и ОВ 1 описанной окружности четырехугольника ОА 1 СВ 1 равны, так как на них опираются равные углы OCA 1 и ОСВ 1 .

Вписанная окружность Δ АВС касается его сторон во внут­ренних точках. Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех прямых АВ, ВС и СА. Центр окружности, ка­сающейся двух пересекающихся прямых, лежит на одной из двух прямых, делящих пополам углы между исходными прямыми. Поэтому центры окружностей, касающихся прямых АВ, ВС и С А, лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольни­ка (или же их продолжениях). Через точку пересечения любых двух биссектрис внешних углов проходит биссектриса внутреннего угла. Доказательство этого утверждения дословно повторяет дока­зательство соответствующего утверждения для биссектрис внут­ренних углов. В итоге получаем 4 окружности с центрами О, О а , Оь и О с (рис. 57). Окружность с центром О а касается стороны ВС и

продолжений сторон АВ и АС; эта окружность называется вневписанной окружностью Δ АВС. Радиус вписанной окружности треугольника обычно обозначается через г, а радиусы вневписанных окружностей - через г а , г ь и г с . Между радиусами вписанной и вневписанной окружностей имеют место следующие соотношения:

г / г с =(р-с)/р и г г с =(р - а) (р -в), где р - полупериметр Δ АВС. Докажем это. Пусть К и L - точки касания вписанной и вневписанной окружностей с прямой ВС (рис. 58). Прямоугольные треугольники СОК и CO c L подобны, поэтому

г/ г с =ОК/О с L = CK / CL .. Ранее было доказано, что СК = (а+в-с)/2=р-с.

Остается проверить, что CL = p .

Пусть М и Р - точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и АС. Тогда

CL= (CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM + CA+AM)/2 = р

Для доказательства соотношения rr c =(p - a )(p - b ) рассмот­рим прямоугольные треугольники LO C B и КВО, которые подобны, так как

<OBK +< O C BL =(<СВА + <АВ L )/2=90°.

Значит, L О с /ВL =BK /KO , т. е. rr c = KO · LO c = BK · BL . Остается за­метить, что ВК=(a + c - b )/2= p - b и BL = CL - CB = p - a .

Отметим еще одно интересное свойство (попутно уже факти­чески доказанное). Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются стороны АВ в точках N и М (рис. 58). Тогда AM = BN . В самом деле, BN = p - b и АМ=АР=СР-АС=р - в.

Соотношения rr c =(p - а)(p -в) и r р= r с (р -с) можно исполь­зовать для вывода формулы Герона S 2 = p (p - a )(p - b )(p - c ), где S - площадь треугольника. Перемножая эти соотношения, по­лучаем r 2 p =(p - a )(p - b )(p - c ). Остается проверить, что S = pr . Это легко сделать, разрезав ΔАВС на ΔАОВ, ΔВОС и ΔСОА.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН

Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точ­ке. Рассмотрим для этого точку М, в которой пересекаются медиа­ны АА 1 и ВВ 1 . Проведем в ΔВВ1С среднюю линию A 1 A 2 , парал­лельную ВВ 1 (рис. 59). Тогда A 1 M : AM = B 1 A 2 : AB 1 = B 1 A 2 : B 1 C = BA 1 :ВС=1:2, т. е. точка пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Аналогично точка пересечения ме­диан СС 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Следователь­но, точка пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 совпадает с точкой пере­сечения медиан АА 1 и СС 1 .

Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вер­шинами, то треугольник разобьется на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р - любая точка медианы АА 1 в АВС, то площади ΔАВР и ΔАСР равны. Ведь медианы АА 1 и РА 1 в Δ АВС и ΔРВС разрезают их на тре­угольники равной площади.

Справедливо также и обратное утверждение: если для некото­рой точки Р, лежащей внутри Δ АВС, площади ΔАВР, Δ ВСР и ΔСАР равны, то Р - точка пересечения медиан. В самом деле, из равенства площадей ΔАВР и ΔВСР следует, что расстояния от точек А и С до прямой ВР равны, а значит, ВР проходит через середину отрезка АС. Для АР и СР доказательство аналогично.

Равенство площадей треугольников, на которые медианы раз­бивают треугольник, позволяет следующим образом найти отно­шение площади s треугольника, составленного из медиан ΔАВС, к площади S самого ΔАВС. Пусть М - точка пересечения медиан ΔАВС; точка А" симметрична А относительно точки М (рис. 60)

С одной стороны, площадь ΔА"МС равна S /3. С другой стороны, этот треугольник составлен из отрезков, длина каждого из которых равна 2/3 длины соответствующей медианы, поэтому его площадь

равна (2/3) 2 s = 4s /9. Следовательно, s =3 S /4.

Весьма важным свойством точки пересечения медиан является то, что сумма трех векторов, идущих из нее в вершины треугольника, равна нулю. Заметим сначала, что АМ=1/3 (АВ+АС) , где М - точка пересечения медиан Δ ABC . В самом деле, если

ABA "С - параллелограмм, то АА"=АВ+АС и АМ=1/3АА". Поэтому МА+МВ+МС=1/3(ВА+СА+АВ + СВ + АС + ВС) = 0.

Ясно также, что этим свойством обладает только точка пересече­ния медиан, так как если X - любая другая точка, то

ХА+ХВ+ХС=(ХМ+МА)+(ХМ+МВ)+(ХМ+МС)=3ХМ..

Воспользовавшись этим свойством точки пересечения медиан треугольника, можно доказать следующее утверждение: точка пе­ресечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон АВ, CD и EF шестиугольника ABCDEF совпадает с точкой пере­сечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон ВС, DE и FA . В самом деле, воспользовавшись тем, что если, например, Р - середина отрезка АВ, то для любой точки X спра­ведливо равенство ХА+ ХВ=2ХР, легко доказать, что точки пере­сечения медиан обоих рассматриваемых треугольников обладают тем свойством, что сумма векторов, идущих из них в вершины шестиугольника, равна нулю. Следовательно, эти точки совпадают.

Точка пересечения медиан обладает одним свойством, резко выделяющим ее на фоне остальных замечательных точек тре­угольника: если ΔА"В"С" является проекцией ΔАВС на плос­кость, то точка пересечения медиан Δ А "В"С " является проекцией точки пересечения медиан ΔАВС на ту же плоскость. Это легко следует из того, что при проектировании середина отрезка пере­ходит в середину его проекции, а значит, медиана треугольника переходит в медиану его проекции. Ни биссектриса, ни высота таким свойством не обладают.

Нельзя не отметить, что точка пересечения медиан треугольни­ка является его центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами, находящихся в вер­шинах треугольника, так и центром масс пластинки, имеющей форму данного треугольника. Положением равновесия треуголь­ника, шарнирно закрепленного в произвольной точке X , будет та­кое положение, при котором луч ХМ направлен к центру Земли. Для треугольника, шарнирно закрепленного в точке пересечения медиан, любое положение является положением равновесия. Кро­ме того, треугольник, точка пересечения медиан которого опира­ется на острие иглы, также будет находиться в положении равно­весия.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ

Чтобы доказать, что высоты ΔАВС пересекаются в одной точке, вспомним путь доказательства, наметившийся в конце раздела «Центр описанной окружности». Проведем через вершины А, В и С прямые, параллельные противоположным сторонам; эти прямые образуют ΔА 1 В 1 С 1 (рис. 61). Высоты ΔАВС являют­ ся серединными перпендикулярами к сторонам ΔA 1 B 1 C 1 . Следо­вательно, они пересекаются в одной точке - центре описанной окружности ΔA 1 B 1 C 1 . Точка пересечения высот треугольника на­зывается иногда его ортоцентром.

-

Легко проверить, что если Н - точка пересечения высот ΔАВС, то А, В и С - точки пересечения высот ΔВНС, ΔСНА и Δ АНВ соответственно.

Ясно также, что <ABC + < AHC = 180°, потому что < BA 1 H = < BC 1 H =90° (A 1 и C 1 - основания высот). Если точка H 1 сим­метрична точке Н относительно прямой АС, то четырехуголь­ник АВСН 1 вписанный. Следовательно, радиусы описанных ок­ружностей Δ АВС и Δ АН С равны и эти окружности симметричны относительно стороны АС (рис. 62). Теперь легко доказать, что

АН=а |ctg А|, где а=ВС. Всамомделе,

AH=2R sin < ACH=2R |cos A| =a |ctg А| .

Предположим для простоты, что ΔАВС остроугольный и рас­смотрим ΔA 1 B 1 C 1 , образованный основаниями его высот. Оказы­вается, что центром вписанной окружности ΔA 1 B 1 C 1 является точка пересечения высот ΔАВС, а центры вневписанных окружностей

ΔA 1 B 1 C 1 являются вершинами Δ АВС (рис. 63). Точки А 1 и В 1 СН (так как углы НВ 1 С и НА 1 С прямые), поэтому < HA 1 B 1 = < HCB 1 . Аналогично <HA 1 C 1 = < HBC 1 . А так как <HCB 1 = =< HBC 1 то А 1 А - бис­сектриса <В 1 А 1 С 1 .

Пусть Н - точка пересечения высот АА 1 , ВВ 1 и CC 1 тре­угольника ABC . Точки A 1 и В 1 лежат на окружности с диамет­ром АВ, поэтому AH · A 1 H = BH · B 1 H . Аналогично ВН B 1 H =СН ·С 1 Н.

Для остроугольного треугольника справедливо также обратное утверждение: если точки А 1 , B 1 и C 1 лежат на сторонах ВС, СА и АВ остроугольного Δ АВС и отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке Р, причем АР·А 1 Р=ВР·В 1 Р=СР·С 1 Р, то Р - точка пе­ресечения высот. В самом деле, из равенства

AP ·A 1 P =BP ·B 1 P

следует, что точки А, В, А 1 и В 1 лежат на одной окружности с диаметром АВ, а значит, < AB 1 B = < BA 1 A =γ. Аналогично < ACiC =< CAiA = β и <СВ 1 В= <ВС 1 С= α (рис. 64). Ясно так­же, что α + β= CC 1 A = l 80°, β +γ=180° и γ + α = 180°. Следовательно, α = β=γ=90°.

Точку пересечения высот треугольника можно определить еще ж другим весьма интересным способом, но для этого нам потребу­ются понятия вектора и скалярного произведения векторов.

Пусть О - центр описанной окружности Δ АВС. Сумма векторов О А + OB + ОС является некоторым вектором, поэтому сущест­вует такая точка Р, что ОР = ОА + ОВ+ОС. Оказывается, что Р - точка пересечения высот ΔАВС!

Докажем, например, что AP перпендикулярно BC . Ясно, что АР=АО+

+ор=ао+(оа+ов+ос)=ов+ос и вс= -ов+ос. По­этому скалярное произведение векторов АР и ВС равно ОС 2 - OB 2 = R 2 - R 2 =0, т. е. эти векторы перпендикулярны.

Это свойство ортоцентра треугольника позволяет, доказывать некоторые далеко не очевидные утверждения. Рассмотрим, напри­мер, четырехугольник ABCD , вписанный в окружность. Пусть На, Нв, Нс и H d - ортоцентры Δ BCD , Δ CDA , Δ DAB и Δ ABC соответственно. Тогда середины отрезков АН а , ВНь, СН С , DH d совпадают. В самом деле, если О - центр окружности, а М - се­редина отрезка АН а , то ОМ=1/2(0А + ОН а )= =1/2(ОА + ОВ+ОС+О D ) . Для середин трех других отрезков получаем точно такие же выражения.

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА

Самым удивительным свойством замечательных точек тре­ угольника является то, что некоторые из них связаны друг с дру­ гом определенными соотношениями. Например, точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н и центр описанной окруж­ ности О лежат на одной прямой, причем точка М делит отре­ зок ОН так, что справедливо соотношение ОМ:МН= 1:2. Эта теорема была доказана в 1765 г. Леонардом Эйлером, который своей неутомимой деятельностью значительно развил многие об­ласти математики и заложил основы многих новых ее разделов. Он родился в 1707 г. в Швейцарии. В 20 лет Эйлер по рекомендации братьев Бернулли получил приглашение приехать в Санкт-Петер­ бург, где незадолго перед этим была организована академия. В конце 1740 г. в России в связи с приходом к власти Анны Леополь­ довны сложилась тревожная обстановка, и Эйлер переехал в Берлин. Через 25 лет он снова вернулся в Россию, в общей слож­ ности в Петербурге Эйлер прожил более 30 лет. Находясь в Берли­ не, Эйлер поддерживал тесную связь с русской академией и был ее почетным членом. Из Берлина Эйлер переписывался с Ломоно­ совым. Их переписка завязалась следующим образом. В 1747 г. Ломоносова избрали в профессоры, т. е. в действительные члены академии; императрица это избрание утвердила. После этого реакционный чиновник академии Шумахер, яро ненавидящий Ло­ моносова, послал его работы Эйлеру, надеясь получить о них плохой отзыв. (Эйлер был старше Ломоносова всего на 4 года, но его научный авторитет был к тому времени уже очень высок.) В своем отзыве Эйлер писал: «Все сии сочинения не токмо хоро­ ши, но и превосходны, ибо он изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкова­ нию самым остроумным и уче­ ным людям, с таким основатель ством, что я совсем уверен о точности его доказательств... Желать надобно, чтобы все про­ чие академии были в состоянии показать такие изобретения, ко­ торые показал господин Ломо­ носов».

Перейдем к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим Δ A 1 B 1 C 1 с вершинами в ­ серединах сторон Δ АВС; пусть H 1 и Н - их ортоцентры (рис. 65). Точка Н 1 совпадает с центром О описанной окружности ΔАВС. Докажем, что Δ C 1 H 1 M =Δ CHM . В самом деле, по свойству точки пересечения медиан С 1 М : СМ= 1:2, коэффициент подобия ΔA 1 B 1 C 1 и ΔАВС равен 2, поэтому C 1 H 1 : CH =1:2, кроме того, <H 1 C 1 M =<НСМ (C 1 H 1 || CH ). Сле­довательно, < C 1 MH 1 = < СМН, а значит, точка М лежит на отрезке H 1 H . Кроме того, H 1 M : MH =1:2, так как коэффициент подобия ΔC 1 H 1 M и Δ СНМ равен 2.

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК

В 1765 г. Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Докажем и мы это свойство треугольника.

Пусть В 2 - основание высоты, опущенной из вершины В на
сторону АС. Точки В и В 2 симметричны относительно прямой А 1 С 1
(рис. 66). Следовательно, ΔА 1 В 2 С 1 = Δ A 1 BC t = Δ A 1 B 1 C 1 , поэтому < A 1 B 2 C 1 = <А 1 В 1 С 1 , а значит, точка В 2 лежит на описанной
окружности ΔА 1 В 1 С 1 . Для остальных оснований высот доказа­тельство аналогично. „

Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности ле­жат еще три точки - середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.

Пусть Аз и Сз - середины отрезков АН и СН, С 2 - основа­ние высоты, опущенной из вершины С на АВ (рис. 67). Дока­жем сначала, что A 1 C 1 A 3 C 3 - прямоугольник. Это легко следует из того, что А 1 Сз и A 3 C 1 - средние линии ΔВСН и ΔАВН, а A 1 C 1 и А 3 Сз - средние линии ΔАВС и ΔАСН. Поэтому точки А 1 и Аз лежат на окружности с диаметром С 1 Сз, а так как Аз и Сз лежат на окружности, проходящей через точки А 1, C 1 и С 2 . Эта окружность совпадает с окружностью, рассмотренной Эйлером (если Δ АВС не равнобедренный). Для точки Вз доказа­тельство аналогично.

ТОЧКА ТОРРИЧЕЛЛИ

Внутри произвольного четырехугольника ABCD легко найти точку, сумма расстояний от которой до вершин имеет наимень­шее значение. Такой точкой является точка О пересечения его диагоналей. В самом деле, если X - любая другая точка, то АХ+ХС≥АС=АО+ОС и BX + XD ≥ BD = BO + OD , причем хотя бы одно из неравенств строгое. Для треугольника аналогичная задача решается сложнее, к ее решению мы сейчас перейдем. Для простоты разберем случай остроугольного треугольника.

Пусть М - некоторая точка внутри остроугольного Δ АВС. Повернем Δ АВС вместе с точкой М на 60° вокруг точки А (рис. 68). (Точнее говоря, пусть В",С и М" - образы точек В, С и М при повороте на 60° вокруг точки А.) Тогда АМ+ВМ+СМ=ММ"+ BM + C " M ", АМ=ММ", так как ΔАММ" - равнобедренный (АМ=АМ") и <МАМ" = 60°. Правая часть равенства - это длина ломаной ВММ"С " ; она будет наименьшей, когда эта ломаная

совпадает с отрезком ВС " . В этом случае <. AMB = 180° - <АММ" = 120° и <АМС = <AM " C - 180°- <AM " M = 120°, т. е. стороны АВ, ВС и СА видны из точки М под углом 120°. Такая точка М называется точкой Торричелли треугольника ABC .

Докажем, впрочем, что внутри остроугольного треугольника всегда существует точка М, из которой каждая сторона видна под утлом 120°. Построим на стороне АВ треугольника ABC внешним образом правильный ΔАВС 1 (рис. 69). Пусть М -точка пересе­чения описанной окружности ΔАВС 1 и прямой СС 1 . Тогда ABC 1 =60° и АВС видны из точки М под углом 120°. Продолжая эти рассуждения немножко дальше, можно получить еще одно опреде­ление точки Торричелли. Построим правильные треугольни­ки А 1 ВС и АВ 1 С еще и на сторонах ВС и АС. Докажем, что точка М лежит также и на прямой АА 1 . В самом деле, точка М лежит на описанной окружности ΔA 1 BC , поэтому <A 1 MB = < A 1 CB = 60°, а значит, <А 1 МВ+ <. BMA = 180°. Аналогично точка М лежит и на прямой ВВ 1 (рис. 69).

Внутри ΔАВС существует единственная точка М, из которой его стороны видны под углом 120°, потому что описанные окруж­ности ΔABC 1 , Δ AB i C и Δ А 1 ВС не могут иметь более одной об­щей точки.

Приведем теперь физическую (механическую) интерпретацию точки Торричелли. Закрепим в вершинах ΔАВС колечки, про­пустим сквозь них три веревки, одни концы которых связаны, а к другим концам прикреплены грузы равной массы (рис. 70). Ес­ли х = МА, у = МВ, z = MC и а - длина каждой нити, то потенци­альная энергия рассматриваемой системы равна mg (x -а )+ mg (y - a )+ mg (z --а). В положении равновесия потенциальная энергия имеет наименьшее значение, поэтому сумма х+у+z тоже имеет наименьшее значение. С другой стороны, в положении равновесия равнодействующая сил в точке М равна нулю. Силы эти по абсолютной величине равны, поэтому попарные углы между векторами сил равны 120°.

Остается рассказать, как обстоят дела в случае тупоугольно­го треугольника. Если тупой угол меньше 120°, то все предыдущие рассуждения остаются в силе. А если тупой угол больше или равен 120°, то сумма расстояний от точки треугольника до его вершин будет наименьшей, когда эта точка - вершина тупого угла.

ТОЧКИ БРОКАРА

Точками Брокара Δ АВС называются такие его внутренние точки Р и Q , что <ABP = <. BCP =< CAP и <. QAB = <. QBC = < QCA (для равностороннего треугольника точки Брокара сли­ваются в одну точку). Докажем, что внутри любого ΔАВС сущест­вует точка Р, обладающая требуемым свойством (для точки Q до­казательство аналогично). Предварительно сформулируем опреде­ление точки Брокара в другом виде. Обозначим величины углов так, как показано на рисунке 71. Поскольку <АРВ=180° - а+ х-у, равенство х=у эквивалентно равенству <APB =180°-< . A . Следовательно, Р - точка Δ АВС, из которой стороны АВ,
ВС и СА видны под углами 180°-<. A , 180°- <B , 180°-<С.
Такую точку можно построить следующим образом. Построим на
стороне ВС треугольника АВС подобный ему треугольник СА1В
так, как показано на рисунке 72. Докажем, что точка Р пересече­ния прямой АА1 и описанной окружности ΔА1ВС искомая. В са­мом деле, <BPC =18 O ° - β и <APB = 180°- <A t PB = 180° -<A 1 CB = l 80° - а. Построим далее аналогичным образом по­добные треугольники на сторонах АС и АВ (рис. 73). Так как <. APB = 180° - а, точка Р лежит также и на описанной окружности ΔАВС 1 Следовательно, <BPC 1 = <BAC 1 = β, а значит, точка
Р лежит на отрезке СС 1 . Аналогично она лежит и на отрезке ВВ 1 ,
т. е. Р - точка пересечения отрезков АА 1 , ВВ 1 и СС 1 .

Точка Брокара Р обладает следующим интересным свойством. Пусть прямые АР, ВР и СР пересекают описанную окружность ΔАВС

в точках А 1 , В 1 и C 1 (рис. 74). Тогда ΔАВС = Δ B 1 С 1 A 1 .В самом деле, <. A 1 B 1 C 1 = < A 1 B 1 B + < BB 1 C 1 = <A 1 AB +<В CC 1 = <A 1 AB + +< A 1 AC =<.ВАС, по свойству точки Брокарa ΔАВС углы BCC 1 и А 1 АС равны, а значит, A 1 C 1 = BC . Равенство остальных сторон ΔАВС и Δ В 1 С 1 А 1 проверяется аналогично.

Во всех рассмотренных нами случаях доказательство того, что соответствующие тройки прямых пересекаются в одной точке, можно провести с помощью теоремы Чевы. Мы сформулируем эту теорему.

Теорема . Пусть на сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты точки С 1 , А 1 и В 1 соответственно. Прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

АС 1 /С 1 В·ВА 1 /А 1 С·СВ 1 / В 1 А = 1.

Доказательство теоремы приведено в учебнике геометрии 7-9 класс Л.С.Атанасяна на с.300.

Литература.

1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.- М.:Просвещение, 2000г.

2.Киселев А.П. Элементарная геометрия.- М.:Просвещение, 1980г.

3.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. М.:Просвещение, 1991г.

4. Энциклопедический словарь юного математика.. Сост. А.П.Савин.-.М.:Педагогика, 1989.

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области.

МОУО г. Екатеринбург.

Образовательное учреждение – МОУСОШ № 212 «Екатеринбургский культурологический лицей»

Образовательная область – математика.

Предмет – геометрия.

Замечательные точки треугольника

Референт : учащийся 8 класса

Селицкий Дмитрий Константинович.

Научный руководитель:

Рабканов Сергей Петрович.

Екатеринбург, 2001

Введение 3

Описательная часть:

Ортоцентр 4

Ицентр 5

Центр тяжести 7

Центр описанной окружности 8

Прямая Эйлера 9

Практическая часть:

Ортоцентрический треугольник 10

Заключение 11

Список литературы 11

Введение.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных свойствах треугольника, потребуется большое количество времени. Меня заинтересовали так называемые «Замечательные точки треугольника». Примером таких точек является точка пересечения биссектрис. Замечательно то, что если взять три произвольные точки пространства, построить из них треугольник и провести биссектрисы, то они (биссектрисы) пересекутся в одной точке! Казалось бы, это не возможно, потому что мы взяли произвольные точки, но это правило действует всегда. Подобными свойствами обладают и другие «замечательные точки»

После прочтения литературы по данной теме, я зафиксировал для себя определения и свойства пяти замечательных точек и треугольника. Но на этом моя работа не закончилась, мне захотелось самому исследовать эти точки.

Поэтому цель данной работы – изучение некоторых замечательные свойства треугольника, и исследование ортоцентрического треугольника. В процессе достижения поставленной цели можно выделить следующие этапы:

Подбор литературы, с помощью преподавателя

Изучение основных свойств замечательных точек и линий треугольника

Обобщение этих свойства

Составление и решение задачи, связанной с ортоцентрическим треугольником

Полученные результаты я изложил в данной научно-исследовательской работе. Все чертежи я выполнил с использованием компьютерной графики (векторный графический редактор CorelDRAW).

Ортоцентр. (Точка пересечения высот)

Докажем, что высоты пересекаются в одной точке. Проведём через вершины А , В и С треугольника АВС прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые образуют треугольник А 1 В 1 С 1 . высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 1 В 1 С 1 . следовательно, они пересекаются в одной точке – центре описанной окружности треугольника А 1 В 1 С 1 . Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром (H ).

Ицентр – центр вписанной окружности.

(Точка пересечения биссектрис)

Докажем, что биссектрисы углов треугольника АВС пересекаются в одной точке. Рассмотрим точку О пересечения биссектрис углов А и В . любые точки биссектрисы угла А равноудалена от прямых АВ и АС , а любая точка биссектрисы угла В равноудалена от прямых АВ и ВС , поэтому точка О равноудалена от прямых АС и ВС , т.е. она лежит на биссектрисе угла С . точка О равноудалена от прямых АВ , ВС и СА , значит, существует окружность с центром О , касающаяся этих прямых, причём точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. В самом деле, углы при вершинах А и В треугольника АОВ острые поэтому проекция точки О на прямую АВ лежит внутри отрезка АВ .

Для сторон ВС и СА доказательство аналогично.

Ицентр обладает тремя свойствами:

Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке М , то МА =МВ =МО .

Если АВ - основание равнобедренного треугольника АВС , то окружность, касающаяся сторон угла АСВ в точках А и В , проходит через точку О .

Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ , пересекает стороны ВС и СА в точках А 1 и В 1 , то А 1 В 1 =А 1 В +АВ 1 .

Центр тяжести. (Точка пересечения медиан)

Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим для этого точку М , в которой пересекаются медианы АА 1 и ВВ 1 . проведём в треугольникеВВ 1 С среднюю линию А 1 А 2 , параллельную ВВ 1 . тогда А 1 М:АМ =В 1 А 2 :АВ 1 =В 1 А 2 :В 1 С =ВА 1 :ВС =1:2, т.е. точка пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Аналогично точка пересечения медиан СС 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Следовательно, точка пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 совпадает с точкой пересечения медиан АА 1 и СС 1 .

Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, то треугольники разобьётся на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р – любая точка медианы АА 1 в треугольнике АВС , то площади треугольников АВР и АСР равны. Ведь медианы АА 1 и РА 1 в треугольниках АВС и РВС разрезают их на треугольники равной площади.

Справедливо и обратное утверждение: если для некоторой точки Р , лежащей внутри треугольника АВС , площади треугольников АВР , ВСР и САР равны, то Р – точка пересечения медиан.

У точки пересечения есть ещё одно свойство: если вырезать треугольник из какого-либо материала, провести на нём медианы, закрепить в точке пересечения медиан подвез и закрепить подвес на штативе, то модель (треугольник) будет находиться в состоянии равновесия, следовательно, точка пересечения есть ни что иное, как центр тяжести треугольника.

Центр описанной окружности.

Докажем, что существует точка, равноудалённая от вершин треугольника, или, иначе, что существует окружность, проходящая через три вершины треугольника. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и В , является перпендикуляр к отрезку АВ , проходящий через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку АВ ). Рассмотрим точку О , в которой пересекаются серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС . Точка О равноудалена от точек А и В , а также от точек В и С . поэтому она равноудалена от точек А и С , т.е. она лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку АС .

Центр О описанной окружности лежит внутри треугольника, только если этот треугольник остроугольный. Если же треугольник прямоугольный, то точка О совпадает с серединой гипотенузы, а если угол при вершине С тупой, то прямая АВ разделяет точки О и С .

В математике часто бывает так, что объекты, определённые совсем по-разному, оказываются совпадающими. Покажем это на примере.

Пусть А 1 , В 1 , С 1 – середины сторон ВС , СА и АВ. Можно доказать, что окружности, описанные около треугольников АВ 1 С , А 1 ВС 1 и А 1 В 1 С 1 пересекаются в одной точке, причём эта точка – центр описанной окружности треугольника АВС . Итак, у нас есть две, казалось бы, совсем разные точки: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС и точка пересечения описанных окружностей треугольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС и А 1 В 1 С 1 . а оказывается, что эти две точки совпадают.

Прямая Эйлера.

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, что некоторые из них связаны друг с другом определёнными соотношениями. Например, центр тяжести М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ:МН =1:2. Эта теорема была доказана в 1765 г. швейцарским учёным Леонардо Эйлером.

Ортоцентрический треугольник.

Ортоцентрический треугольник (ортотреугольник) – это треугольник (М N К ), вершинами которого служат основания высот данного треугольника (АВС ). Этот треугольник обладает многими интересными свойствами. Приведем одно из них.

Свойство.

Доказать:

Треугольники AKM , CMN и BKN подобны треугольнику АВС ;

Углы ортотреугольника MNK таковы: L KNM = π - 2 L A , L KMN = π – 2 L B , L MNK = π - - 2 L C .

Доказательство:

Имеем AB cos A , AK cos A . Следовательно, AM /AB = AK /AC .

Т.к. у треугольников ABC и AKM угол А – общий, то они подобны, откуда заключаем, что угол L AKM = L C . Поэтому L BKM = L C . Далее имеем L MKC = π/2 – L C , L NKC = π/2 – - - L C , т.е. СК – биссектриса угла MNK . Итак, L MNK = π – 2 L C . Аналогично доказываются остальные равенства.

Заключение.

В заключение данной научно-исследовательской работы можно сделать следующие выводы:

Замечательными точками и линиями треугольника являются:

ортоцентр треугольника - это точка пересечения его высот;

ицентр треугольника – это точка пересечения биссектрис;

центр тяжести треугольника - это точка пересечения его медиан;

центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров;

прямая Эйлера – это прямая, на которой лежат центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности.

Ортоцентрический треугольник делит данный треугольник на три подобных данному.

Проделав данную работу, я узнал много нового о свойствах треугольника. Данная работа явилась актуальной для меня с точки зрения развития моих знаний в области математики. В дальнейшем я предполагаю развивать эту интереснейшую тему.

Список литературы.

Киселёв А. П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.

Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986. – Ч. 1.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука, 1986.

Сканави М. И. Математика. Задачи с решениями. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1998.

Берже М. Геометрия в двух томах – М: Мир, 1984.