Как строить график гиперболы по уравнению. Гипербола: определение, свойства, построение

Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

У гиперболы две симметричные ветви.

Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

Пример 4

Построить гиперболу, заданную уравнением

Решение : на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной :

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Парабола и её каноническое уравнение

Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:

Пример 6

Построить параболу

Решение : вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.

В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :

Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.

Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое

определение параболы:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .

Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром , который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :

Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):

Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.

Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси

Эксцентриситет любой параболы равен единице:

Поворот и параллельный перенос параболы

Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.

Гипербола и парабола

Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка , посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе . Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом . Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

У гиперболы две симметричные ветви.

У гиперболы две асимптоты .

Пример 4

Построить гиперболу, заданную уравнением

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной :

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

1) Прежде всего, находим асимптоты . Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы , которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса . Из канонического уравнения на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью .

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся .

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

У гиперболы, точно так же, как и у эллипса , есть две особенные точки , которые называются фокусами . Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым .

Общая концепция определения тоже похожа:

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :

Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:

Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:

Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Занятие 10 . Кривые второго порядка.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:

где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее важными линиями среди кривых второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.

10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.

Определение эллипса. Эллипсом называется плоская кривая, у которой сумма расстояний от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки

(т.е.). Точки
называются фокусами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса :
. (2)

(или ось
) проходит через фокусы
, а начало координат – точка- находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно осей координат и начала координат (центра эллипса). Постоянные
,
называютсяполуосями эллипса .

Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.

1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.

2) Затем вычисляется фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат).

При
фокусы лежат на оси
;
;
.

Эксцентриситетом эллипса называется величина:(при
);(при
).

У эллипса всегда
. Эксцентриситет служит характеристикой сжатия эллипса.

Если эллипс (2) переместить так, что центр эллипса попадет в точку

,
, то уравнение полученного эллипса имеет вид

10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.

Определение гиперболы. Гиперболой называется плоская кривая, у которой абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки
(т.е.). Точки
называются фокусами гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы :
или
. (3)

Такое уравнение получается, если координатная ось
(или ось
) проходит через фокусы
, а начало координат – точка- находится в центре отрезка
. Гиперболы (3) симметричны относительно осей координат и начала координат. Постоянные
,
называютсяполуосями гиперболы .

Фокусы гиперболы находятся так.

У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).

У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)

Здесь - фокусное расстояние (расстояние от фокусов до начала координат). Оно вычисляется по формуле:
.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина:

(для
);(для
).

У гиперболы всегда
.

Асимптотами гипербол (3) являются две прямые:
. Обе ветви гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам с ростом.

Построение графика гиперболы следует проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат; затем через противоположные вершины этого прямоугольника проводим прямые, это – асимптоты гиперболы; наконец изображаем ветви гиперболы, они касаются середин соответствующих сторон вспомогательного прямоугольника и приближаются с ростомк асимптотам (рис. 2).

Если гиперболы (3) переместить так, что их центр попадет в точку
, а полуоси останутся параллельны осям
,
, то уравнение полученных гипербол запишутся в виде

,
.

10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.

Определение параболы. Параболой называется плоская кривая, у которой для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точкиплоскости (называемой фокусом параболы) равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости (называемой директрисой параболы).

Каноническое уравнение параболы :
, (4)

где - постоянная, называемаяпараметром параболы.

Точка
параболы (4) называется вершиной параболы. Ось
является осью симметрии. Фокус параболы (4) находится в точке
, уравнение директрисы
. Графики параболы (4) со значениями
и
приведены на рис. 3.а и 3.б соответственно.

Уравнение
также определяет параболу на плоскости
, у которой по сравнению с параболой (4), оси
,
поменялись местами.

Если параболу (4) переместить так, что ее вершина попадет в точку
, а ось симметрии останется параллельна оси
, то уравнение полученной параболы имеют вид

Перейдем к примерам.

Пример 1 . Кривая второго порядка задана уравнением
. Дать название этой кривой. Найти ее фокусы и эксцентриситет. Изобразить кривую и ее фокусы на плоскости
.

Решение. Данная кривая является эллипсом с центром в точке
и полуосями
. В этом легко убедиться, если провести замену
. Это преобразование означает переход от заданной декартовой системы координат
к новой декартовой системе координат
, у которой оси
параллельны осям
,
. Это преобразование координат называется сдвигом системы
в точку. В новой системе координат
уравнение кривой преобразуется в каноническое уравнение эллипса
, его график приведен на рис. 4.

Найдем фокусы.
, поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
.. В системе координат
:
. Т.к.
, в старой системе координат
фокусы имеют координаты.

Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.

Решение. Выделим полные квадраты по слагаемым, содержащим переменные и.

Теперь, уравнение кривой можно переписать так:

Следовательно, заданная кривая является эллипсом с центром в точке
и полуосями
. Полученные сведения позволяют нарисовать его график.

Пример 3 . Дать название и привести график линии
.

Решение. . Это – каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями
.

Поскольку,
, делаем заключение: заданное уравнение определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).

Пример 4 . Дать название кривой второго порядка
. Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести график этой кривой.

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями
.

Фокусное расстояние.

Знак "минус" стоит перед слагаемым с , поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:. Ветви гиперболы располагаются над и под осью
.

- эксцентриситет гиперболы.

Асимптоты гиперболы: .

Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).

Пример 5 . Выяснить вид кривой, заданной уравнением
и построить ее график.

- гипербола с центром в точке
и полуосями.

Т.к. , заключаем: заданное уравнение определяет ту часть гиперболы, которая лежит Справа от прямой
. Гиперболу лучше нарисовать во вспомогательной системе координат
, полученной из системы координат
сдвигом
, а затем жирной линией выделить нужную часть гиперболы

Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.

Решение. Выделим полный квадрат по слагаемым с переменной :

Перепишем уравнение кривой.

Это – уравнение параболы с вершиной в точке
. Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к каноническому виду
, из которого видно, что- параметр параболы. Фокуспараболы в системе
имеет координаты
,, а в системе
(согласно преобразованию сдвига). График параболы приведен на рис. 7.

Домашнее задание .

1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках эллипсов места расположения их фокусов.

2. Нарисовать гиперболы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет и указать на графиках гипербол места расположения их фокусов. Написать уравнения асимптот данных гипербол.

3. Нарисовать параболы, заданные уравнениями:
. Найти их параметр, фокусное расстояние и указать на графиках парабол место расположения фокуса.

4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка. Найти каноническое уравнение этой кривой, записать ее название, построить ее график и выделить на нем ту часть кривой, которая отвечает исходному уравнению.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости у абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами у есть постоянная величина, при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 44). Фокусы в такой системе будут иметь координаты Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем или

Но . Поэтому получим

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:

которое является следствием уравнения (33).

Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (27), полученным для эллипса. Однако в уравнении (34) разность , так как для гиперболы . Поэтому положим

Тогда уравнение (34) приводится к следующему виду:

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнению (36), как следствию уравнения (33), удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на гиперболе, уравнению (36) не удовлетворяют.

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения - центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где

Здесь так как иначе у принимал бы мнимые значения. При возрастании х от а до возрастает от 0 до Частью гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга , изображенная на рис. 47.

Так как гипербола расположена симметрично относительно координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.

Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: . Таким образом, гипербола имеет две вершины: . С осью ординат гипербола не пересекается. В самом деле, положив в уравнении гиперболы получим для у мнимые значения: . Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, - мнимой осью гиперболы.

Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки (см. рис. 47), а также его длина называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и являющуюся графиком функции

Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой

проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

С этой целью рассмотрим две точки имеющие одну и ту же абсциссу и лежащие соответственно на кривой (37) и прямой (38) (рис. 48), и составим разность между ординатами этих точек

Числитель этой дроби - величина постоянная, а знаменатель неограниченно возрастает при неограниченном возрастании . Поэтому разность стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.

Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая , к которой сколь угодно близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Прямые

называются асимптотами гиперболы.

На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимптоты гиперболы.

Для этого следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям и соответственно равными . Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.

Отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: Эксцентриситет характеризует форму гиперболы

Действительно, из формулы (35) следует, что . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,

тем меньше отношение - ее полуосей. Но отношение - определяет форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).