известных гипотез, которые позволили нам a priori отбросить, например, разрывные функции или некоторые нелепые соглашения.

Нечто аналогичное встретим мы, занимаясь вероятностью причин. Некоторое действие может быть произведено причиной А или причиной В . Действие наблюдалось; ищется вероятность того, что оно обусловлено причиной A ; это - вероятность причины a posteriori . Но я не мог бы вычислить ее, если бы некоторое более или менее оправдывающееся условное положение не позволило мне наперед знать, какова априорная вероятность того, .что причина A вступит в действие; я подразумеваю здесь вероятность этого события для того, кто еще не наблюдал самого действия.

Для большей ясности я возвращусь к примеру игры в экарте, к которому я прибегал выше; мой партнер сдает карты в первый раз и открывает короля - какова вероятность, что это шулер? Обычное применение формул дает 8/9 - результат, очевидно, крайне удивительный. Если исследовать дело ближе, то вычисление оказывается выполненным так, как если бы я, еще не садясь за игорный стол , уже признал, что у меня один шанс против двух за то, что мой партнер - нечестный игрок. Такая гипотеза нелепа, ибо в этом случае я, конечно, не стал бы с ним играть; этим выясняется и нелепость заключения.

Условное положение об априорной вероятности было неоправданным; поэтому и вычисление апостериорной вероятности привело меня к недопустимому результату. Отсюда видна важность предварительного условного положения. Я прибавлю еще, что если совсем не вводить условного положения, то проблема вероятности a posteriori не имела бы никакого смысла; всегда приходится это делать либо явно, либо молчаливо.

Перейдем к примеру более научного характера. Я хочу определить некоторый экспериментальный закон; когда я будут знать его, его можно будет представить с помощью некоторой кривой; я делаю несколько отдельных наблюдений; пусть каждое из них изобразится некоторой точкой. Получив ряд различных точек, я провожу между ними кривую, стараясь возможно меньше уклоняться от них и в то же время сохранить для моей кривой правильную форму, без угловых точек, без слишком резких изгибов, без внезапного изменения радиуса кривизны. Эта кривая представит мне вероятностный закон, и я допускаю, что она не только дает мне значения функции, промежуточные между наблюдаемыми, но что и самые наблюдаемые значения она дает точнее, чем прямое наблюдение (потому-то я и проводил ее вблизи моих точек, но не через самые точки).

Такова проблема вероятности причин. Действиями здесь являются зарегистрированные мною результаты измерений; они зависят от сочетания двух причин - истинного закона явления и погрешностей наблюдения. Задача состоит в том, чтобы, зная действия, отыскать вероятность того, что явление подчиняется такому-то закону, и вероятность того, что наблюдения искажены такой-то погрешностью. Тогда наиболее вероятный закон соответствует проведенной кривой, и наиболее вероятная ошибка наблюдения представится расстоянием соответствующей точки от этой кривой.

Но проблема не имела бы никакого смысла, если бы я до всякого наблюдения не составил себе идею о вероятности a priori того или иного закона и о шансах ошибки, которую я могу совершить.

Если мои инструменты хороши (и это я знал бы до наблюдения), то я не позволю моей кривой значительно уклоняться от точек, представляющих непосредственные измерения. Если же они плохи, то я мог бы отступить от этих точек несколько больше, лишь бы получить кривую, менее извилистую, в целях упорядоченности я мог бы принести и большую жертву.

Однако почему же я стараюсь провести кривую без извилин? Потому, что закон, представляемый непрерывной функцией (или функцией, у которой производные высшего порядка малы), я уже a priori рассматриваю как более вероятный сравнительно с законом, не удовлетворяющим этому условию. Без этой уверенности рассматриваемая проблема не имела бы никакого смысла; интерполяция была бы невозможна; нельзя было бы вывести закон из конечного числа наблюдений; наука не существовала бы.

Пятьдесят лет тому назад физики рассматривали более простой закон как более вероятный, чем закон сложный, при прочих равных условиях. Они ссылались на этот принцип в защиту закона Мариотта против опытов Реньо. Теперь они отказались от этой веры; и между тем как часто они бывают вынуждены поступать так, как если бы они сохранили эту веру! Как бы то ни было, именно от этого направления осталась вера в непрерывность, и мы только что видели, что если бы эта вера в свою очередь исчезла, то экспериментальная наука стала бы невозможной.

VI. Теория погрешностей.

Мы пришли, таким образом, к обсуждению теории погрешностей, которая находится в непосредственной связи с проблемой вероятности причин. И здесь мы снова констатируем следствия , - а именно, известное число расходящихся между собою наблюдений - и стараемся разгадать причины , которыми вызываются, с одной стороны, истинное значение измеряемых величин, с другой - ошибки, допущенные в каждом отдельном наблюдении. Надо было бы вычислить, какова a posteriori вероятная величина каждой ошибки и затем каково вероятное значение измеряемой величины.

Но, как я уже выяснил, нельзя было бы предпринять это вычисление, если не допустить a priori, т.е. до всякого наблюдения, некоторого закона вероятности погрешностей. Существует ли какой-либо закон погрешностей?

Закон погрешностей, принятый всеми вычислителями, есть закон Гаусса, который представляется некоторой трансцендентной кривой, известной под названием "колокола".

Но прежде всего следует напомнить классическое различие между ошибками систематическими и случайными. Если мы измеряем некоторую длину слишком длинной мерой, мы всегда получим число слишком малое, и бесполезно будет повторять измерение несколько раз; это - ошибка систематическая. Если мы измеряем точным метром, мы можем тем не менее ошибиться, но мы будем ошибаться то в ту, то в другую сторону, и когда мы возьмем среднее из большого числа измерений, ошибка будет стремиться к уменьшению. Это - ошибки случайные.

С самого начала ясно, что систематические ошибки не могут удовлетворять закону Гаусса; но удовлетворяют ли ему случайные ошибки? Были многочисленные попытки доказать это; но почти все они являются грубо ошибочными умозаключениями. Тем не менее закон Гаусса можно доказать, опираясь на следующие гипотезы: общая ошибка есть результирующая очень большого числа частных и независимых ошибок; каждая из частных ошибок.очень мала и, кроме того, подчиняется закону вероятности - какому угодно, при одном непременном условии: что вероятность положительной ошибки та же, что и вероятность ошибки, равной и противоположной по знаку. Очевидно, что эти условия будут выполняться часто, хотя и не всегда, и мы можем сохранить название случайных за теми ошибками, которые им удовлетворяют.

Отсюда видно, что метод наименьших квадратов является законным не во всех случаях; вообще физики доверяют ему меньше, чем астрономы. Несомненно это зависит от того, что астрономы, кроме систематических ошибок, с которыми они встречаются наравне с физиками, принуждены еще бороться с одной крайне важной и вполне случайной причиной ошибок: я имею в виду атмосферные колебания.

Очень любопытно послушать физика, беседующего с астрономом о методе наблюдения: физик, убежденный, что одно хорошее измерение стоит многих плохих, прежде всего со всей предосторожностью заботится о том, чтобы исключить все систематические ошибки до последней; астроном возражает ему: "но таким образом вы сможете наблюдать лишь небольшое число звезд; случайные ошибки не исчезнут".

Какой вывод следует из этого? Можно ли и впредь применять метод наименьших квадратов? Мы должны рассуждать так: мы исключили все систематические ошибки, какие только могли подозревать; мы хорошо знаем, что существуют еще и другие, но мы не можем их открыть; между тем надо сделать выбор и принять какую-то окончательную величину, которая должна быть рассматриваема как вероятная; очевидно, лучшее, что мы можем сделать для этого, - это применить метод Гаусса. Таким образом, мы применим только практическое правило, относящееся к субъективной вероятности. Больше сказать нечего.

Но некоторые хотят идти дальше и утверждают не только то, что вероятная величина равна тому-то, но еще то, что вероятная ошибка, вошедшая в результат, равна тому-то. Это совершенно незаконно. Это было бы верно лишь в том случае, если бы мы были уверены, что исключены все систематические ошибки; но мы об этом совершенно ничего не знаем. Пусть мы имеем два ряда наблюдений; прилагая правило наименьших квадратов, мы находим, что вероятная ошибка, относящаяся к первому ряду, вдвое меньше, чем во втором. Однако второй ряд может быть предпочтительнее, чем первый, так как первый может быть искажен большой систематической ошибкой. Все, что мы можем сказать, - это то, что первый ряд, вероятно, предпочтительнее второго, так как его случайная ошибка меньше и так как мы не имеем никакого основания утверждать, что систематическая ошибка для одного ряда больше, чем для другого: ведь мы об этом решительно ничего не знаем.

VII. Заключения.

В настоящей главе я изложил немало проблем, не разрешив ни одной из них. Тем не менее я не сожалею о том, что написал о них, так как это, может быть, побудит читателя поразмыслить над этими тонкими вопросами.

Как бы то ни было, существует несколько пунктов, по-видимому, твердо установленных. Чтобы предпринять какое-либо вычисление вероятности - даже просто для того, чтобы это вычисление имело смысл, - надо взять в качестве исходной точки некоторую гипотезу или условное положение, которые всегда содержат известную долю произвола. При выборе этого условного положения мы не можем руководствоваться ничем, кроме принципа достаточного основания. К несчастью, этот принцип очень неопределенен и растяжим и, как мы видели в нашем беглом обзоре, принимает различные формы. Форма, под которой встречаем его чаще всего, - это вера в непрерывность: вера, которую трудно было бы оправдать убедительным рассуждением, но без которой никакая наука не была бы возможна. Наконец, исчисление вероятностей может быть с пользой применено в тех проблемах, в которых результат не зависит от принятой вначале гипотезы, лишь бы только эта гипотеза удовлетворяла условию непрерывности.