Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона и применяется для определения мгновенных скоростей тел после их взаимодействия.

Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина равная произведению массы тела на его скорость p -> = mϑ -> , где m – масса тела, ϑ -> – мгновенная скорость. Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов тел p c -> = p 1 -> + p 2 -> + p 3 -> + … + p n -> .

Согласно первому закону Ньютона, если тела не взаимодействуют, сохраняется импульс каждого тела и импульс нескольких тел входящих в систему. При взаимодействии внутри системы, между телами возникают пары сил равные по величине и противоположные по направлению, согласно третьему закону Ньютона.

Векторная физическая величина, являющаяся мерой действия силы в течении некоторого промежутка времени называется импульсом силы и обозначается F -> Δt. Из второго закона Ньютона в случае действия одной силы и определения ускорения следует F -> = ma -> , a -> = (ϑ -> - ϑ 0 ->)/Δt =>

F -> = m(ϑ -> – ϑ 0 ->)/Δt => F -> Δt = mϑ -> – mϑ 0 -> => … F -> Δt = p -> – p 0 ->

Это уравнение является законом сохранения импульса в импульсной форме. Импульс силы (равнодействующей) равен изменению импульса тела (материальной точки). В замкнутой системе взаимодействия происходят попарно, причем импульс одного тела изменяется на величину F 21 -> Δt, импульс второго на F 12 -> Δt, где F 12 -> – сила, действующая со стороны первого тела на второе и F 21 -> – сила действующая со стороны второго тела на первое.

Замкнутой назовем систему тел, взаимодействующих только между собой.

Импульс первого тела изменяется на величину F 21 -> Δt, p 1 -> = p 01 -> + F 21 -> Δt, импульс второго тела изменяется на величину F 12 -> Δt, p 2 -> = p 02 -> + F 12 -> Δt. Но импульс системы тел остается постоянной величиной

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p2 -> , так как F 21 -> Δt + F 12 -> Δt = 0, поскольку F 12 -> = -F 21 -> .

При любом взаимодействии двух тел внутри замкнутой системы импульс всей системы не изменяется. Сформулируем закон сохранения импульса.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

При использовании закона сохранения импульса в задаче делаем два схематических рисунка, показывая состояние системы тел до и после взаимодейсвия. Для решения векторных уравнений выбираем одинаковые системы координат.

Задача 1. Неупругий удар.

Вагон массой 30 т движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной платформой массой 10 т. Найти скорость вагона и платформы после того, как сработает автосцеп.

Решение.

p 01 -> + p 02 -> = p 1 -> + p 2 ->

M1ϑ 1 -> = (M1 + M2)ϑ ->

ОХ: M 1 ϑ 1 = (M 1 + M 2)ϑ

Отсюда: ϑ = M 1 ϑ 1 /(M 1 + M 2);

ϑ = (30 · 103 · 4) / (30 · 103 + 10 · 103) = 0,75 м/c

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ. 0,75 м/c

Закон сохранения импульса также можно применить для незамкнутых систем, если взаимодействие тел происходит мгновенно и определяются скорости тел сразу после взаимодействия.

Задача 2. Разделение на части.

Граната, летящая со скоростью 20 м/с, разрывается на два осколка массами 1,2 кг и 1,8 кг. Больший осколок продолжает двигаться в том же направлении со скоростью 50 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Решение.

Система не замкнута на тело и его части действует сила тяжести, но так как разрыв происходит мгновенно, изменением импульса каждой части силой тяжести можно пренебречь. Применим закон сохранения импульса в векторном виде.

Mϑ -> = M 1 ϑ -> 1 + M 2 ϑ -> 2

ОХ: Mϑ = M 1 ϑ 1 + M 2 ϑ 2

Отсюда: ϑ 2х = (Mϑ - M 1 ϑ 1)/M 2

ϑ 2х = (3 · 20 – 1,8 · 50)/1,2 = -25 м/с

[ϑ] = (кг · м/с)/кг = м/с

Ответ.

Закон сохранения импульса может быть применен в проекциях на ось, если проекция равнодействующей внешних сил на эту ось равна О. p х = 0; p 01х + p 02х = p 1х + p 2х.

Задача 3. Выстрел под углом.

Из орудия, установленного на платформе массой М, производят выстрел снарядом массы m под углом a к горизонту и скоростью V относительно земли, определить скорость платформы после выстрела.

Решение.

Система не замкнута, на тело во время выстрела действует дополнительная сила реакции опоры, которая сообщает снаряду импульс вдоль вертикальной оси ОY, ее проекция на горизонтальную ось ОХ равна 0, других сил, действующих вдоль оси ОХ нет, значит можно применить закон сохранения импульса в проекциях на ось ОХ.

p х = p 1х + p 2х

ОХ: 0 = МU x + mϑ x

0 = МU x + mϑ cosα

U x = m ϑcosα/М

[U] = (кг · м/с)/кг = м/с

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на закон сохранения импульса?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой .

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса . Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона

Если эти тела взаимодействуют в течение времени t , то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:

Применим к этим телам второй закон Ньютона:

Где и - импульсы тел в начальный момент времени, и - импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился:

Закон сохранения импульса:

Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.

Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY . Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.

Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение .

При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется вперед, а орудие - откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и а их массы через M и m , то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX

На принципе отдачи основано реактивное движение . В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m , а массу ракеты после истечения газов через M . Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать:

где V - скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.

Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно . На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость а ее масса станет равной M + ΔM , где ΔM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен . В момент времени t импульс всей системы был равен Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:

Величиной можно пренебречь, так как |ΔM | << M . Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt →0, получаем:

Рисунок 1.17.3. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 - в момент времени t . Масса ракеты М, ее скорость 2 - Ракета в момент времени t + Δt . Масса ракеты M + ΔM , где ΔM < 0, ее скорость масса выброшенных газов -ΔM > 0, относительная скорость газов скорость газов в инерциальной системе

Величина есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:

где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу Циолковского для конечной скорости υ ракеты:

где - отношение начальной и конечной масс ракеты.

Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение должно быть равно 50.

Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и это бесспорно. Только многие задачи решаются разными способами. Я предлагаю следующий. Простейший реактивный двигатель: камера, в которой с помощью сжигания топлива поддерживается постоянное давление, в нижнем днище камеры отверстие, через которое с определенной скоростью происходит истечение газа. Согласно закону сохранения импульса камера приходит в движение (прописные истины). Другой способ. В нижнем днище камеры отверстие, т.е. площадь нижнего днища меньше площади верхнего днища на площадь отверстия. Произведение давления на площадь дает силу. Сила, действующая на верхнее днище больше чем на нижнее (из-за разности площадей), получаем неуравновешенную силу, которая приводит камеру в движение. F = p (S1-S2) = pSотверстия, где S1 площадь верхнего днища, S2 площадь нижнего днища, Sотверстия площадь отверстия. Если решать задачи традиционным методом и предложенным мной результат будет один и тот же. Предложенный мной способ более сложен, но он объясняет динамику реактивного движения. Решение задач с помощью закона сохранения импульса более простое, но оно не дает понять откуда берется сила, приводящая камеру в движение.

>>Физика: Закон сохранения импульса

Для импульса справедлив фундаментальный закон природы, называемый законом сохранения импульса (или количества движения). Открывший этот закон Декарт в одном из своих писем написал: "Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает".

В наиболее простом случае закон сохранения импульса может быть сформулирован следующим образом:

При взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным (т. е. сохраняется).

Проделаем опыт. Подвесим на тонких нитях два одинаковых стальных шара (рис. 18). Отведем в сторону левый шар и отпустим. Мы увидим, что после столкновения шаров левый шар остановится, а правый придет в движение. Высота, на которую поднимется правый шар, будет совпадать с той, на которую до этого был отклонен левый шар Это говорит о том, что в процессе столкновения левый шар передает правому шару весь свой импульс. На сколько уменьшается импульс первого шара, на столько же увеличивается импульс второго шара. Общий (суммарный) импульс шаров при этом остается неизменным, т. е. сохраняется.

Чаще всего закон сохранения импульса применяют при анализе столкновений тел. Рассмотрим простой пример. Предположим, что мальчик массой 50 кг прыгает со скоростью 3 м/с на неподвижно стоящий перед ним скейтборд массой 2 кг. С какой скоростью V он начнет двигаться после этого? Для ответа на этот вопрос вычислим сначала общий импульс, которым обладали мальчик и скейтборд до столкновения. Находим: 50 кг 3 м/с = = 150 кгм/с. По закону сохранения этот же импульс должен остаться и после того, как мальчик оказался на скейтборде. Но теперь мальчик и скейтборд образуют систему массой 52 кг, движущуюся со скоростью V, которую нам предстоит найти. Составляем уравнение:
52 кг V = 150 кгм/с. Решая его, находим: V = 2,9 м/с.

??? 1. Кто открыл закон сохранения импульса ? 2. Как проявляется закон сохранения импульса при столкновении тел? 3. Что будет происходить в системе одинаковых упругих шаров, изображенных на рисунке 19, после того, как крайний левый шар будет отведен в сторону и отпущен?

Отослано читателями из интернет-сайтов

Вся физика онлайн , календарно-тематическое планирование физики, онлайн тестирование , задание школьнику 8 класса, курсы учителю физики 8 класса

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Простые наблюдения и опыты доказывают, что покой и движение относительны, скорость тела зависит от выбора системы отсчета; по второму закону Ньютона независимо от того, находилось ли тело в покое или двигалось, изменение скорости его движения может происходить только под действием силы, т. е. в результате взаимодействия с другими телами. Однако существуют величины, которые могут сохраняться при взаимодействии тел. Такими величинами являются энергия и импульс .

Импульсом тела называют векторную физиче¬скую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается . Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость: . Направление вектора импульса р совпадает с направлением вектора скорости тела . Единица импульса - .

Для импульса системы тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем. В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в нее. В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае , где - начальный импульс системы, а - конечный. В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид , где - массы тел, а - скорости до взаимодействия, - скорости после взаимодействия (рис. 4). Эта формула и является математическим выражением закона сохранения импульса: импульс замкнутой физической системы сохраняется при любых взаимодействиях, происходящих внутри этой системы. Другими словами: в замкнутой физической системе геометрическая сумма импульсов тел до взаимодействия равна геометрической сумме импульсов этих тел после взаимодействия . В случае незамкнутой системы импульс тел системы не сохраняется. Однако если и системе существует направление, по которому внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано, то сохраняется проекция импульса на это направление. Кроме того, если время взаимодействия мало (выстрел, взрыв, удар), то за это время даже в случае незамкнутой системы внешние силы незначительно изменяют импульсы взаимодействующих тел. Поэтому для практических расчетов в этом случае тоже можно применять закон сохранения импульса.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих тел при отсутствии действия со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел действительно остается неизменной.

В механике закон сохранения импульса и законы Ньютона связаны между собой. Если на тело массой в течение времени действует сила и скорость его движения изменяется от до , то ускорение движения а тела равно . На основании второго закона Ньютона для силы можно записать , отсюда следует

. - векторная физическая величина, характеризующая действие на тело силы за некоторый промежуток времени и равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы . Единица импульса силы - .

Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Реактивное движение - это такое движение тела, которое возникает после отделения от тела его части.

Пусть тело массой покоилось. От тела отделилась какая-то его часть массой со скоростью Тогда оставшаяся часть придет в движение в противоположную сторону со скоростью , масса оставшейся части . Действительно, сумма импульсов обеих частей тела до отделения была равна нулю и после разделения будет равна нулю:

Отсюда .

Большая заслуга в развитии теории реактивного движения принадлежит К. Э. Циолковскому.

Он разработал теорию полета тела переменной массы (ракеты) в однородном поле тяготения и рассчитал запасы топлива, необходимые для преодоления силы земного притяжения; основы теории жид¬костного реактивного двигателя, а также элементы его конструкции; теорию многоступенчатых ракет, причем предложил два варианта: параллельный (несколько реактивных двигателей работают одновременно) и последовательный (реактивные двигатели работают друг за другом). К. Э. Циолковский строго научно доказал возможность полета в космос с помощью ракет с жидкостным реактивным двигателем, предложил специальные траектории посадки космических аппаратов на Землю, выдвинул идею создания межпланетных орбитальных станций и подробно рассмотрел условия жизни и жизнеобеспечения на них. Технические идеи Циолковского находят применение при создании современной ракетно-космической техники. Движение с помощью реактивной струи по закону сохранения импульса лежит в основе гидрореактивного двигателя. В основе движения многих морских моллюсков (осьминогов, медуз, кальмаров, каракатиц) также лежит реактивный принцип.

Распространенные ошибки

1. Встречались абитуриенты, допускавшие грубую ошибку при объяснении принципа действия реактивного двигателя. Они утверждали, что движение реактивного самолета обусловлено взаимодействием выбрасываемых газов и воздуха: самолет действует на воздух, а воздух, согласно третьему закону Ньютона,- на самолет, в результате чего он движется. Это, конечно, неверно. ДЕйствительной причиной движения реактивного самолета является взаимодействие истекающих из сопла газов, которые образуются при сгорании топлива. За счет большого давления в камере сгорания эти газы приобретают некоторый импульс, поэтому, согласно закону сохранения импуьса, самолет получает такой же по модулю, но противоположный по направлению импульс. Так что самолет не отталкивается от воздуха. Напротив, атмосферный воздух является лишь помехой движению самолета.

2. Некоторый учащиеся не могут дать полный и правильный ответ на вопрос: в какиз случаях можно применять закон сохранения импульса. Полезно запомнить следующие критерии его применимости:

1. система тел замкнута, т.е. на тела этой системы не действуют внешние силы;
2. на тела системы действуют внешние силы, но их векторная сумма равна нулю
3. система не замкнута, но сумма проекций всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю; тогда остается постоянной и сумма проекций импульсов всех тел системы на эту ось.
4. время взаимодействия тел мало (например, время удара, выстрела, взрыва); в этом случае импульсаом внешних сил можно пренебречь и рассматривать систему как замкнутую.

Изменяются, так как на каждое из тел действуют силы взаимодействия, однако сумма импульсов остается постоянной. Это и называется законом сохранения импульса .

Второй закон Ньютона выражается формулой . Ее можно записать иным способом, если вспомнить, что ускорение равно быстроте изменения скорости тела. Для равноускоренного движения формула будет иметь вид:

Если подставить это выражение в формулу, получим:

,

Эту формулу можно переписать в виде:

В правой части этого равенства записано изменение произведения массы тела на его скорость. Произведение массы тела на скорость является физической величиной, которая называется импульсом тела или количеством движения тела .

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость. Это векторная величина. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости.

Другими словами, тело массой m , движущееся со скоростью обладает импульсом . За единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг , движущегося со скоростью 1 м/с (кг·м/с). При взаимодействии друг с другом двух тел если первое действует на второе тело силой , то, согласному третьему закону Ньютона , второе действует на первое силой . Обозначим массы этих двух тел через m 1 и m 2 , а их скорости относительно какой-либо системы отсчета через и . Через некоторое время t в результате взаимодействия тел их скорости изменятся и станут равными и . Подставив эти значения в формулу, получим:

,

,

Следовательно,

Изменим знаки обеих частей равенства на противоположные и запишем в виде

В левой части равенства - сумма начальных импульсов двух тел, в правой части - сумма импульсов тех же тел через время t . Суммы равны между собой. Таким образом, несмотря на то. что импульс каждого тела при взаимодействии изменяется, полный импульс (сумма импульсов обоих тел) остается неизменным.

Действителен и тогда, когда взаимодействуют несколько тел. Однако, важно, чтобы эти тела взаимодействовали только друг с другом и на них не действовали силы со стороны других тел, не входящих в систему (либо чтоб внешние силы уравновешивались). Группа тел, не взаимодействущая с другими телами, называется замкнутой системой справедлив только для замкнутых систем.