Описание работы и расчет (моделирование) электрических устройств можно проводить на базе теории электромагнитного поля. Этот подход приводит к сложным математическим моделям (системам дифференциальных уравнений в частных производных) и используется в основном при анализе сверхвысокочастотных устройств и антенн.

Значительно проще и удобнее моделировать электрические устройства на основе уравнений электрического равновесия токов и напряжений. На этой основе построена теория электрических цепей .

Заряд, ток, напряжение, мощность, энергия

Электрическим зарядом называют источник электрического поля, через которое заряды взаимодействуют друг с другом . Электрические заряды могут быть положительными (ионы) и отрицательными (электроны и ионы). Разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются. Величина заряда измеряется в кулонах (К).

Величина (сила) тока равна отношению бесконечно малого заряда (количества электричества)
, переносимого в данный момент временичерез поперечное сечение проводника за бесконечно малый интервал времени
к величине этого интервала,

. (1.1)

Ток измеряется в амперах (А), в технике широко используют значения в миллиамперах (1 мА=10 -3 А), микроамперах (1 мкА=10 -6 А) и наноамперах (1 нА=10 -9 А), значения дольных приставок приведены в приложении 1.

Электрический потенциал некоторой точки – это величина, равная отношению потенциальной энергии, которой обладает зарядв этой точке, к величине заряда,

. (1.2)

Потенциальная энергия равна энергии, затрачиваемой на перенос заряда из данной точки с потенциаломв точку с нулевым потенциалом.

Если - потенциал точки 2, а- точки 1, то напряже-

ние между точками 2 и 1 равно

. (1.3)

Напряжение измеряется в вольтах (В), используются значения в киловольтах (кВ), милливольтах (мВ) и микровольтах (мкВ).

Ток и напряжение характеризуются направлением, которое указывается стрелкой, как показано на рис. 1.1. Они задаются произвольнодо начала расчетов . Желательно, чтобы ток и напряжение для одного элемента цепи имели быодинаковые поло-

Рис. 1.1 жительные направления. Обозначения могут

иметь индексы, например, напряжение
между точками 1 и 2 на рис. 1.1.

Численные значения тока и напряжения характеризуются знаком. Если знак положительный, то это означает, что истинное положительное направление совпадает с заданным, а иначе они противоположны.

Движение зарядов в электрической цепи характеризуются энергией имощностью . Для перемещения бесконечно малого заряда
между точками 1 и 2 с напряжением
в цепи на рис. 1.1 необходимо затратить бесконечно малую энергию
, равную

, (1.4)

тогда энергия цепи в интервале времени от дос учетом (1.1) определяется выражением

. (1.5)

При постоянных токе
и напряжении
энергия равнаи неограниченно растет с течением времени. Это относится и к общему выражению (1.5), что делает энергию цепи достаточно неудобной технической характеристикой.

Мгновенная мощность
зависит от времени и может бытьположительной (цепь потребляет энергию извне) иотрицательной (цепь отдает ранее накопленную энергию).

Средняя мощность всегда неотрицательна , если внутри цепи отсутствуют источники электрической энергии.

Энергия измеряется в джоулях (Дж), а мгновенная и средняя мощности – в ваттах (Вт).

1.3. Элементы электрической цепи

Элемент – это неделимая часть электрической цепи. В физической цепи (радиоприемнике) имеются физические элементы (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы и т.д.). Они имеют сложные свойства и математический аппарат их точного описания на основе теории электромагнитного поля.

При расчете электрической цепи необходимо разработать достаточно точные, простые и удобные с инженерной точки зрения модели физических элементов, которые в дальнейшем будем называтьэлементами .

Инженерные модели в электротехнике строятся на основе физических представлений о взаимосвязи в них тока и напряжения. Свойства резистивных двухполюсных (с двумя выводами) элементов описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ) – зависимостью тока через элементот приложенного к нему напряжения. Эта зависимость может быть прямолинейной (для резистора на рис. 1.2а) или нелинейной (для полупроводникового диода на рис.1.2б).

Элементы с прямолинейной ВАХ называют линейными , а иначе –нелинейными . Аналогично рассматриваются емкостные элементы, для которых используют кулон – вольтную характеристику (зависимость накопленного заряда от приложенного напряжения), и индуктивные с использованием вебер - амперной характеристики (зависимости магнитного потока от протекающего через элемент тока).

1.4. Модели основных линейных элементов цепи

Основными линейными элементами электрической цепи являются резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Их условно-графические обозначения показаны на рис. 1.3 (сверху указаны названия физических элементов, а внизу – их моделей).

Сопротивление (модель резистора) в соответствии с рис. 1.4 строится на основе закона Ома в классической формулировке,

, (1.10)

где- параметр модели, называемыйсопротивлением , а-проводимостью ,

. (1.11)

Рис. 1.4

Как видно из (1.10), сопротивление – это линейный элемент (с прямолинейной ВАХ). Его параметр - сопротивление - измеряется в Омах (Ом) или внесистемных единицах – килоомах (кОм), мегаомах (Мом) или гигаомах (ГОм). Проводимостьопределяется выражением (1.11), обратна сопротивлению и измеряется в 1/Ом. Сопротивление и проводимость элементане зависят от величин тока и напряжения.

В сопротивлении ток и напряжение пропорциональны друг другу, имеют одинаковую форму.

Мгновенная мощность электрического тока в сопротивлении равна

Как видно, мгновенная мощность в сопротивлении не может быть отрицательна , то есть сопротивление всегдапотребляет мощность (энергию), преобразуя ее в тепло или другие виды, например, в электромагнитное излучение. Сопротивление – это модель диссипативного элемента, рассеивающего электрическую энергию.

Емкость (модель конденсатора) в соответствии с рис.1.5 формируется исходя из того, что накопленный в ней заряд пропорционален приложенному напряжению,

. (1.13)

Параметр модели – емкость - не зависит

Рис. 1.5 от тока и напряжения и измеряется в фарадах

(Ф). Величина емкости 1 Ф очень велика, на практике широко используются значения в микрофарадах (1 мкФ = 10 -6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10 -9 Ф) и пикофарадах (1 пФ = 10 -12 Ф).

Подставляя (1.13) в (1.1), получим модель для мгновенных значений тока и напряжения

.

Из (1.14) можно записать обратное выражение для модели,

Мгновенная электрическая мощность в емкости равна

. (1.16)

Если напряжение положительно и увеличивается с течением времени (его производная больше нуля), то мгновенная мощность положительна и емкостьнакапливает в себе энергию электрического поля. Аналогичный процесс имеет место, если напряжение отрицательно и продолжает уменьшаться.

Если же напряжение емкости положительно и падает (отрицательно и растет), то мгновенная мощность отрицательна , а емкостьотдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, емкость – это элемент, накапливающий электрическую энергию (подобно банке, в которой накапливается вода, и из которой она может выливаться), потери энергии в емкости отсутствуют .

Накопленная в емкости энергия определяется выражением

Индуктивность (модель катушки индуктивности) формируется исходя из того, что потокосцепление
, равное произведению магнитного потока(в веберах) на число витков катушки, прямо пропорционально протекающему через нее току(рис. 1.6),

, (1.18)

где - параметр модели, который называетсяиндуктивностью и измеряется в генри (Гн).

Рис. 1.6 Величина 1 Гн – это очень большая ин-

дуктивность, поэтому используют внесистемные единицы: миллигенри (1 мГн = 10 -3 Гн), микрогенри (1 мкГн = 10 -6 Гн) и наногенри (1 нГн = 10 -9 Гн).

Изменение потокосцепления в индуктивности вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции
, равную

(1.19)

и направленную противоположно току и напряжению, тогда
и модель катушки индуктивностидля мгновенных значений тока и напряжения принимает вид

Можно записать обратное выражение модели,

Мгновенная электрическая мощность в индуктивности равна

. (1.22)

Если ток положителен и растет, или отрицателен и падает, то мгновенная мощность положительна и индуктивностьнакапливает в себе энергию магнитного поля. Если же ток индуктивности положителен и падает (отрицателен и растет), то мгновенная мощностьотрицательна , и индуктивностьотдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, индуктивность (как и емкость) – это элемент, только накапливающий энергию, потери энергии в индуктивности отсутствуют .

Накопленная в индуктивности энергия равна

Законы Ома для элементов цепи

Рассмотренные модели элементов электрической цепи, определяющие взаимосвязь между мгновенными значениями токов и напряжений, будем в дальнейшем называть законами Ома для элементов цепи, хотя собственно закон Ома относится лишь к сопротивлению.

Эти соотношения сведены в табл. 1.1. Они являются линейными математическими операциями и относятся только к линейным элементам.

В нелинейных элементах связь между током и напряжением существенно сложнее и в целом может быть описана нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями, для которых отсутствуют общие методы решения.

Таблица 1.1

Законы Ома в элементах цепи для мгновенных значений тока и напряжения

	Зависимость тока от напряжения	Зависимость напряжения от тока

Расчет тока и напряжения в элементах цепи

В качестве примера проведем расчет напряжения на элементах цепи при заданной зависимости тока от времени, показанной на рис. 1.7.

Математически эту зависимость можно записать

Рис. 1.7 в виде

(1.24)

Необходимо помнить, что в (1.24) время измеряется в миллисекундах, а ток- миллиамперах.

Тогда в показанном на рис. 1.4. сопротивлении при
кОм напряжение равно
(рис. 1.8а) и мощность
(рис. 1.8б). Формы временных диаграмм тока и напряжения в сопротивлении совпадают, а произведение двух прямолинейных зависимостей
и
дает параболические кривые изменения мощности
.

В емкости (рис.1.5)
мкФ мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой выражениями (1.14) или (1.15). Для тока (рис.1.7) вида (1.24) из

(1.25)

получим формулу для напряжения на емкости в вольтах

(1.26)

Расчет при
1 мс выполняется очевидно. При

интеграл (1.25) записывается в виде

(1.27)

На интервале времени
мс интеграл (1.25) имеет вид

иявляется константой. Временная диаграмма
показана на рис. 1.9. Как видно, на интервале времени
мс, пока действует импульс тока, происходит заряд конденсатора, а затем напряжение заряженной емкости не меняется. На рис. 1.10а показана зависимость от времени мгновенной мощности

Рис. 1.9 (1.16), а на рис. 1.10б – накоп-

ленной в емкости энергии
(1.17). Как видно, емкость только накапливает энергию, так как разряд не происходит (ток вида рис. 1.7 принимает только положительные значения).

Для получения формулы мощности
необходимо перемножить выражения (1.24) и (1.26) на соответствующих

временных интервалах (получим полином третьей степени ).

Энергия
определяется из (1.17) при подстановке (1.26), что приводит к полиномам четвертой степени.

Для индуктивности рис. 1.6
Гн при токе, показанном на рис. 1.7 напряжение
определяется выражением (1.20)

, (1.29)

тогда при подстановке (1.24) для
в вольтах получим

(1.30)

Эта зависимость показана на рис. 1.11. При графическом дифференцировании прямолинейных зависимостей на рис. 1.7 получим на соответствующих интервалах времени константы, что соответствует рис. 1.11.

Мощность определяется выражением (1.22), тогда для
в милливаттах получим

(1.31)

Зависимость
показана на рис. 1.12а. Накопленная в индуктивности энергия вычисляется по формуле (1.23), тогда график
имеет вид, показанный на рис. 1.12б.

Как видно, мгновенная мощность с ростом тока на интервале времени от 0 до 1мс прямо пропорционально увеличивается, а накопленная в индуктивности энергия растет по квадратичному закону. Когда ток начинает падать при
, то напряжение
и мощность
становятся отрицательными (рис. 1.11 и рис. 1.12а), а это означат, что индуктивность отдает ранее накопленную энергию, которая начинает снижаться по квадратичному закону (рис. 1.12б).

Расчет сигналов и энергетических характеристик в элементах цепи R,LиCможно провести с помощью программыMathCAD.

Идеальные источники сигнала

Электрические сигналы (токи и напряжения) возникают в цепи при воздействии на нее источников. Физические источники – это батареи и аккумуляторы, формирующие постоянные ток и напряжение, генераторы переменных напряжений различной формы и другие электронные устройства. На их зажимах (полюсах) возникает напряжение (разность потенциалов) и через них протекает ток за счет электрохимических процессов или других сложных физических явлений. В физике их обобщенное действие характеризуютэлектродвижущей силой (ЭДС) .

Для расчета электрических цепей необходимы модели источников сигнала. Простейшими из них являютсяидеальные источники .

Графическое изображение (обозначение) идеального источника напряжения показано на рис. 1.13 в виде окружности со стрелкой, указывающей положительное направление ЭДС
. На полюсах источника возникает напряжение
, которое при указанных положительных направлениях равно ЭДС,

(1.32)

Если изменить положительное

направление ЭДС или напряжения (сделать их встречными ), в формуле появитсязнак минус .

К источнику подключается нагрузка и тогда через нее протекает ток
. Свойства источникапостоянного напряжения или тока описываются еговольтамперной характеристикой (ВАХ) – зависимостью тока от напряжения
. Идеальный источник напряжения с ЭДС, равнойимеет вольтамперную характеристику, показанную на рис. 1.14. Если рассматривается источник переменного сигнала, то от токане зависят все его пара-

Рис. 1.14 метры .

Как видно, с ростом тока при постоянном напряжении мощность, отдаваемая идеальным источником напряжения в нагрузку, стремится к бесконечности . Это является следствием выбранной идеальной модели (формы ВАХ) и ее недостатком, так как любой физический источник не может отдать бесконечную мощность.

Графическое изображение идеального источника тока
показано на рис. 1.15а в виде окружности, внутри которой указано положительное направление тока. При подключении нагрузки на полюсах источника возникает напряжение
с указанным положительным направлением.

На рис. 1.15б показана ВАХ идеального источника постоянного тока. И для этой модели с ростом напряжения мощность, отдаваемая источником в нагрузку, стремится к бесконечности.

1.8. Основы топологического описания цепи

Электрической цепью называют совокупность соединенных между собой источников, потребителей и преобразователей электрической энергии, процессы в которых описываются в терминах тока и напряжения.

Физическая электрическая цепь (электронное устройство) состоит из физических элементов – резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, диодов, транзисторов и большого числа других электронных элементов. Каждый из них имеет условно-графическое обозначение в соответствии со стандартом – единой системой конструкторской документации (ЕСКД). Соединение этих элементов между собой графически представляется принципиальной схемой цепи (фильтра, усилителя, телевизора). Пример принципиальной схемы транзисторного усилителя показан на рис. 1.16.

Сейчас мы не будем обсуждать работу усилителя и на-

значение его элементов, а лишь отметим условно-графические обозначения использованных элементов, которые отдельно показаны на рис. 1.17. Жирной точкой отмечены электрические соединения элементов.

Рис. 1.17 Как видно, графические

обозначения резистора и конденсатора совпадают с обозначениями их моделей - сопротивления и емкости, а обозначения других отличаются.

Для расчета цепей используют их эквивалентные схемы илисхемы замещения , которые показывают соединения моделей элементов, образующих электрическую цепь. Каждый физический элемент принципиальной схемы заменяется соответствующей моделью, которая может состоять из одной или нескольких простейших идеальных моделей (сопротивления, емкости, индуктивности или источников сигнала). Примеры моделей физических элементов показаны на рис. 1.18.

Резистор и конденсатор чаще всего представляются своими идеальными моделями с теми же условно-графическими обозначениями. Катушка индуктивности может быть представлена идеальной индуктивностью, однако в ряде случаев необходимо учитывать ее сопротивление потерь . В этом случае модель катушки индуктивности представляется последовательным соединением идеальной индуктивности и сопротивления, как показано на рис. 1.18.

На рис. 1.19 в качестве примера показаны принципиальная схема параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора (такую цепь называютпараллельным колебательным контуром ) и эквивалентная схема этой цепи (катушка индуктивности заме-

нена последователь-

ным соединением Рис. 1.19

идеальной индуктив-

ности и сопротивления).

Эквивалентная схема цепи является ее топологическим описанием . С геометрической точки зрения в нем можно выделить следующие основные элементы:

Ветвь – последовательное соединение нескольких, в том числе и одного, двухполюсных элементов, в том числе и источников сигнала;

- узел - точка соединения трех и более ветвей;

- контур – замкнутое соединение двух и более ветвей.

На рис. 1.20 показан пример эквивалентной схемы цепи с обозначением ветвей, узлов (жирными точками) и контуров (замкнутыми линиями). Как видно, узел может представлять

собой не одну точку соединения, а несколько (распределенный узел, охваченный пунктирной линией).

В теории цепей существенное значение имеет число узлов эквивалентной схемы и число ветвей. Для цепи на рис. 1.20 имеется
узлов и
ветвей, одна из которых содержит только идеальный источник тока.

1.9. Соединения элементов цепи

Двухполюсные элементы электрической цепи могут соединяться между собой различным образом. Различают два простейших соединения: последовательное и параллельное.

Последовательным называют такое соединение двухполюсников, при котором через них протекает одинаковый ток. Его пример показан на рис. 1.21. В состав цепи на рис. 1.21 входит пассивные (RиC) и активные (идеальные источники напряжения
и
) эле-

Рис. 1.21 менты, через которые проте-

кает один и тот же ток
.

В сложной цепи (например, на рис. 1.20) можно выделять простые фрагменты (ветви) с последовательным соединением элементов (ветвь с источником
, пассивные ветви
и
).

Не имеет смысла соединять последовательно два идеальных источника тока или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Параллельным называют соединение двух и более ветвей с одной и той же парой узлов, при этом напряжения на параллельных ветвях одинаковы. Пример показан на рис. 1.22. Если ветви содержат по одному элементу, то говорят о параллельном соединении элементов. Например, на рис. 1.22 идеальный источник тока
и сопротивление Рис. 1.22

соеди нены параллельно.

Не имеет смысла соединять параллельно идеальные источника напряжения или идеальный источник напряжения с идеальным источником тока.

Смешанным называют соединение элементов (ветвей) цепи, которое нельзя рассматривать как последовательное или параллельное. Например, схема на рис. 1.21 является последовательным соединением элементов, а на рис. 1.22 –параллельным соединением ветвей, хотя в ветвях
и
элементы соединены последовательно.

Схема на рис. 1.20 является типичным представителем смешанного соединения, и в ней можно выделить лишь отдельные фрагменты с простыми соединениями.

1.10. Законы Кирхгофа для мгновенных значений сигналов

Два закона Кирхгофа устанавливают уравнения электрического равновесия между токами в узлах и напряжениями в контурах цепи.

Под алгебраическим суммированием понимают сложение или вычитание соответствующих величин.

Можно использовать и другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма мгновенных значений втекающих в узел токов равна сумме мгновенных значений вытекающих токов .

Пример схемы цепи показан на рис. 1.23, она повторяет схему на рис. 1 20 с указанием положительных направлений и обозначений токов и напряжений во всех элементах, а также номеров узлов (в кружках).

В цепи четыре узла и для каждого из них можно записать уравнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов ветвей,

Узел 1:
;

Узел 2:
;

Узел 3:
.

Нетрудно убедиться, что если просуммировать уравнения для узлов
и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 0. Следовательно, одно из уравнений (любое) линейно зависимо от остальных, и должно быть исключено. Таким образом, система уравнений по первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.23 может быть записана в виде

Очевидно, можно записать и другие варианты этой системы уравнений, но все они будут эквивалентны.

Физическим обоснованием первого закона Кирхгофа является принцип не накопления заряда в узле цепи. В любой момент времени заряд, поступивший в узел от втекающих токов должен быть равен заряду, покидающему узел за счет вытекающих токов.

Для выбора знаков в алгебраических суммах необходимо задать положительное направление обхода контура (чаще всего его выбираютпо часовой стрелке ). Тогда, если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода, то в алгебраической сумме записывается знак плюс, а иначе – знак минус.

Независимыми называют контуры, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

В схеме на рис. 1.23
,
(одна ветвь содержит идеальный источник тока) и
. Тогда в ней имеется
независимых контура. Как видно, общее число контуров существенно больше.

Выберем следующие независимые контуры:

C 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

C 3 R 3 ,L,R 4 ,

с положительным направлением обхода по часовой стрелке и для них запишем уравнения второго закона Кирхгофа в виде

(1.34)

Можно выбрать и другие независимые контуры, например,

C 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

E,R 1 ,R 2 ,C 2 ,C 3 ,

и для них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы – законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС – работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.

1.11. Реальные источники сигнала

Рассмотренные выше идеальные источники напряжения и тока не всегда пригодны для формирования адекватных моделей электронных устройств. Основная причина этого - возможность передачи ими в нагрузку бесконечной мощности. В этом случае используют усложненные модели источников сигнала, которые называют реальными.

Эквивалентная схема (модель) реального источника напряжения показана на рис. 1.24. В ее состав входят идеальный источник напряжения
ивнутреннее сопротивление реаль-

ного источника. К источнику подключено сопротивление нагрузки
. По второму закону Кирхгофа можно записать

, (1.35)

а по закону Ома для сопротив-

Рис. 1.24 ления

. (1.36)

Подставляя (1.36) в (1.35) получим

,

откуда следует уравнение для вольт-амперной характеристики реального источника напряжения

, (1.37)

график которой для постоянных значений тока и напряжения приведен на рис. 1.25. Пунктирной линией показана вольтамперная характеристика идеального источника напряжения. Как видно, в реальном источнике максимальный ток ограничен , а

Рис. 1.25 значит отдаваемая им мощность не

может быть бесконечной.

При постоянном напряжении мощность, отдаваемая реальным источником (рис. 1.24) в нагрузку, равна

. (1.38)

Зависимость
при
В и
Ом показана на рис. 1.26. Как видно, максимальная мощность реального источника ограничена

чена и равна
при
. Рис. 1.26

Вольтамперная характеристика реального источника напряжения при
стремится к характеристике идеального источника рис. 1.14. Таким образом, можно определить идеальный источник напряжения какреальный источник с нулевым внутренним сопротивлением (внутреннее сопротивление идеального источника напряженияравно нулю ).

Эквивалентная схема реального источника тока показана на рис. 1.27. В ее состав входит идеальный источник токаи внутреннее сопротивление, к источнику подключена нагрузка
. Уравнение первого закона Кирхгофа для одного из узлов цепи рис. 1.27 имеет вид

. (1.39) Рис. 1.27

По закону Ома
, тогда из (1.39) получим выражение для вольт-амперной характеристики реального источника тока

. (1.40)

Для постоянного тока эта зависимость показана на рис. 1.28. Как видно, максимальное напряжение, выдаваемое источником в нагрузку, ограничено величиной
при бесконечном сопротивлении нагрузки. Мощность постоянного

Рис. 1.28 тока, отдаваемая в нагрузку, равна

. (1.41)

Она имеет вид, аналогичный рис. 1.26, соответствующий график при
мА и
Ом постройте самостоятельно. Максимум мощности достигается при
и равен
.

При стремящемся к бесконечности внутреннем сопротивлении вольтамперная характеристика реального источника тока стремится к характеристике идеального источника (рис. 1.15б). Тогдаидеальный источник можно рассматривать как реальный с бесконечным внутренним сопротивлением .

Сравнивая вольтамперные характеристики реальных источников напряжения и тока на рис. 1.25 и рис. 1.28, нетрудно убедиться, что они могут быть одинаковы при условиях

(1.42)

Это означает, что эти источники при условии (1.42)

эквивалентны , то есть в схемах замещения электрических цепейреальный источник напряжения можно заманить реальным источником тока и наоборот . Для идеальных источников такая замена невозможна.

1.12. Система уравнений электрической цепи

для мгновенных значений токов и напряжений

На основе законов Ома и Кирхгофа можно сформировать систему уравнений, связывающих между собой мгновенные значения токов и напряжений. Для этого необходимо выполнить следующие действия (рассмотрим их на примере цепи рис. 1.29).

Уравнения связи между током и напряжением в элементах или ветвях цепи называютподсистемой компонентных уравнений . Число уравнений равно количеству пассивных элементов или ветвей цепи. Как видно, в состав подсистемы входят дифференциальные или интегральные соотношения между токами и напряжениями.

В рассматриваемом примере для узлов 1, 2 и 3 эти уравнения имеют вид, например, (1.32)

(1.44)

Всего формируется
уравнений.

В схеме на рис. 1.29 выбранные три независимых контура отмечены круговыми линиями со стрелкой, указывающей положительное направление обхода. Для них уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид (1.34)

(1.45)

Общее количество уравнений равно
.

Уравнения, сформированные по первому и второму законам Кирхгофа, называют подсистемой топологических уравнений , так как они определяются схемой (топологией) цепи. Общее количество уравнений в ней равно числу ветвей, не содержащих идеальные источники тока.

Совокупность подсистем компонентных и топологических уравнений образуют полную систему уравнений электрической цепи для мгновенных значений токов и напряжений, которая является полной моделью цепи.

Из компонентных уравнений нетрудно выразить все напряжения через токи ветвей, тогда для цепи на рис. 1.29 из (1.43) получим

(1.46)

(1.46’)

Подставляя (1.46) в уравнения второго закона Кирхгофа вида (1.45), получим систему уравнений для токов ветвей

(1.47)

Рассмотренный подход к формированию уравнений электрического равновесия цепи называют методом токов ветвей . Количество полученных уравнений равно числуветвей цепи,не содержащих идеальные источники тока .

Как видно, модель линейной цепи для мгновенных значений токов и напряжений вида (1.43), (1.44), (1.45) или (1.47) является линейной системой интегро-дифференциальных уравнений .

1.13. Задания для самостоятельного решения

Задание 1.1 . Напряжение
на емкостиCизменяется, как показано на рис. 1.30. Получите выражение для тока емкости
, мгновенной мощности
и накопленной энергии
, по-

стройте графики полу- Рис. 1.30

ченных функций.

Задание 1.2 . Напряжение
на сопротивленииRизменяется, как показано на рис. 1.31. Получите выражение для напряжения емкости
, по-стройте график
(через
необходимо оп-

ределить ток
,

а затем – напря- Рис. 1.31

жение
).

Задание 1.3 . Напряжение
на параллельном соединении сопротивленияRи индуктивностиLизменяется, как показано на рис. 1.32. Запишите выражение для общего тока
, постройте его график (необходимо

найти токи ветвей, а за- Рис. 1.32

тем их сумму – ток
).

Задание 1.4 . В схемах цепей, показанных на рис. 1.33, определите число узлов и ветвей, количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Задание 1.5 . Для цепей, эквивалентные схемы которых показаны на рис. 1.33, запишите полные системы уравнений по закону Ома, первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Задание 1.6 . Для цепи, показанной на рис. 1.34, запишите полную систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений элементов.

Условные обозначения основных величин
Предисловие
Часть первая. Линейные электрические цепи
Глава 1. Основные свойства и преобразования электрических цепей
§ 1.1. Топология (геометрия) электрической цепи
§ 1.2. Эквивалентные схемы источников электрической энергии
§ 1.3. Эквивалентные преобразования источников электрической энергии
§ 1.4. Преобразование схем с двумя узлами, содержащих источники
§ 1.5. Основные свойства и теоремы линейных электрических цепей
§ 1.6. Дуальные элементы и схемы
§ 1.7. Алгоритм графического построения дуальной планарной схемы
§ 1.8. Электростатические схемы
§ 1.9. Методы расчета электростатических схем
§ 1.10. Основные величины, характеризующие гармонический ток
§ 1.11. Комплексный метод
§ 1.12. Алгоритм расчета комплексным методом
§ 1.13. Комплексные числа
§ 1.14. Основные комплексные величины и законы, характеризующие гармоническое напряжение (ток)
§ 1.15. Пассивные элементы в схеме гармонического тока
§ 1.16. Соединения и преобразования пассивных элементов
§ 1.17. Примеры эквивалентных преобразований
§ 1.18. Последовательное соединение элементов
§ 1.19. Параллельное соединение элементов
§ 1.20. Резонансы в линейных электрических цепях
§ 1.21. Двухполюсники
§ 1.22. Мощности цепи гармонического тока
§ 1.23. Векторные диаграммы простейших схем
§ 1.24. Круговая диаграмма для токов четырехполюсника
§ 1.25. Топографическая диаграмма
§ 1.26. Цепи с взаимной индуктивностью
§ 1.27. Согласное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
§ 1.28. Встречное последовательное соединение индуктивно связанных катушек
§ 1.29. Параллельное соединение индуктивно связанных катушек. 46
§ 1.30. Опытное определение взаимной индуктивности
§ 1.31. Трансформатор без ферромагнитного сердечника (воздушный трансформатор)
§ 1.32. Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией
Глава 2. Негармонические токи
§ 2.1. Ряд Фурье для некоторых периодических негармонических функций
§ 2.2. Негармонические кривые с периодической огибающей
§ 2.3. Основные величины и коэффициенты негармонического тока
§ 2.4. Расчет цепей при периодических негармонических токах
§ 2.5. Измерение негармонических токов и напряжений
Глава 3. Цепи трехфазного тока
§ 3.1. Трехфазный генератор
§ 3.2. Симметричный режим в трехфазных цепях
§ 3.3. Напряжение смещения нейтрали при соединении неравномерной нагрузки звездой
§ 3.4. Определение токов в трехфазной цепи
§ 3.5. Преобразование трехфазной цепи со смешанной нагрузкой
§ 3.6. Метод симметричных составляющих
§ 3.7. Фазный множитель
§ 3.8. Сопротивления симметричной трехфазной цепи токам различных последовательностей
§ 3.9. Продольная и поперечная несимметрии трехфазной цепи
§ 3.10. Продольная несимметрия трехфазной цепи
§ 3.11. Виды продольной несимметрии
§ 3.12. Поперечная несимметрия трехфазной цепи
§ 3.13. Виды поперечной несимметрии
§ 3.14. Алгоритм расчета несимметричной трехфазной цепи
Глава 4. Методы расчета электрических схем
§ 4.1. Расчет схем по закону Ома
§ 4.2. Расчет схем по уравнениям Кирхгофа
§ 4.3. Матричная форма записи уравнений Кирхгофа
§ 4.4. Метод контурных токов
§ 4.5. Матричная форма записи уравнений методом контурных токов
§ 4.6. Метод узловых потенциалов
§ 4.7. Матричная форма записи уравнений методом узловых потенциалов
§ 4.8. Метод двух узлов
§ 4.9. Метод наложения
§ 4.10. Метод эквивалентного источника
§ 4.11. Метод компенсации
Глава 5. Топологические методы расчета электрических схем
§ 5.1. Основные понятия и определения
§ 5.2. Топологические матрицы графа
§ 5.3. Составление уравнений электрической схемы в матричной форме
§ 5.4. Нахождение определителя схемы по топологическим формулам
§ 5.5. Сигнальные графы
§ 5.6. Алгоритм построения сигнального графа по системе линейных уравнений
§ 5.7. Составление системы уравнений по сигнальному графу
§ 5.8. Преобразование сигнальных графов
§ 5.9. Топологическое правило определения передачи графа (формула Мэзона)
§ 5.10. Сигнальные графы уравнений четырехполюсников
§ 5.11. Сигнальные графы соединений четырехполюсников
Глава 6. Четырехполюсники
§ 6.1. Основные определения
§ 6.2. Уравнения пассивного четырехполюсника
§ 6.3. Уравнения четырехполюсника в А-форме (основные уравнения)
§ 6.4. Эквивалентные схемы и параметры пассивных четырехполюсников
§ 6.5. Соединения четырехполюсников
§ 6.6. Характеристические параметры четырехполюсников
§ 6.7. Передаточная функция (коэффициент передачи или амплитудно-фазовая характеристика) четырехполюсника
§ 6.8. Единицы измерения постоянной ослабления
Глава 7. Электрические фильтры
§ 7.1. Классификация
§ 7.2. Электрические реактивные цепные фильтры
§ 7.3. Реактивные фильтры типа k
§ 7.4. Реактивные фильтры типа т
§ 7.5. Безындукционные фильтры (RС-фильтры)
Глава 8. Переходные процессы в линейных электрических цепях
§ 8.1. Методы расчета
§ 8.2. Законы коммутации
§ 8.3. Классический метод
§ 8.4. Характер свободного процесса в зависимости от корней характеристического уравнения
§ 8.5. Составление характеристического уравнения
§ 8.6. Определение степени характеристического уравнения
§ 8.7. Начальные условия (начальные значения токов и напряжений при t=0
§ 8.8. Определение зависимых начальных условий
§ 8.9. Определение начальных условий для свободных составляющих токов и напряжений
§ 8.10. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом
§ 8.11. Переходные процессы в простейших схемах
§ 8.12. Операторный метод
§ 8.13. Эквивалентные операторные схемы для элементов цепи с ненулевыми начальными условиями
§ 8.14. Закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме. Эквивалентные операторные схемы
§ 8.15. Нахождение оригинала по изображению
§ 8.16. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
§ 8.17. Основные операторные преобразования по Лапласу
§ 8.18. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом
§ 8.19. Расчет свободных составляющих операторным методом
§ 8.20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля
§ 8.21. Единичные и переходные функции
§ 8.22. Действие единичных ступенчатых и единичных импульсных источников на индуктивный и емкостный элементы
§ 8.23. Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля
§ 8.24. Приведение схемы к нулевым начальным условиям
§ 8.25. Частотный метод
§ 8.26. Основные свойства одностороннего преобразования Фурье
§ 8.27. Спектральные характеристики некоторых функций
§ 8.28. Ряд и интеграл Фурье
§ 8.29. Алгоритм расчета переходных процессов частотным методом
§ 8.30. Метод переменных состояния
§ 8.31. Матричная форма записи уравнений методом переменных состояния
§ 8.32. Составление дифференциальных уравнений состояния с помощью уравнений Кирхгофа
§ 8.33. Составление дифференциальных уравнений состояния методом наложения
Глава 9. Установившиеся процессы в длинных линиях (цепях с распределенными постоянными)
§ 9.1. Общие сведения
§ 9.2. Параметры длинной линии 157
§ 9.3. Зависимость от геометрических размеров простейших линий
§ 9.4. Уравнения однородной длинной линии с потерями
§ 9.5. Входное сопротивление длинной линии с потерями
§ 9.6. Длинная линия без потерь
§ 9.7. Входное сопротивление длинной линии без потерь
§ 9.8. Стоячие волны
§ 9.9. Свойства распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь при
§ 9.10. Линия без искажений
§ 9.11. Линия, согласованная с нагрузкой
§ 9.12. Согласование линии без потерь с нагрузкой
§ 9.13. Измерительная линия
§ 9.14. Искусственная линия
§ 9.15. Длинная линия с переменными по длине параметрами
Глава 10. Переходные процессы в длинных линиях без потерь
§ 10.1. Падающая и отраженная волны
§ 10.2. Отражение волны от конца линии
§ 10.3. Многократное отражение волн при подключении источника постоянного напряжения к линии
§ 10.4. Эквивалентная схема для определения токов и напряжений в узлах линии
§ 10.5. Распределение напряжения и тока вдоль линий, соединенных через L или С
§ 10.6. Волны при включении и отключении ветвей
Глава 11. Синтез линейных электрических цепей
§ 11.1. Общие сведения
§ 11.2. Определение, свойства и признаки положительной вещественной функции
§ 11.3. Признаки положительности и вещественности рациональной функции
§ 11.4. Положительные вещественные функции Z(p) и Y(p) простейших двухполюсников
§ 11.5. Реализация реактивных двухполюсников разложением входной функции на простые дроби (реализация двухполюсников по Фостеру)
§ 11.6. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Z (р)
§ 11.7. Разложение по Фостеру мнимой входной функции Y (р)
§ 11.8. Реализация вещественных положительных входных функций, имеющих полюсы и нули на мнимой оси и вещественной положительной полуоси
§ 11.9. Разложение входной функции в непрерывную дробь (реализация двухполюсников по Кауэру)
§ 11.10. Синтез четырехполюсников
§ 11.11. Передаточные функции четырехполюсника
§ 11.12. Реализация LC- и RС-четырехполюсников мостовой схемой
§ 11.13. Необходимые свойства параметров пассивного четырехполюсника при его синтезе
§ 11.14. Особенности передаточной функции напряжения четырехполюсников Ни
§ 11.15. Реализация LC- и RС-четырехполюсников цепной схемой
Часть вторая. Нелинейные электрические цепи
Глава 12. Нелинейные элементы
§ 12.1. Общие сведения
§ 12.2. Резистивные элементы
§ 12.3. Двухполюсные резистивные элементы
§ 12.4. Управляемые двухполюсные резистивные элементы
§ 12.5. Управляемые трехполюсные резистивные элементы
§ 12.6. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
§ 12.7. Метод двух узлов
§ 12.8. Статическое и дифференциальное сопротивления
§ 12.9. Эквивалентная замена нелинейного резистивного элемента линейным резистивным элементом и источником э. д. с.
§ 12.10. Расчет разветвленной схемы с нелинейными элементами
Глава 13. Нелинейные индуктивные и емкостные элементы
§ 13.1. Нелинейные индуктивные элементы
§ 13.2. Кривые намагничивания В(H) ферромагнитных материалов
§ 13.3. Потери в реальном индуктивном элементе
§ 13.4. Основные величины и зависимости, характеризующие магнитное поле
§ 13.5. Формальная аналогия между электрической и магнитной цепями постоянного тока
§ 13.6. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Прямая задача
§ 13.7. Расчет магнитной цепи при постоянном токе. Обратная задача
§ 13.8. Неразветвленная магнитная цепь постоянного магнита
§ 13.9. Катушка с ферромагнитным сердечником
§ 13.10. Нелинейные цепи с управляемым индуктивным элементом
§ 13.11. Магнитный усилитель мощности
§ 13.12. Трансформатор с ферромагнитным сердечником
§ 13.13. Пик-трансформатор
§ 13.14. Нелинейные емкостные элементы
§ 13.15. Резонансные явления в нелинейных цепях
Глава 14. Аппроксимация нелинейных характеристик
§ 14.1. Аппроксимирующие функции
§ 14.2. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
§ 14.3. Кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперных характеристик
§ 14.4. Схемы замещения идеальных элементов с кусочно-линейными характеристиками
§ 14.5. Выпрямление переменного тока
§ 14.6. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
Глава 15. Аналитические методы анализа периодических процессов в нелинейных цепях
§ 15.1. Общие сведения
§ 15.2. Метод гармонической линеаризации (частотный метод)
§ 15.3. Метод гармонического баланса
§ 15.4. Метод медленно меняющихся амплитуд
§ 15.5. Метод кусочно-линейной аппроксимации
§ 15.6. Метод аналитической аппроксимации
Глава 16. Графические методы анализа периодических процессов в нелинейных цепях
§ 16.1. Расчет по характеристике для мгновенных значений
§ 16.2. Расчет по характеристике для первой гармоники
§ 16.3. Расчет по характеристике для действующих значений
Глава 17. Методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях
§ 17.1. Методы расчета переходных процессов в схемах с одним нелинейным реактивным элементом
§ 17.2. Метод линейной аппроксимации
§ 17.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации
§ 17.4. Метод аналитической аппроксимации
§ 17.5. Метод последовательных интервалов
§ 17.6. Метод графического интегрирования
§ 17.7. Метод фазовой плоскости
Глава 18. Автоколебания
§ 18.1. Общие сведения
§ 18.2. Релаксационные колебания
§ 18.3. Почти гармонические колебания
§ 18.4. Устойчивость состояния равновесия
§ 18.5. Устойчивость в малом
§ 18.6. Алгоритм получения линеаризованных уравнений для исследуемой величины
§ 18.7. Теорема А. М. Ляпунова об установлении устойчивости в малом автономных нелинейных систем
§ 18.8. Критерий устойчивости Гурвица
Глава 19. Электрические цепи с переменными параметрами
§ 19.1. Общие сведения
§ 19.2. Элементы с переменными параметрами
§ 19.3. Цепь с резистивным элементом
§ 19.4. Цепь с индуктивным элементом
§ 19.5. Цепь с емкостным элементом
§ 19.6. Анализ цепей с переменными параметрами
§ 19.7. Параметрические колебания
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

Предисловие
Условные обозначения
Введение
Глава первая. Основные определения, законы, элементы и параметры электрических цепей
1-1. Электрическая цепь
1-2. Положительные направления тока и напряжения
1-3. Мгновенная мощность и энергия
1-4. Сопротивление
1-5. Индуктивность
1-6. Емкость
1-7. Замещение физических устройств идеализированными элементами цепи
1-8. Источник э. д. с. и источник тока
1-9. Линейные электрические цепи
1-10. Основные определения, относящиеся к электрической схеме
1-11. Вольт-амперная характеристика участка цепи с источником
1-12. Распределение потенциала вдоль цепи с сопротивлениями и источниками напряжения
1-13. Законы Кирхгофа
1-14. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава вторая. Цепи гармонического тока
2-1. Гармонические колебания
2-2. Генерирование синусоидальной э. д. с.
2-3. Среднее и действующее значения функции
2-4. Представление гармонических колебаний в виде проекций вращающихся векторов
2-5. Гармонический ток в сопротивлении
2-6. Гармонический ток в индуктивности
2-7. Гармонический ток в емкости
2-8. Последовательное соединение r, L, С
2-9. Параллельное соединение r, L, С
2-10. Мощность в цепи гармонического тока
2-11. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава третья. Применение комплексных чисел к расчету электрических цепей (метод комплексных амплитуд)
3-1. Представление гармонических функций с помощью комплексных величин
3-2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
3-3. Зависимость между сопротивлениями и проводимостями участка цепи
3-4. Комплексная форма записи мощности
3-5. Условие передачи максимума средней мощности от источника к приемнику -
3-6. Условие передачи источником максимума мощности при заданном коэффициенте мощности приемника
3-7. Баланс мощностей
3-8. Потенциальная (топографическая) диаграмма
3-9. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава четвертая. Преобразование схем электрических цепей. Метод геометрических мест
4-1. Последовательное и параллельное соединения
4-2. Смешанное соединение
4-3. Эквивалентные участки цепи с последовательным и параллельным соединениями
4-4. Преобразование треугольника в эквивалентную звезду
4-5. Преобразование звезды в эквивалентный треугольник
4-6. Эквивалентные источники напряжения и тока
4-7. Преобразование схем с двумя узлами
4-8. Перенос источников в схеме
4-9. Преобразование симметричных схем
4-10. Графическое изображение зависимостей комплексных величин от параметра
4-11. Преобразование вида
4-12. Диаграммы сопротивлений и проводимостей простейших электрических цепей
4-13. Преобразование вида
4-14. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава пятая. Методы расчета сложных электрических цепей
5-1. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей
5-2. Метод контурных токов
5-3. Метод узловых напряжений
5-4. Метод наложения
5-5. Входные и передаточные проводимости и сопротивления
5-6. Теорема обратимости (или взаимности)
5-7. Теорема компенсации
5-8. Теорема об изменении токов в электрической цепи при изменении сопротивления в одной ветви
5-9. Теорема об эквивалентном источнике
5-10. Применение матриц к расчету электрических цепей
5-11. Некоторые особенности расчета электрических цепей с емкостями
5-12. Дуальные цепи
5-13. Электромеханические аналогии
5-14. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава шестая. Индуктивно связанные электрические цепи
6-1. Основные положения и определения
6-2. Полярности индуктивно связанных катушек; э. д. с. взаимной индукции
6-3. Комплексная форма расчета цепи с взаимной индукцией
6-4. Коэффициент индуктивной связи. Индуктивность рассеяния
6-5. Уравнения и схемы замещения трансформатора без ферромагнитного сердечника
6-6. Энергия индуктивно связанных обмоток
6-7. Входное сопротивление трансформатора
6-8. Автотрансформатор
6-9. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава седьмая. Одиночный колебательный контур
7-1. Колебательные (резонансные) цепи
7-2. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений
7-3. Частотные характеристики последовательного резонансного контура
7-4. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов
7-5. Разновидности параллельного колебательного контура
7-6. Элементы колебательного контура
7-7. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава восьмая. Связанные колебательные контуры
8-1. Виды связи
8-2. Сопротивление связи и вносимые сопротивления
8-3. Векторные диаграммы
8-4. Коэффициент связи
8-5. Настройка связанных контуров. Энергетические соотношения
8-6. Резонансные кривые связанных контуров. Полоса пропускания
8-7. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава девятая. Цепи трехфазного тока
9-1. Трехфазные электрические цепи
9-2. Соединение звездой и треугольником
9-3. Симметричный режим работы трехфазной цепи
9-4. Несимметричный режим работы трехфазной цепи
9-5. Мощность несимметричной трехфазной цепи
9-6. Вращающееся магнитное поле
9-7. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
9-8. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава десятая. Периодические несинусоидальные процессы
10-1. Тригонометрическая форма ряда Фурье
10-2. Случаи симметрии
10-3. Перенос начала отсчета
10-4. Комплексная форма ряда Фурье
10-5. Применение ряда Фурье к расчету периодического несинусоидального процесса
10-6. Действующее и среднее значения периодической несинусоидальной функции
10-7. Мощность в цепи периодического несинусоидального тока
10-8. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции
10-9. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава одиннадцатая. Цепи с ферромагнитными сердечниками при постоянном магнитном потоке
11-1. Назначение и типы магнитных цепей
11-2. Основные законы магнитной цепи и свойства ферромагнитных материалов
11-3. Неразветвленная магнитная цепь
11-4. Разветвленная магнитная цепь
11-5. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава двенадцатая. Цепи переменного тока с ферромагнитными элементами
12-1. Некоторые особенности цепей переменного тока с ферромагнитными элементами
12-2. Основные свойства ферромагнитных материалов при переменных полях
12-3. Катушка с ферромагнитным сердечником
12-4. Трансформатор с ферромагнитным сердечником
12-5. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава тринадцатая. Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами (классический метод)
13-1. Возникновение переходных процессов
13-2. Законы коммутации и начальные условия
13-3. Принужденный и свободный режимы
13-4. Переходный процесс в цепи r, L
13-5. Переходный процесс в цепи r, С
13-6. Переходный процесс в цепи r, L, С
13-7. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи
13-8. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава четырнадцатая. Применение преобразования Лапласа к расчету переходных процессов
14-1. Общие сведения
14-2. Прямое преобразование Лапласа. Оригинал и изображение
14-3. Изображения некоторых простейших функций
14-4. Основные свойства преобразования Лапласа
14-5. Нахождение оригинала по изображению с помощью обратного преобразования Лапласа
14-6. Теорема разложения
14-7. Таблицы оригиналов и изображений
14-8. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений электрических цепей
14-9. Учет ненулевых начальных условий методом эквивалентного источника
14-10. Формулы включения
14-11. Расчет переходного процесса с помощью формул наложения
14-12. Нахождение в замкнутой форме установившейся реакции цепи на периодическую несинусоидальную воздействующую функцию
14-13. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава пятнадцатая. Спектральный метод
15-1. Временное и спектральное представление сигналов
15-2. Непериодические сигналы. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье
15-3. Связь между дискретным и сплошным спектрами
15-4. Случаи симметрии непериодической функций
15-5. Распределение энергии в спектре
15-6. Связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа
15-7. Свойства преобразования Фурье
15-8. Спектры некоторых типовых непериодических сигналов
15-9. Обобщенная форма интеграла Фурье
15-10. Особые случаи
15-11. Нахождение сигнала по заданным частотным характеристикам действительной и мнимой составляющих спектра
15-12. Применение спектрального метода для расчета переходных процессов
15-13. Условие неискаженной передачи сигнала через линейную систему
15-14. Прохождение сигнала через линейную систему с ограниченной полосой пропускания
15-15. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава шестнадцатая. Цепи с распределенными параметрами
16-1. Первичные параметры однородной линии
16-2. Дифференциальные уравнения однородной линии
16-3. Периодический режим в однородной линии
16-4. Вторичные параметры однородной линии
16-5. Линия без искажений
16-6. Линия без потерь
16-7. Режимы работы линии без потерь. Стоячие волны
16-8. Входное сопротивление линии
16-9. Мощность в линии без потерь
16-10. Линия как согласующий трансформатор
16-11. Согласование сопротивлений посредством параллельного присоединения отрезков линии
16-12. Круговые диаграммы для линии без потерь
16-13. Линия как элемент резонансной цепи
16-14. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами
16-15. Исследование переходных процессов в цепях с распределенными параметрами с помощью преобразования Лапласа
16-16. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава семнадцатая. Двухполюсники
17-1. Определение и классификация двухполюсников
17-2. Одноэлементные реактивные двухполюсники
17-3. Двухэлементные реактивные двухполюсники
17-4. Многоэлементные реактивные двухполюсники
17-5. Общее выражение сопротивления пассивного многоэлементного реактивного двухполюсника
17-6. Канонические схемы реактивных двухполюсников
17-7. Знак производной по частоте от сопротивления или проводимости реактивного двухполюсника
17-8. Цепные схемы реактивных двухполюсников
17-9. Потенциально - эквивалентные двухполюсники и условия их эквивалентности
17-10. Потенциально - обратные двухполюсники и условия их взаимной обратности
17-11. Многоэлементные двухполюсники с потерями, содержащие элементы двух типов
17-12. Четность активной и нечетность реактивной составляющих сопротивления относительно частоты. Знак активного сопротивления и активной проводимости
17-13. Связь между частотными характеристиками активной и реактивной составляющих сопротивления или проводимости двухполюсника
17-14. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава восемнадцатая. Четырехполюсники
18-1. Основные определения и классификация четырехполюсников
18-2. Системы уравнений четырехполюсника
18-3 Уравнения четырехполюсника в форме
18-4. Параметры холостого хода и короткого замыкания
18-5. Схемы замещения четырехполюсника
18-6. Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке
18-7. Характеристические параметры четырехполюсника
18-8. Вносимое затухание четырехполюсника
18-9. Передаточная функция
18-10. Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений
18-11. Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме
18-12. Одноэлементные четырехполюсники
18-13. Г-образный четырехполюсник
18-14. Т-образный и П-образный четырехполюсники
18-15. Симметричный мостовой четырехполюсник
18-16. Идеальный трансформатор как четырехполюсник
18-17. Обратная связь
18-18. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава девятнадцатая. Электрические фильтры
19-1. Основные определения и классификация электрических фильтров
19-2. Условие пропускания реактивного фильтра
19-3. Фильтры типа k
19-4. Фильтры типа т
19-5. Индуктивно связанные контуры как фильтрующая система
19-6. Мостовые фильтры, пьезоэлектрические резонаторы
19-7. Безындукционные фильтры
19-8. Задачи и вопросы для самопроверки
Глава двадцатая. Синтез линейных электрических цепей
20-1. Характеристика задач синтеза
20-2. Исследование двухполюсника при комплексной частоте
20-3. Сопротивление и проводимость как положительная действительная функция
20-4. Условия физической реализуемости функции
20-5. Методы построения двухполюсника по заданной частотной характеристике
20-6. Исследование четырехполюсника при комплексной частоте
20-7. Задачи и вопросы для самопроверки
Приложения
I. Метод сигнальных графов
II. Соотношения между коэффициентами четырехполюсника
III. Определители, выраженные через коэффициенты четырехполюсника
IV. Оригиналы и изображения по Лапласу
Литература
Алфавитный указатель

Список литературы
а) основная литература:
1. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 1985. –496 с.,
2. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2013. –696 с.
3. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – СанктПетербург: Лань, 2009. – 544 с.
4. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей:
Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова.- 2-е изд., перераб. и доп.
- М.: Радио и связь, 2000. - 592 с.
5. Дмитриков В.Ф., Бакалов В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей:
Горячая линия- Телеком, 2009. – 596 с.
6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных
электрических цепей. –М: Высшая школа, 1986. –596 с.
1

б) дополнительная литература
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец.
“Радиотехника”. - М.: Высшая школа, 1988. - 448 с.
Фриск В.В. Основы теории цепей./ Учебное пособие. – М.: ИП РадиоСофт,
2002. – 288с.
Электрическая цепь
Электрической цепью называется совокупность элементов и
устройств, образующих путь или пути для электрического тока,
электромагнитные процессы в которых могут быть описаны при
помощи понятий “электрический ток” и “электрическое напряжение”.
Элементы электрической цепи
Источники
Приёмники
2

Классификация электрических цепей

Вид
Пассивные и активные
Двухполюсники и
многополюсники
Со сосредоточенными и
распределёнными
параметрами
Непрерывные и дискретные
С постоянными и
переменными параметрами
Линейные и нелинейные
Признак
Энергетические свойства
Число внешних зажимов
Пространственная
локализация параметров
характеру процессов
свойства элементов
Вид оператора
3

ТОК, НАПРЯЖЕНИЕ и ЭНЕРГИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

. i (t) = dq (t) / dt
.
[A]
u12 = φ1 - φ2
[B]
[ Bт ]
4

ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Преобразования электрической энергии в элементах электрической цепи
необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии;
накопление энергии в электрическом поле;
накопление энергии в магнитном поле;
преобразование энергии неэлектрической природы в электрическую энергию
Резистивное сопротивление
uR(t) = R iR(t)
Закон Ома
iR(t)
= G uR(t)
5

wk =
.
Pk = dwk / dt = uR IR
I
R ст А = uA / iA
R диф А = du / di
A
6

wC =
Ёмкость
.
qC(t) = C uC(t)
iC = C duC / dt,
iC = C duC / dt,
pC = iC uC = C uC d uC/dt
1 t1
iC (t)dt
uC(t = t1) =
С
[Ф]
. wC = C uC2(t1)/2 > 0
Сст = qC /uc
Сдиф. = dqC /duc
7

Индуктивность

.
.
Индуктивность
Ψ(t) = L iL(t)
uL(t) = Ψ(t)/ dt
uL = L diL/dt
1 t1
u L (t) dt
iL(t1) =
L
pL = iL uL = L iL diL/dt
wL =
t1
[ Гн ]
pL (t)dt = L iL2(t1)/2 > 0
Lст = Ψ/iL
,
Lдиф = d Ψ/d iL.
8

ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ АКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Независимый источник напряжения
Независимый источник тока
9

10. Зависимые (управляемые) источники электрической энергии

2.1
Зависимые (управляемые) источники электрической энергии
Наименование
Обозначения
Источник напряжения, управляемый
напряжением
(ИНУН), u2 = k1u1
Источник напряжения,
управляемый током (ИНУТ), u2 = k2 i1
Источник тока, управляемый
напряжением
(ИТУН), i2 = k3 u1
Источник тока, управляемый током
(ИТУТ), i2 = k4 i1
10

11. Схемы электрических цепей

принципиальная;
замещения (расчётная);
функциональная (блок-схема)
Схемы замещения реальных элементов электрической цепи
i/ iкз - u / uхх = 1
u = uхх - (uхх / iкз) I = uхх - Ri i
I = iкз - (iкз / uхх) u = iкз - Gi u
11

12.

j = iкз, Gi = 1/ Ri
Е = iкз Ri
Ri
=
uхх / iкз
Соединения элементов электрической цепи
последовательное
параллельное
смешанное
12

13.

звезда
треугольник
Элементы топологии электрических цепей
0 0 0
1 1 1
0 1 0 1 0 1
À0
0 0 1 1 1
0
1
0
0
0
1
1
13

14. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Первый закон (закон токов) Кирхгофа
В любой момент времени алгебраическая сумма мгновенных значений токов во
всех ветвях электрической цепи, имеющих общий узел, равна нулю
z
i
k 1 k
№ узла
Уравнение
= 0
0
(1)
(2)
-i1 + i2 + i3 + i4
-i3 - i4 + i5 - j =
0
(3)
-i5 + i6 + j = 0
(0)
i1 – i2 – i6 = 0
14

15.

Следствия
1)
Zk
=
Zэ = jэ =
jk
n
k 1
2) Zk
3)
Zk
Ck
Ñý k 1 Ñk .
n
Lk
4) Zk
1/Lэ =
n
jk
Rk
Gý k 1 Gk .
n
1 Lk
k 1

объединены в один элемент.
Второй закон (закон напряжений) Кирхгофа
Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в
состав произвольного контура электрической цепи, в любой момент времени равна
нулю.
15

16.

sï
u
k 1 k
sï
u l 1 el
sà
k 1 k
В любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма мгновенных
значений падений напряжения на пассивных элементах равна
алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом контуре.
uz1+uz3+uz2 = e ;
-uz2 – uz3+uz4 + uz5 = 0;
uz1 + uz4 + uz5 = e.
Следствия
1)
2)
Zk
Zk
Ek
Rk
16

17.

.,
3)
Zk
Lk
4)
Zk
Ck
.
Одноимённые параллельно соединённые элементы могут быть
объединены в один элемент.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ И ОСНОВАННЫЙ НА НЁМ МЕТОД АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ)
Реакция линейной электрической цепи y(t) на воздействие x(t) в виде линейной
комбинации из более простых воздействий xk(t), представляет собой линейную
комбинацию реакций этой цепи на каждое из воздействий в отдельности - yk(t), т.е.
при
x(t) =
n
k 1
k xk t
n
y(t) =
k 1
k y k t
где
k
- постоянные коэффициенты,
xk(t) - k-я составляющая воздействия.
17

18.

Метод наложения
Теоремы об активном двухполюснике. Метод эквивалентного генератора
18

19.

Теорема об эквивалентном источнике напряжения
Линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух своих
зажимов, может быть заменена источником напряжения еэ, включённым
последовательно с сопротивлением Rэ. Задающее напряжение uэ источника
напряжения равно напряжению холостого хода uхх на рассматриваемых
зажимах (ветвь Rн разомкнута), а сопротивление Rэ равно сопротивлению
между этими зажимами, вычисленному в предположении, что ветвь Rн
разомкнута и все содержащиеся в цепи источники напряжения заменены

Теорема об эквивалентном источнике тока
Линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух своих зажимов,
может быть заменена источником тока jэ, включённым параллельно с проводимостью
Gэ. Задающий ток источника jэ равен току короткого замыкания рассматриваемой
пары зажимов, проводимость Gэ равна входной (со стороны зажимов 1,1′)
проводимости цепи N, вычисленной в предположении, что ветвь Rн разомкнута
и все содержащиеся в цепи источники напряжения заменены
короткозамыкающими перемычками, а цепи всех источников тока разомкнуты.
19

20.

Метод эквивалентного источника напряжения, порядок расчёта
задаются направлением тока в ветви Rн;
размыкают ветвь Rн и находят напряжение холостого хода (в общем случае
с учётом ЭДС е в ветви Rн) uхх = uэ = φ1 - φ1′ + е;
определяют входное сопротивление Rвх = Rэ цепи N со стороны зажимов
1,1′, ветвь Rн разомкнута;
по формуле i uõõ Râõ Rí определяют ток в ветви Rн и по формуле uн = Rнi напряжение на ней.
Метод эквивалентного источника тока, порядок расчёта
задаются направлением тока в ветви Rн;
закорачивают ветвь Rн и находят ток короткого замыкания между
зажимами
1,1′ iкз = jэ;
определяют входную проводимость Gвх = Gэ цепи N со стороны зажимов
1,1′ , ветвь Rн разомкнута;
i irp Gí Gâõ Gí
по формуле
определяют ток в ветви Rн и по формуле uн =
Rнi - напряжение на ней.
20

21.

.
Энергетические соотношения в линейной электрической цепи
Теорема Теллегена
При согласном выборе направлений тока и
напряжения в ветвях графа цепи сумма
произведений напряжения uk и тока ik всех
ветвей направленного графа цепи в любой
n
момент времени равна нулю, т.е. , k 1 uk ik 0
или в матричной форме: uТ i= 0, где uТ = (u1…
uk …um), iТ = (i1…ik …im) – векторы напряжений
и токов ветвей соответственно.
Уравнения баланса мощностей
n
k 1
pk 0
nÏ
R i k 1 ek ik k 1 uk jk
2
nèí
Р=
I 2 Rн
nèò
ë 1 k k
=
Ri Rн 2
E 2 Rн
dP dRí E 2 Ri Rí 2Rí Ri Rí Ri Rí
2
4
Pmax E 2 4 Ri
21

22.

η =
.
Рн Р Rн I 2 Ri I 2 Rн I 2 Rн Ri Rн
4. Общие методы анализа электрических цепей
Метод уравнений Кирхгофа
: -i1 + i2 + i3 = 0,
u1 + u2 = e,
u4 - u5 = 0.
u1 = R1 i1 - e,
u3 = R3 i3,
-i3 + i4 - i5 = 0
-u2 + u3 + u4 = 0,
u2 = R2 i2,
u4 = R4 i4.
22

23.

Метод контурных токов
Порядок расчёта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определить систему независимых контуров
Задаться направлениями контурных токов
Определить матицу сопротивлений контуров и вектор контурных ЭДС
Записать систему контурных уравнений и решить её
Определить токи ветвей
Определить напряжения ветвей
Выполнить проверку правильности решения
Матрица сопротивлений контуров
Rк = (Rji), j , i 1, q
q - порядок системы контурных уравнений, q = n – (m – 1),
для цепей с источниками тока q = n – (m – 1)- nит, n, m– число
ветвей и узлов в цепи, nит – число ветвей, содержащих источники тока
23

24.

собственным сопротивлением Rjj j-го контура называется сумма сопротивлений
всех ветвей, входящих в этот контур;
взаимным сопротивлением j-го и i-го контуров называется сопротивление Rji,
равное сумме сопротивлений ветвей общих для этих контуров. Взаимное
сопротивление имеет знак плюс, если контурные токи j-го и i-го протекают
через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении, если в
противоположных направлениях, то Rji имеет знак минус. Если j-й и i-й
контуры не имеют общих ветвей, то их взаимное сопротивление равно нулю.
Rк =
контурной ЭДС j-го контура ejj называется алгебраическая сумма ЭДС
всех источников напряжения, входящих в этот контур. Если направление
ЭДС какого-либо источника, входящего в j-й контур, совпадает с
направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС
входит в ejj со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.
e ê e11....eii ...eqq
Ò
24

25.

Пример
R11 R12 R13 R1 R2 R4
R ê R21 R22 R23
R2
R
R4
31 R32 R33
eê
Ò
R2
R2 R3 R5
R5
R4
R5
R4 R5 R6
E1 ,0, E 2
25

26.

Контурные уравнения
,
R к i к eк
i к i11...i jj ...iqq
Т
- вектор контурных токов
R11i11 R12i22 ... R1i iii ... R1q iqq e11.
………………………..
R j1i11 R j 2 i22 ... R ji iii ... R jq iqq e jj.
…………………………
Rq1i11 Rq 2i22 ... Rqiiii ... Rqqiqq eqq.
R2
R4
R1 R2 R4
R
R
R
R
R
2
2
3
5
5
R
R5
R4 R5 R6
4
i11 e1
i 22 0
i e
33 2
26

27.

Метод узловых напряжений
ui0= φi- φ0
ui j = φi - φj = φi- φ0 - (φi- φ0) = ui0 - uj0
Порядок расчёта
если необходимо, осуществить эквивалентные
преобразования источников напряжения в источники
тока;
задаться направлениями токов ветвей;
записать матрицу узловых проводимостей и вектор
узловых токов;
записать систему узловых уравнений и решить её;
определить напряжения и токи ветвей цепи;
осуществить проверку правильности решения.
27

28.

Матрица узловых проводимостей
Gу = (Gji),
j , i 1, ð
P – порядок системы узловых уравнений, р = m – 1, m – число узлов в цепи, для цепей с
«источниками напряжения» р = m – 1 – nин, nин - число ветвей, в состав которых
входят лишь источники напряжения.
собственной проводимостью Gii i-го узла электрической цепи называется
сумма проводимостей всех ветвей, подключённых к этому узлу;
взаимная проводимость i-го и j-го узлов Gij – это сумма проводимостей всех
ветвей, включённых между этими узлами, взятая со знаком минус;
если в цепи отсутствуют ветви, включённые между i-м и j-м узлами, то их
взаимная проводимость равна нулю.
Gу =
28

29.

узловым током i-го узла jii называется алгебраическая сумма задающих токов
всех источников тока, подключённых к этому узлу. Если ток какого-либо источника
направлен к i-му узлу, то он входит в эту сумму со знаком плюс, если от узла, то
он входит в jii со знаком минус.
jуТ =
j
11
... jii ... j pp
Пример
G11 G12 G13 G2 G4 G5 5
G у G21 G22 G23
-G5
G G G
-G 2
31 32 33
-G5
G 3 G 5 G6
-G3
-G3
G1 G2 G3
-G 2
29

30.

,
jуТ =
0...
j...G1e
Узловые уравнения
G у u у jу
u у u 01...u 0i ...u 0 p - вектор узловых напряжений
Т
G11u 01 G12u 02 ... G1i u 0i ... G1 p u 0 p j11.
……………………………………………
Gi1u 01 Gi 2 u 02 ... Gii u 0i ... Gip u 0 p jii.
……………………………………………
G p1u 01 G p 2 u 02 ... G pi i0i ... G pp u 0 p j pp.
G 2 G 4 G5 5
-G 5
-G 2
-G 5
G 3 G 5 G6
-G 3
u 01 0
-G 3
u 02 j
G1 G2 G3 u 03 G1e
-G 2
30

31.

3. Электрические цепи при гармоническом воздействии
x(t) = Xm cos (ω t +) =
Xm sin (ω t +
+
Гармонические напряжения и токи в электрических
цепях
u(t) = Um cosω t = Umsin (ω t +
u(t) = Umсos (ω t -
) = Umsin ω t
u(t) = Umcos (ω t +
) = - Umsin ω t
Параметры гармонического колебания
Xm - амплитуда, ω - частота,
колебания.
,ω = 2
- начальная фаза гармонического
f, f = 1/ T - циклическая частота, Т - период колебания,
X = Xm /√2 - действующее (среднеквадратическое) значение
гармонического колебания
31

32.

1)
2)
Комплексная амплитуда и комплексное сопротивление. Законы Ома и
Кирхгофа в комплексной форме
- комплексная амплитуда
32

33.

Первый закон Кирхгофа

токов, сходящихся в произвольном узле электрической цепи, равна нулю.
Второй закон Кирхгофа
В установившемся гармоническом режиме сумма комплексных амплитуд всех
напряжений, действующих в произвольном контуре электрической цепи, равна
нулю.
При суммировании комплексных значений токов и напряжений сохраняются
те же правила знаков, что и при суммировании их мгновенных значений
33

34.

КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Комплексное сопротивление пассивного участка электрической цепи –
это отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих
значений) напряжения и тока, действующих на зажимах этого участка
цепи, т.е.
,
Это выражение называется законом Ома в комплексной форме. В нём:
z(ω) и φ(ω) – модуль и аргумент z(jω). Зависимость z(ω) от частоты
называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)
двухполюсника, зависимость φ(ω) – его фазо-частотной
характеристикой (ФЧХ)
Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется
комплексной проводимостью двухполюсника, т.е.
34

35.

Комплексные сопротивления пассивных двухполюсных элементов
,
Резистивное сопротивление
u R t U m R cos t
Емкость
35

36.

Ииндуктивность
Комплексные схемы замещения элементов
36

37.

Символический метод анализа электрических цепей
Пример
x(t)
u(t) = Umсos (ω t +)
i(t) = ?
e
37

38.

Um
Энергетические соотношения

39.

Уравнение баланса мощностей
Анализ простейших цепей
Последовательная RL-цепь
39

40.

Последовательная RС-цепь
Последовательная RLС-цепь
40

41.

Параллельная RLС-цепь
=
f = fp
f < fp
f > fp

42.

42

43.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Входные и передаточные частотные характеристики
Системная функция цепи
Входные системные функции
Передаточные системные функции
- передаточная функция по напряжению - передаточная функция по току –
- передаточное сопротивление - передаточная проводимость -
43

44.

При гармоническом воздействии системные функции цепи называются
частотными характеристиками входными и передаточными
- комплексная амплитуда реакции
- комплексная амплитуда воздействия
- АЧХ,
- ФЧХ
Годограф комплексной частотной характеристики представляет собой
геометрическое место комплексных чисел
при изменении частоты
от 0 до ∞.
44

45.

Частотные характеристики пассивных двухполюсных элементов
Резистивное сопротивление
=
Индуктивность
45

46.

Ёмкость
Частотные характеристики RL и RC цепей
46

47.

Входные ЧХ
Передаточные ЧХ
Резонанс в электрических цепях
Явление резкого возрастания амплитуды отклика цепи при приближении
частоты воздействия к некоторым вполне определённым значениям
называется резонансом.
Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи,
содержащей ёмкости и индуктивности, при котором реактивные
составляющие входного сопротивления и проводимости равны нулю.
47

48.

Последовательный колебательный контур
C Z e
Z11` j Z 11` R j L 1
0
1
LC
,
f0
1
2 LC
j
0 L 1 Ñ L C
0
Отношение действующего значения напряжения на реактивном элементе
контура к действующему значению напряжения на контуре на резонансной
частоте называется добротностью контура.

49.

p 2Q
Расстройки
абсолютная
0 ,
относительная
обобщённая
f f f 0 ;
f f
0
0
Q 0 2Q 2Q
0
0
,
f и fp – значения текущей и резонансной частот соответственно. При резонансе
.
все расстройки равны нулю, при f < fp они принимают отрицательные значения,
при f > fp – положительные.
Входные ЧХ
C Z e
Z11` j Z 11` R j L 1
j
49

50.

АЧХ
C
Z j Z R L 1
2
2
R 1 2
L 1 C
arctg
arctg
ФЧХ
R
U
U
I
e j U I e j I
Z j Z
I
I0
1
2
I U arctg
50

51.

,
,
Передаточные ЧХ
Комплексные напряжения на элементах контура
U C
U C e
j C
U L U L e j
L
U R U R e
р
I0
j
1
j I 90
I
e
U 1Q
e j I 90
C
1 2
C 1 2
LI 0
1
j I 90
j I 90
j L I
e
U 1Q
e
2
2
p 1
1
j R
R I
R I0
1 2
e j I
51

52.

Избирательность
Способность электрической цепи выделять колебания отдельных частот
из суммы колебаний различных частот называется избирательностью.
Диапазон частот, в котором коэффициент передачи уменьшается не более,
чем в √2 раза по сравнению с его максимальным значением, называется
полосой пропускания
52

53.

Параллелельный колебательный контур
53

54.

=
При
0
1
,
LC
f0
1
2 LC
=
Входные ЧХ
=
ρ
54

55.

=
АЧХ
ФЧХ
Z
ρ
=
Передаточные ЧХ
по напряжению
55

56.

по току
Для контура с малыми потерями
56

57.

Влияние внутреннего сопротивления генератора
57

58.

Частотные характеристики связанных контуров
Два контура называются связанными, если возбуждение электрических колебаний в
одном из них приводит к возникновению колебаний в другом.
По типу элемента, с помощью которого осуществляется связь различают контуры:
с трансформаторной связью;
с индуктивной связью;
с ёмкостной связью;
с комбинированной (индуктивно-ёмкостной) связью.
По способу включения элемента связи различают контуры:
с внешней связью;
с внутренней связью.
58

59.

Комплексные схемы замещения
1
2
Коэффициент связи
трансформаторная связь -
внутренняя индуктивной связь внутренняя ёмкостная связь -

60.

Схема замещения 1
Обозначения
60

61.

Виды резонанса
Первый частный
Второй частный
Сложный
Сложный
61

62.

При
Zсв = jXсв
A – фактор связи
Нормированная относительно
1. K < d, (A < 1)
АЧХ тока I2
слабая связь
-
2. K > d, (A > 1)
-
сильная связь
3. K = d, (A = 1)
-
критическая связь
62

63.

63
63

64.

Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Ф21 -магнитный поток, пронизывающий вторую катушку и создаваемый током
первой катушки (поток взаимоиндукции первой катушки);
Ф12 - магнитный поток, пронизывающий первую катушку и создаваемый током
второй катушки (поток взаимоиндукции второй катушки);
Фр1 - поток рассеяния первой катушки;
Фр1 - поток рассеяния второй катушки.
ф11 - поток самоиндукции первой катушки, Ф11 = Ф21 + Фр1
ф22 - поток самоиндукции первой катушки, Ф22 = Ф12 + Фр2
ф1 , ф2
- полные потоки, пронизывающие каждую из катушек
Ф1 = Ф11 ± Ф12
Ф2 = Ф22 ± Ф21
64

65.

Ψ = wФ = L i
L1 = Ψ
11
⁄ i1
L2 = Ψ
22
⁄ i2
Ψ ij
М12 = Ψ
12
⁄ i2
М21 = Ψ
21
⁄ i1
= wi Фij
Закон электромагнитной индукции
e
= - dΨ ⁄ dt
= -
(dΨ ⁄ di)(di ⁄ dt)
ЭДС, наводимые в связанных катушках
Напряжения на зажимах катушек
65

66.

Одноимённые зажимы
Одноимёнными называются такие зажимы магнитно связанных элементов, когда
при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов (оба тока «входят»,
или оба тока «выходят» со стороны этих зажимов) магнитные потоки обоих
элементов направлены согласно
Коэффициент магнитной связи
66

67.

Анализ электрических цепей с взаимной индуктивностью
Компонентные уравнения для связанных индуктивностей в комплексной форме
(1)
Система уравнений электрического равновесия
(0)
67

68.

Эквивалентные преобразования цепей со связанными индуктивностями
Последовательное включение
Параллельное включение
Развязка магнитных цепей
68

69.

Основы теории четырёхполюсников
Определения и классификация
Четырёхполюсник – электрическая цепь любой сложности, имеющая четыре
внешних зажима.
Классификация четырёхполюсников
- пассивные и активные
-линейные и нелинейные
- уравновешенные и неуравновешенные
- симметричные и несимметричные
- по характеру элементов, входящих в
состав четырёхполюсника, различают:
69

70.

реактивные четырёхполюсники
RC четырёхполюсники
АRC четырёхполюсники и т.д.
-в зависимости от структуры,
различают четырёхполюсники:
мостовые
лестничные
Г-образные
Т-образные
П-образные и т.д.
Уравнения передачи четырёхполюсников
Соотношения, которые связывают комплексные напряжения и токи, действующих
на зажимах четырёхполюсника, называются уравнениями передачи.
Зависимые
Переменные
U1 , U2
I1 , I2
U2 , I2
U1 , I1 U1 , I2 I1 , U2
Зависимые
Переменные
I1 , I2
U1 , U2
U1 , I1
U2 , I2 I1 , U2
Система
параметров
Y
Z
A
B
F
U1 , I2
H
70

71.

71

72.

Уравнения связи
Два и более четырёхполюсника с равными при всех частотах матрицами
первичных параметров называются эквивалентными.
Первичные параметры четырёхполюсника можно определять при помощи
опытов холостого хода и короткого замыкания на его зажимах
Первичные параметры составных четырёхполюсников
Составным называется четырёхполюсник, если он может быть представлен
как соединение нескольких более простых (элементарных) четырёхполюсников.
72

73.

Если при соединении элементарных четырёхполюсников не происходит
изменения соотношений между напряжениями и токами, то первичные
параметры составного четырёхполюсника могут быть выражены через
первичные параметры исходных четырёхполюсников.
Соединения четырёхполюсников, удовлетворяющие этому условию,
называются регулярными.
Известны следующие пять основных видов
соединений четырёхполюсников:
каскадное;
параллельное;
последовательное;
Параллельно-последовательное;
последовательно-параллельное.
Каскадное соединение
73

74.

Параллельное соединение
Последовательное соединение

75.

Параллельно-последовательное соединение
Последовательно – параллельное соединение
75

76.

5. Режим негармонических воздействий
1. Классический метод анализа
X(t) - воздействие
Y(t) -реакция
Порядок расчёта
1 записывают дифференциальное уравнение цепи
*
n - порядок электрической цепи
76
76

77.

Пример
i(t) = iR = iL
uR + uL = e(t)
uL
=
+ RI =
2. Решение дифференциального уравнения цепи
-
свободная и принуждённая составляющие реакции цепи
77

78.

=
а) простые (различные) вещественные корни
б) равные вещественные корни
в) попарно комплексно-сопряжённые корни
Пример
=

79.

(**)
-частное решение уравнения (*).
3. На завершающем этапе анализа определяют постоянные интегрирования Ак
Для этого в равенства (**) подставляют значения
, а также начальные
условия и решают полученное уравнение.
79

80.

Интегральные представления сигналов.
Спектральные представления негармонических сигналов. (Обобщённый ряд Фурье)
Определения:
1. Энергия сигнала -
2. Скалярное произведение двух сигналов
=
=
3. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение
равно нулю.
Обобщённый ряд Фурье для сигнала S(t) в ортогональном базисе
{V(t)} имеет вид:

81.

Ряды Фурье для периодического сигнала
Периодический сигнал
=
На интервале
зададим
ортогональный базис {V(t)}
следующего вида
Спектральное разложение
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81

82.

Интеграл Фурье
=
Обратное преобразование Фурье
82

83.

Теорема разложения
Если F(p) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р,
не имеющих общих корней
1)
причём степень полинома N(p) выше, чем степень полинома M(p), а
уравнение N(p) = 0 не имеет кратных корней, то
и
при действительных значениях корней уравнения N(p) = 0 ,
, представляет собой сумму n экспонент
Комплексно-сопряжённым корням соответствует убывающее по экспоненциальному
закону гармоническое колебание.
2)
Если уравнения N(p) = 0 имеет один корень, равный нулю, т.е.
то
83

84.

Преобразование Лапласа
Прямое
Обратное
= 0
=0
Способы вычисления
=0
1. Интегрирование с использованием теоремы
вычетов
2. Таблицы оригинал - изображение
3. Разложение L(p) простые дроби с последующим
использованием таблиц оригинал - изображение
84

85.

Представления сигналов во временной области
При
85

86.

Представления цепей
Представление
сигнала
Описание цепи
S(t)
Схема замещения (расчётная схема)
F
Комплексная схем замещения
L(p)
Операторная схема замещения
Комплексная схема замещения следует из расчётной схемы цепи путём замены гармонических

энергии, их комплексными амплитудами, а элементов цепи- их комплексными сопротивлениями.
Операторная схема замещения следует из расчётной схемы цепи путём замены гармонических
колебаний, описывающих задающие напряжения и токи независимых источников электрической
энергии, их L-изображениями, а элементов цепи – их операторными сопротивлениями.
Операторная схема замещения ёмкости
86

87.

Операторная схема замещения индуктивности
Операторная схема замещения резистивного сопротивления
Системные функции электрических цепей
ω
Входные системные функции
Входное операторное сопротивление
Входная операторная проводимость
87

88.

Передаточные системные функции
Операторная передаточная функция по напряжению
Операторная передаточная функция по току
Операторное передаточное сопротивление
Операторная передаточная проводимость
Способы определения
1. На основе дифференциального уравнения цепи
Это уравнение в операторной форме имеет вид:
88

89.

Пример
Определить
А) Входную операторную проводимость
Б) Операторную передаточную функцию по
напряжению
А)
Б)
89

90.

2. На основе анализа операторных схем замещения цепи
Заменив в заданной электрической цепи двухполюсные элементы их операторными схемами замещения, а
задающие токи и напряжения независимых источников электрической энергии их L-изображениями, получим
операторную схему замещения заданной цепи. При записи уравнений электрического равновесия для
L-изображений независимых переменных можно использовать все методы, которые используются с этой целью
в символическом методе анализа электрических цепей. Ясно, что при этом комплексные амплитуды реакций и
воздействий должны быть заменены их L-изображениями, а комплексные сопротивления (проводимости) –
операторными сопротивлениями (проводимостями). В результате анализа операторной схемы
замещения цепи определяется L-изображение требуемой реакции цепи и после деления его на L-изображение
входного воздействия- искомая системная характеристика цепи.
Пример
90

91.

Заменив оператор p на jω в выражении для H(p), получим комплексную входную или
передаточную функцию цепи
Импульсная и переходная характеристики электрической цепи
Реакция электрической цепи на воздействие в виде δ-функции
называется импульсной характеристикой этой цепи -
Реакция электрической цепи на воздействие в виде функции единичного
скачка называется переходной характеристикой этой цепи -
Импульсная и комплексная передаточная функции электрической цепи
связаны между собой парой преобразования Фурье, т.е.
91

92.

Импульсная и операторная передаточная функции электрической цепи
связаны между собой парой преобразования Лапласа, т.е.
Частотный (спектральный) метод анализа электрических цепей
Необходимо:
определить комплексную спектральную плотность воздействия -
определить комплексную передаточную функцию цепи определить комплексную спектральную плотность реакции цепи -
Определить реакцию цепи во временной области -
92

93.

Пример
93

94.

Условия безыскажённой передачи сигналов через электрическую цепь
,
Если спектр входного воздействия S(t)-
то спектр
-
и
Как следует из последнего выражения, безыскажающая электрическая цепь имеет постоянную АЧХ
при любых значениях w, ФЧХ этой цепи линейна.
Комплексная передаточная функция многозвенной электрической цепи.
94

95.

Операторный метод анализа электрических цепей
Необходимо:
определить L-изображение воздействия
определить операторную передаточную функцию цепи – Н(р)
определить L-изображение реакции цепи -
определить реакцию цепи во временной области -
Пример
95

96.

Временной метод анализа электрических цепей
Интеграл Дюамеля
1.
2.
96

97.

3
.
4.
Если воздействие описывается двумя различными функциями, действующими на различных
участках временной оси т.е.
97

98.

Порядок расчёта реакции цепи
, Необходимо:
определить либо импульсную, либо переходную характеристики цепи
пользуясь одной из форм записи интеграла Дюамеля, определить искомую реакцию цепи
Пример
H(p) =
Дифференцирующие электрические цепи
98

99.

ψ(ω)
=
H(p) =
=
=
=
- постоянная времени цепи
H(p)
=
При R << 1/pC
Cледовательно, при R << 1/
С

100.

напряжение, снимаемое с резистивного сопротивления последовательной RC цепи
имеет форму, близкую к производной от воздействия.
Переходная характеристика RC цепи имеет вид
последовательной RC цепь называется практически дифференцирующей, если
верхняя частота рабочей полосы
частот входного воздействия. Для сигнала, показанного выше,
Активная дифференцирующая цепь
при μ =
H
τ=
100

101.

=
Интегрирующие электрические цепи
ψ(ω) =
H(p) =
101

102.

=
=
=
τ
H(p)
При R >> 1/pC
cледовательно, при R >>
напряжение, снимаемое с ёмкости, имеет форму, близкую к интегралу от
воздействия.
Переходная характеристика имеет вид
последовательная RC цепь называется практически интегрирующей, если
τ
0.1 R
нижняя частота рабочей полосы частот
воздействия
102

103.

H
Активная интегрирующая цепь
при μ = ∞
H

Книга состоит из двух частей и представляет собой учебник по основам теории электрических цепей, предназначенный для оказания методической помощи студентам вузов, обучающихся по направлению «Радиотехника», при их самостоятельной работе по освоению курса теории цепей. В отличие от предыдущих изданий, данное издание учебника включает в себя в качестве электронного приложения сборник задач по основам теории цепей, который ранее издавался в виде отдельной книги. В книге изложены основы теории линейных электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами в установившемся и переходном режимах, а так же основы анализа нелинейных резистивных цепей на постоянном токе и при гармоническом воздействии. Рассмотрены цепи с управляемыми источниками, не взаимные четырехполюсники, идеальные операционные усилители, преобразователи сопротивления и активные фильтры.

Шаг 1. Выбирайте книги в каталоге и нажимаете кнопку «Купить»;

Шаг 2. Переходите в раздел «Корзина»;

Шаг 3. Укажите необходимое количество, заполните данные в блоках Получатель и Доставка;

Шаг 4. Нажимаете кнопку «Перейти к оплате».

На данный момент приобрести печатные книги, электронные доступы или книги в подарок библиотеке на сайте ЭБС возможно только по стопроцентной предварительной оплате. После оплаты Вам будет предоставлен доступ к полному тексту учебника в рамках Электронной библиотеки или мы начинаем готовить для Вас заказ в типографии.

Внимание! Просим не менять способ оплаты по заказам. Если Вы уже выбрали какой-либо способ оплаты и не удалось совершить платеж, необходимо переоформить заказ заново и оплатить его другим удобным способом.

Оплатить заказ можно одним из предложенных способов:

1. Безналичный способ:
   • Банковская карта: необходимо заполнить все поля формы. Некоторые банки просят подтвердить оплату – для этого на Ваш номер телефона придет смс-код.
   • Онлайн-банкинг: банки, сотрудничающие с платежным сервисом, предложат свою форму для заполнения. Просим корректно ввести данные во все поля.
     Например, для " class="text-primary">Сбербанк Онлайн требуются номер мобильного телефона и электронная почта. Для " class="text-primary">Альфа-банка потребуются логин в сервисе Альфа-Клик и электронная почта.
   • Электронный кошелек: если у Вас есть Яндекс-кошелек или Qiwi Wallet, Вы можете оплатить заказ через них. Для этого выберите соответствующий способ оплаты и заполните предложенные поля, затем система перенаправит Вас на страницу для подтверждения выставленного счета.