Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости .

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М . Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а .

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а . В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р ) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а . Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство .

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с , перпендикулярная плоскости α .

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а . Пусть прямая b - линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с , перпендикулярную прямой b .

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с 1 , проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с 1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с 1 параллельны. Но по построению прямые с и с 1 пересекаются в точке М . Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а , то они параллельны.

Доказательство:

Проведем прямую с параллельно прямой а . По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.

Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.

Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М - общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство :

Пусть дана прямая а и точка М . Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Докажем ее единственность.

Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а, а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а , что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 15, 16, 17 стр. 58

2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника

б) двум сторонам трапеции

в) двум диаметрам круга.

3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

4. Прямые а, b , с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна прямым а и b , но не перпендикулярна с . Каково взаимное расположение прямых а и b ?

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В начале изучения сегодняшней темы, мы разберём задачу на применение некоторых теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей

Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства -точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.

В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а. пусть эти прямые пересекаются в точке О.

В плоскости α проведём прямую с, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.

По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.

Рассмотрим плоскость γ (гамма), проходящая через прямые с и b.

Плоскость γ(гамма) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с

Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства - точку А.

Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m. Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m.

3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n. В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n.

5) Прямая т, перпендикулярна плоскости β, значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р.

6) Тогда прямая p перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n, лежащими в плоскости α, следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α.

7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p1, перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.

Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые АА1 и ВВ1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА1 АВ и АА1 АD. Найдите ВВ1, если В1D=25 см, АВ=12 см, AD=16 см.

Решение.1) Так как прямая АА1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку

перпендикулярности прямой к плоскости АА1 перпендикулярна к плоскости АВСD.

2) Прямая ВВ1 параллельна прямой АА1 следовательно по теореме и прямая ВВ1 перпендикулярна к плоскости АВСD, и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ1 перпендикулярна к прямой ВD. Значит треугольник В1ВD прямоугольный.

3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.

4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В1ВD. Квадрат катета В1В равен разности квадратов гипотенузы В1D и известного катета BD , и катет равен 15 см.

Рассмотрим задачу на доказательство.

Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||

Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.

1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b. Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b1.

3) Через точку N проведём прямую с1.

4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с1.

5)Через две пересекающие прямые с1 и b1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.

6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с1, следовательно прямая а перпендикулярна прямой с1.

7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b1, следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b1. Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.

9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.

10) Прямая b параллельна прямой b1, значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.

9.1 Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема о параллели к перпендикуляру позволяет доказать основную теорему о прямой, перпендикулярной плоскости.

Доказательство. Пусть даны точка А и плоскость α (рис. 87, а). Можно считать, что А не лежит в плоскости α, так как случай, когда А ∈ α, рассмотрен в задаче п. 7.3. Проведём через какую-либо точку плоскости α прямую а ⊥ α (задача п. 7.3).

Если а проходит через А, то она искомая прямая. Если это не так, то проведём через А прямую b||а. По теореме о параллели к перпендикуляру b ⊥ α. Итак, мы построили прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную α.

Рис. 87

Докажем, что такая прямая единственная. Допустим, что через точку А проходят две прямые р и q, перпендикулярные α. Проведём через них плоскость β (рис. 87, б). Эта плоскость пересекает плоскость α по некоторой прямой с. Так как р ⊥ α и q ⊥ α, то прямые р и q перпендикулярны прямой с. Получилось, что через точку А в плоскости β проходят две прямые р и q, перпендикулярные с. Из планиметрии известно, что это невозможно. Значит, через точку А проходит лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости α.

9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой

Изучение перпендикулярности прямой и плоскости мы завершим следующей теоремой:

Доказательство. Пусть заданы прямая а и точка А. Возможны два случая:

• Точка А лежит на прямой а (рис. 88, а). Этот случай уже рассматривали в п. 6.2. Напомним, что плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а, является плоскость перпендикуляров к прямой а в точке А. Такая плоскость единственна.
• Точка А не лежит на прямой а (рис. 88, б). В этом случае проведём через точку А прямую Ъ, которая пересекает прямую а в некоторой точке Б и перпендикулярна прямой а. Через точку В проведём плоскость а, перпендикулярную прямой а. Она является плоскостью перпендикуляров к а в точке В> а потому содержит прямую Ь. Но тогда а проходит через точку А. Итак, мы построили плоскость α, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а. Такая плоскость единственна (докажите это сами).

Рис. 88

Вопросы для самоконтроля

1. Существование каких объектов доказано в этом параграфе?
2. Через точку А проведены плоскость α, перпендикулярная прямой а, и прямая Ь, перпендикулярная той же прямой. Как расположены прямая b и плоскость α?