Сложение и вычитание корней - один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».

Для того чтобы освоить решение таких примеров, необходимо две вещи - разобраться в правилах, а также наработать практику. Решив один-два десятка типовых примеров, школьник доведет этот навык до автоматизма, и тогда ему уже будет нечего бояться на ЕГЭ. Начинать освоение арифметических действий рекомендуется со сложения, потому что складывать их немного проще, чем вычитывать.

Что такое корень

Проще всего объяснить это на примере квадратного корня. В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя . Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 - это 2, из 49 - это 7, а из 81 - это 9.

Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения. Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике.

Корни бывают следующих типов:

• квадратные;
• кубические (или так называемые третьей степени);
• четвертой степени;
• пятой степени.

Правила сложения

Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом . Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу. Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся.

Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга. Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:

• перед учеником стоит задача: сложить квадратный корень из 4 и из 9;
• неопытный ученик, не знающий правила, обычно пишет: «корень из 4 + корень из 9=корень из 13».
• доказать, что этот способ решения неправильный, очень просто. Для этого нужно найти квадратный корень из 13 и проверить, верно ли решен пример;
• с помощью микрокалькулятора можно определить, что он составляет примерно 3,6. Теперь осталось проверить решение;
• корень из 4=2, а из 9=3;
• Сумма чисел «два» и «три» равняется пяти. Таким образом, данный алгоритм решения можно считать неверным.

Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений . Таким образом, он извлекается уже из этой суммы.

Алгоритм сложения

Для того чтобы правильно решить простейшую задачу, необходимо:

1. Определить, что именно требуют сложения.
2. Разобраться, можно ли складывать значения друг с другом, руководствуясь существующими в математике правилами.
3. Если они не подлежат сложению, нужно трансформировать их таким образом, чтобы их можно было складывать.
4. Осуществив все необходимые преобразования, необходимо выполнить сложение и записать готовый ответ. Производить сложение можно в уме или с помощью микрокалькулятора, в зависимости от сложности примера.

Что такое подобные корни

Чтобы правильно решить пример на сложение, необходимо, в первую очередь, подумать о том, как можно его упростить. Для этого нужно обладать базовыми знаниями о том, что такое подобие.

Умение определять подобные помогает быстро решать однотипные примеры на сложение, приводя их в упрощенный вид. Чтобы упростить типовой пример на сложение, необходимо:

1. Найти подобные и выделить их в одну группу (или в несколько групп).
2. Заново написать имеющийся пример таким образом, чтобы корни, которые имеют один и тот же показатель, шли четко друг за другом (это и называется «сгруппировать»).
3. Далее следует еще раз написать выражение заново, на этот раз таким образом, чтобы подобные (у которых один и тот же показатель и одна и та же подкоренная цифра) тоже шли друг за другом.

После этого упрощенный пример обычно легко поддается решению.

Для того, чтобы правильно решить любой пример на сложение, необходимо четко представлять себе основные правила сложения, а также знать о том, что такое корень и каким он бывает.

Иногда такие задачи с первого взгляда выглядят очень сложно, но обычно они легко решаются путем группировки подобных. Самое главное - практика, и тогда ученик начнет «щелкать задачи, как орешки». Сложение корней - один из самых важных разделов математики, поэтому учителя должны отводить достаточно времени на его изучение.

Сейчас в школьной программе происходит, что-то не совсем понятно. Одно радует, что в математике все остается неизменной. Работа с корнями, а именно складывание и вычитание не очень сложное действие. Но у некоторых учеников вызывают определенные трудности.

И в этой статье мы разберем правила, как складывать и вычитать квадратные корни.

Вычитать и складывать квадратные корни можно если срабатывает условие, что у этих корней имеются одинаковые подкоренные выражения. Другими словами, мы можем проводить действия с 2√3 и 4√3, а не с 2√3 и 2√7. Но можно провести действия по упрощению подкоренного выражения, чтобы потом привести их к корням, которые будут иметь одинаковые подкоренные выражения. И только после этого уже начать складывать или вычитать.

Теория складывания и вычитания квадратных корней

Сам принцип очень простой. И составит из трех действий. Нужно упростить подкоренной выражение. Найти получившиеся одинаковые подкоренные выражения и сложить или вычесть корни.

Как упростить подкоренное выражение

Для этого нужно разложить подкоренное число, что бы состояло из двух множителей. Главное условие. Одно из этих чисел должно быть квадратным числом (пример: 25 или 9). После этого действия мы извлекаем корень из данного квадратного числа. И записываем это число перед нашим корнем, а под корнем у нас остается второй множитель.

Например, 6√50 — 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Тут мы раскладываем 50 на два множителя 25 и 2. Потом из 25 мы извлекаем квадратный корень (получаем число 5) и выносим его из под корня. Далее 5 умножаем на 6 и получаем 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. В данном примеры мы 8 раскладываем на два числа 4 и 2. Из 4 извлекаем корень и выносим получившееся число за корень и умножаем его на то число которое было уже за корнем.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Тут мы, как и раньше число под корнем раскладываем на два числа 4 и 3. Из 4-х извлекаем корень. Получившееся число выносим за корень и перемножаем его на то число которое было за корнем.

В итоге мы преобразовали уравнение 6√50 — 2√8 + 5√12 в такой вид 30√2 — 4√2 + 10√3

Подчеркиваем корни у которых одинаковы подкоренные выражения

В нашем примере 30√2 — 4√2 + 10√3 мы выделяем 30√2 и 4√2 Так, как у этих чисел одинаковое подкоренное число 2.
Если в Вашем примере несколько одинаковых подкоренных выражений. Подчеркивайте одинаковые из них разными линиями.

Складываем или вычитаем наши корни

Теперь складываем или вычитаем числа которые имеют одинаковые подкоренные выражения. А то, что под корнем мы оставляем неизменным. Смысл в том, чтобы показать сколько всего корней с определенными подкоренными выражениями есть в заданном уравнении.

В нашем примере 30√2 — 4√2 + 10√3 мы от 30 отнимаем 4 и получаем 26√2

Ответ в нашем примере будет такой. 26√2 + 10√3

Sabibon — самое интересное в интернете

Что такое математический корень?

Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.

Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.

Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.

Какие действия с ними можно выполнять?

По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.

И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

• нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
• нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16 .

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

1. Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
2. Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
3. Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
4. Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
5. Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
6. Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.

Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 — 6√18;

б) √75 — √147 + √48 — 1/5 √300;

в) √275 — 10√11 + 2√99 + √396.

а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.

Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) — 6 √(2 * 9).

Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 — 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

После упрощения получается ответ: 5√5 — 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 — √3).

в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:

5√11 — 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:

3/2 √5 — 2√5 — 5/ 3 √(½) — 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 — 2 — 7/6) √5 — (5/3 — 7) √(½) = — 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.

В наше время современных электронных вычислительных машин вычисление корня из числа не представляется сложной задачей. Например, √2704=52, это вам подсчитает любой калькулятор. К счастью, калькулятор есть не только в Windows, но и в обычном, даже самом простеньком, телефоне. Правда если вдруг (с малой долей вероятности, вычисление которой, между прочим, включает в себя сложение корней) вы окажитесь без доступных средств, то, увы, придется рассчитывать только на свои мозги.

Тренировка ума никогда не помещает. Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями. Сложение и вычитание корней - хорошая разминка для скучающего ума. А еще я покажу поэтапно сложение корней. Примеры выражений могут быть следующие.

Уравнение, которое нужно упростить:

√2+3√48-4×√27+√128

Это иррациональное выражение. Для того чтобы его упростить нужно привести все подкоренные выражения к общему виду. Делаем поэтапно:

Первое число упростить уже нельзя. Переходим ко второму слагаемому.

3√48 раскладываем 48 на множители: 48=2×24 или 48=3×16. из 24 не является целочисленным, т.е. имеет дробный остаток. Так как нам нужно точное значение, то приблизительные корни нам не подходят. Квадратный корень из 16 равен 4, выноси его из-под Получаем: 3×4×√3=12×√3

Следующее выражение у нас является отрицательным, т.е. написано со знаком минус -4×√(27.) Раскладываем 27 на множители. Получаем 27=3×9. Мы не используем дробные множители, потому что из дробей вычислять квадратный корень сложнее. Выносим 9 из-под знака, т.е. вычисляем квадратный корень. Получаем следующее выражение: -4×3×√3 = -12×√3

Следующее слагаемое √128 вычисляем часть, которую можно вынести из-под корня. 128=64×2, где √64=8. Если вам будет легче можно представить это выражение так: √128=√(8^2×2)

Переписываем выражение с упрощенными слагаемыми:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Теперь складываем числа одним и тем же подкоренным выражением. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

Ответ получаем следующий:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - надеюсь, то, что в алгебре принято опускать подобные элементы, не станет для вас новостью.

Выражения могут быть представлены не только квадратным корнем, но так же и с кубическим или корнем n-ной степени.

Сложение и вычитание корней с разными показателями степени, но с равнозначным подкоренным выражением, происходит следующим образом:

Если мы имеем выражение вида √a+∛b+∜b, то мы можем упростить это выражение так:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Мы привели два подобных члена к общему показателю корня. Здесь использовалось свойство корней, которое гласит: если число степени подкоренного выражения и число показателя корня умножить на одно и то же число, то его вычисление останется неизменным.

На заметку: показатели степени складываются только при умножении.

Рассмотрим пример, когда в выражении присутствуют дроби.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Будем решать по этапам:

5√8=5*2√2 - мы выносим из-под корня извлекаемую часть.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Если в тело корня представлено дробью, то часто этой дроби не измениться, если извлечь квадратный корень из делимого и делителя. В итоге мы получили описанное выше равенство.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Вот и получился ответ.

Главное помнить, что из отрицательных чисел не извлекается корень с четным показателем степени. Если четной степени подкоренное выражение является отрицательным, то выражение является нерешаемым.

Сложение корней возможно только при совпадении подкоренных выражений, так как они являются подобными слагаемыми. То же самое относиться и к разности.

Сложение корней с разными числовыми показателями степени производиться посредством приведения к общей корневой степени обоих слагаемых. Это закон действует так же как приведение к общему знаменателю при сложении или вычитании дробей.

Если в подкоренном выражении имеется число, возведенное в степень, то это выражение можно упростить при условии, что между показателем корня и степени существует общий знаменатель.

Содержимое:

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

1. 1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 - 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
2. 2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 - 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
3. 3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
4. 4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа! ). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Часть 2 Практикуемся на примерах

1. 1 Пример 1: √(45) + 4√5.
   • Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
   • Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Пример 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
   • Теперь выражение можно записать в виде 12√10 - 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
   • Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Пример 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Пример 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 х 3) = 3.
   • √4 = √(2 х 2) = 2.
   • Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
   • Окончательный ответ: 5 - 3√2.
5. 5 Пример 5. Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
   • Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
   • Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
   • Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

• Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
• Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2 .
  • Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

Корень из числа проще всего вычесть с помощью калькулятора. Но, если у вас нет калькулятора, тогда надо знать алгоритм вычисления квадратного корня. Дело в том, что под корнем сидит число в квадрате. Например, 4 в квадрате - это 16. То есть корень квадратный из 16 будет равен четырем. Так же 5 в квадрате - это 25. Поэтому корень из 25 будет 5. И так далее.

Если число небольшое, то его можно легко вычесть устно, к примеру, корень из 25 будет равен 5, а корень из 144-12. Также на калькуляторе можно посчитать, есть специальный значок корня, нужно вбить число и нажать на значок.

Поможет также таблица квадратных корней:

Есть еще способы, которые более сложные, однако очень эффективные:

Корень из какого либо числа можно вычесть с помощью калькулятора, тем более они есть в каждом телефоне на сегодняшний день.

Можно попробовать примерно прикинуть как может получится данное число, умножив одно число само на себя.



Вычислить корень квадратный из числа не сложно, особенно, если есть специальная таблица. Всем хорошо известная таблица еще с уроков алгебры. Такая операция называется извлечение квадратного корня из числа a, другими словами решение уравнения. Почти все калькуляторы, в смартфонах имеют функцию определения квадратного корня.



Результатом извлечения квадратного корня из известного числа будет другое число, которое, при возведении во вторую степень (квадрат), даст то самое число, которое нам известно. Рассмотрим одно из описаний расчтов, которое представляется кратким и понятным:







Вот видео по теме:

Вычеслить корень квадратный из числа можно несколькими способами.

Самым популярным способом - является использование специальной таблицы кореня (смотрите ниже).

Также на каждом калькуляторе есть функция при помощи которой можно узнать корень.

Или при помощи специальной формулы.



Извлечь квадратный корень из числа можно несколькими способами. Один из них - самый быстрый, с помощью калькулятора.

Но если нет калькулятора, то можно это сделать вручную.

Результат получится точным.

Принцип практически такой же как деление столбиком:



















Попробуем без калькулятора найти значение квадратного корняот числа, к примеру, 190969.







Таким образом, вс предельно просто. В вычислениях главное придерживаться определнных простых правил и логически размышлять.

Для этого нужна таблица квадратов



Вот например, корень из 100 = 10, из 20 = 400 из 43 = 1849

Сейчас практически все калькуляторы, в том числе и на смартфонах умеют высчитывать квадратный корень из числа. НО если калькулятора у вас нет, то можно найти корень из числа несколькими простыми способами:

Разложение на простые множители



Разложите подкоренное число на множители, являющиеся квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Квадратные множители это множители, являющиеся квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16, которое также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.

Запишите это как: 400 = (25 х 16).



Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть (а х b) = a x b . Воспользовавшись этим правилом, извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.



Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а это происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:



Теперь вы можете оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (1 = 1) и 4 (4 = 2). Таким образом, значение 3 расположено между 1 и 2. Та как значение 3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: 3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.

Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим 35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (25 = 5) и 36 (36 = 6). Таким образом, значение 35 расположено между 5 и 6. Та как значение 35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что 35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 - мы были правы.



Еще один способ разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, 45 = (3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: 45 = 35. Теперь можно оценить 5.

Рассмотрим другой пример: 88.

= (2 х 4 х 11)

= (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.

2(2 х 11) = 22 х 11. Теперь можно оценить 2 и 11 и найти приблизительный ответ.

Может быть полезным будет еще это обучающее видео:

Чтобы извлечь корень из числа следует воспользоваться калькулятором, либо если нет подходящего, советую зайти вот на этот сайт и решить задачу с помощью онлайн калькулятора, который за секунды выдаст правильное значение.

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.