В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Навигация по странице.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

Определение.

– это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М 1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М 1 опустим перпендикуляр М 1 H 1 на плоскость . Длина перпендикуляра M 1 H 1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть - плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , до плоскости . Таким образом, если мы определим координаты некоторой точки М 1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости в виде , то мы сможем вычислить расстояние от точки до плоскости по формуле (эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Теперь подробно.

Задача сводится к получению координат точки М 1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .

С определением координат точки М 1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве . А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты некоторой точки М 2 , через которую проходит плоскость , а также получим нормальный вектор плоскости в виде , то мы сможем написать общее уравнение плоскости как .

В качестве точки М 2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М 2 можно считать найденными.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость проходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости перпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его ), и направляющему вектору прямой b (обозначим его ). Тогда в качестве вектора можно взять и , то есть, . Определив координаты и направляющих векторов прямых a и b и вычислив , мы найдем координаты нормального вектора плоскости .

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

Разберем решение примера.

Пример.

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых ("канонический" или "параметрический"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz L 1 и L 2:

.

(1)

,

(2)

где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − точки, лежащие на прямых L 1 и L 2 , а q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } и q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 } − направляющие векторы прямых L 1 и L 2 , соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M 1 прямой L 1 проводим плоскость α , перпендикулярно прямой L 2 . Находим точку M 3 (x 3 , y 3 , y 3) пересечения плоскости α и прямой L 3 . По сути мы находим проекцию точки M 1 на прямую L 2 . Как найти проекцию точки на прямую посмотрите . Далее вычисляем расстояние между точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L 1 и L 2:

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Подставляя значения m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 в (5) получим:

Найдем точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , для этого построим параметрическое уравнение прямой L 2 .

Чтобы найти точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , подставим значения переменных x , y , z из (7) в (6):

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L 2 и плоскости α :

Остается найти расстояние между точками M 1 и M 3:

L 1 и L 2 равно d =7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L 1 и L 2 . Если направляющие векторы прямых L 1 и L 2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q 1 =λ q 2 , то прямые L 1 и L 2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q 1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d , разделив площадь на основание q 1 параллелограмма.

q 1:

.

Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно:

,

,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Векторы q 1 и q 2 коллинеарны. Следовательно прямые L 1 и L 2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q 1 . Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k , а остальные строки заполнены элементами векторов и q 1:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q 1 будет вектор:

Ответ: Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно d =7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L 1 и L 2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L 1 и L 2 нужно построить параллельные плоскости α 1 и α 2 так, чтобы прямая L 1 лежал на плоскости α 1 а прямая L 2 − на плоскости α 2 . Тогда расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно расстоянию между плоскостями L 1 и L 2 (Рис. 3).

где n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } − нормальный вектор плоскости α 1 . Для того, чтобы плоскость α 1 проходила через прямую L 1 , нормальный вектор n 1 должен быть ортогональным направляющему вектору q 1 прямой L 1 , т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , и подставляя в уравнение

Плоскости α 1 и α 2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } и n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 } этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n 2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

(33)

Решение. Прямая L 1 проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Построим плоскость α 1 , проходящую через прямую L 1 , параллельно прямой L 2 .

Поскольку плоскость α 1 проходит через прямую L 1 , то она проходит также через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и нормальный вектор n 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } плоскости α 1 перпендикулярна направляющему вектору q 1 прямой L 1 . Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Так как плоскость α 1 должна быть параллельной прямой L 2 , то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

(40)

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

План-конспект урока

Теорема о сумме углов треугольника

1. ФИО : Сайфетдинова Гульнара Василевна

2. Место работы : Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Князевская средняя общеобразовательная школа» Тукаевского района РТ

3. Должность : учитель математики

4. Предмет : геометрия

5. Класс : 7 класс

6. Тема урока : Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

7. Базовый учебник : Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б. Кадомцев и др.,2010

8.Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойства наклонных и перпедикуляра, опущенных из точки на прямую, теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель:

Предметные:

применять понятия расстояния от точки до прямой, расстояния между прямыми при решении задач

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

Познавательные УУД:

Коммуникативные УУД:

Личностные УУД :

10. Методы обучения : проблемный, исследовательский.
11.Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, парная, индивидуальная, обучающие структуры.

12.Оборудование, технические условия:

Компьютер, проектор, экран, интернет, программное обеспечение: Microsoft Power Point , рассадка в классе - по 4 человека за столом.

13.Продолжительность урока: 45 мин

14.План урока

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

I . Организационный момент.

Цель: подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.

Учитель : Здравствуйте, Ребята? Как у вас настроение? А давайте мы его еще поднимем и начнем урок с улыбки! Улыбнемся партнеру по лицу! Улыбнемся партнеру по плечу!

II . Актуализация знаний.

Учитель : Вы уже как полгода изучаете новый предмет геометрии и наверное знаете,что такое теорема. Какие способы доказательства знаете?

Возможные ответы учащихся: Метод от противного, конструктивный метод, метод доказательства на основании аксиом и ранее доказанных теорем (слайд №2).

Учитель: Ребята, какие у вас ассоциации со словом - расстояние?

Возможные ответы учащихся: Расстояние между городами, расстояние между столбами, расстояние от чего либо до чего либо (слайд №3).

Учитель: Что называется расстоянием между двумя точками?

Возможные ответы учащихся: Длина отрезка (слайд №4).

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.1

Учитель: Обратите внимание, что в геометрии под расстояние понимается наикратчайшее расстояние. Сделайте запись в технологической карте в п.2

Учитель: Что можно сказать про взаимное расположение прямой АН и прямой а?

Учитель: Как называются эти прямые?

Учитель: А как называется отрезок АН?

Учитель: Запомните: Перпендикуляр – это отрезок. Сделайте запись в технологической карте в п.3.

III . Постановка цели урока. Введение нового материала.

Учитель: Практическое задание:

Мы находимся на поле, через поле проходит дорога. Изобразите математическую модель ситуации. Нам нужно выйти на дорогу. Изобразите траекторию (слайд №6).

Учитель: А как можно определить на математическом языке эту траекторию? Возможные ответы учащихся: Перпендикуляр

Учитель: А почему не так? –

Попробуйте дать ему название (слайд №7).

Возможные ответы учащихся: Наклонная.

Учитель: А сколько наклонных можно провести из этой точки?

Возможные ответы учащихся: Множество.

(слайд №7).

Учитель: Значит, вы считаете, что наикратчайший путь – это перпендикуляр? Докажите.

Учитель: Теперь докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра.

Что мы видим на рисунке?

Возможные ответы учащихся: прямоугольный треугольник (слайд №8).

Учитель: Как в этом треугольнике называются перпендикуляр и наклонная? Возможные ответы учащихся: катет и гипотенуза.

Учитель: Почему гипотенуза больше катета?

Возможные ответы учащихся: Напротив большего угла лежит большая сторона. Самый больший угол в прямоугольном треугольнике – прямой. Напротив него лежит гипотенуза.

Учитель. А как еще можно назвать отрезок АС. А если вернуться к содержании задачи?

Возможные ответы учащихся: Расстояние от точки до прямой .

Учитель: Сформулируйте определение: «Расстояние от точки до прямой – это…(длина перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую)» (слайд №9).Сделайте запись в технологической карте в п.4.

Учитель: Практическое задание.

Найдите расстояние от точки В до прямых А D и DC с помощью чертежного треугольника и линейки (слайд №10).технологическая карта п.6

Учитель: Практическое задание. Постройте две параллельные прямые a и b . На прямой а отметьте точку А. Опустите из точки А перпендикуляр на прямую b . Поставьте в основание перпендикуляра точку В.

Что можно сказать про отрезок АВ? (слайд №11).

Он является перпендикуляром и к прямой а, и к прямой b .

Учитель: Поэтому его называют общим перпендикуляром (слайд №13). Сделайте запись в технологической карте в п.5

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.6

Учитель: Задача. Требуется постелить линолеум в длинном коридоре на пол. Известно, что две противоположные стены – параллельны. На одном конце коридора начертили общий перпендикуляр, и его длина оказалась равной 4 м. Стоит ли перепроверить длины общих перпендикуляров в других местах коридора? (слайд №14).

Возможные ответы учащихся: Не нужно их длины тоже будут равны 4.

Учитель: Докажите. Но для начала изобразите математическую модель данной ситуации. Чтобы доказать выделите, что известно, что требуется доказать.

Как в геометрии обычно доказывается равенство отрезков и углов?

Возможные ответы учащихся: Через равенство треугольников, содержащих эти отрезки и углы. Придумайте конструкцию, которая позволила бы нам доказать равенство этих треугольников.

Структура Single Round Robin :

2.Четыре ученика в команде отвечают по одному разу.

Учитель: Докажите равенство отрезков АВ и СD через равенство треугольников. На сигнальной доске запишите три условия признака равенства треугольников.

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

Учащиеся выполняют дополнительные построения, доказывают равенство треугольников, делают вывод о равенстве отрезков АВ и СD (слайд №№15-17).

Учитель: Отрезки АВ и СD равны. Что можно сказать о точке А и С относительно прямой BD ?

Возможные ответы учащихся: Они находятся на равном расстоянии. Они равноудалены (слайд №18).

Учитель: Для любых ли точек выполняется такое свойство?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Попробуем сформулировать это свойство. Из чего состоит утверждение свойства?

Возможные ответы учащихся: Из условия и заключения (слайд №19,20).

Возможные ответы учащихся: Если точки лежат на одной из параллельных прямых, то они равноудалены от второй прямой.

Учитель: Отредактируйте это свойство без союзов: если, то (слайд №21).

Возможные ответы учащихся: Точки лежащие на одной из параллельных прямых равноудалены от второй прямой.

Структура Think-Write-Round Robin:

1.Учитель задает вопрос и дает время подумать

2.Ученики думают и записывают ответ на свой листочек

3.Ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка.

Учитель: Какое утверждение называем обратным?

Возможные ответы учащихся: Если условие и заключение поменять местами.

Учитель: Сформулируйте обратное утверждение (слайд №22).

Возможные ответы учащихся: Если точки, лежащие на одной из двух прямых равноудалены от второй прямой, то прямые параллельные.

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.7,8.

Учитель: Возможно ли определить такое понятие как расстояние между параллельными прямыми?

Возможные ответы учащихся: Да

Учитель: Что можно называть расстоянием между параллельными прямыми

Возможные ответы учащихся: Длину общего перпендикуляра. Сделайте запись в технологической карте в п.5.

IV. Применение теоремы, выполнение п рактической работы.

Учитель: Практическая работа. Найдите ширину полоски.

Каким математическим понятием является – ширина полоски?

Учитель: Где в практической жизни применяется еще эти теоремы?

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: С какими новыми понятиями познакомились?

Чему научились на уроке?

Где в жизни мы это будем применять?

(слайд №№26-28)

Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.9

Домашнее задание № 276,279 – доказательство обратной теоремы.

Самоанализ урока

Цели:

Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойтва наклонных и перпедикуляра опущенных из точки на прямую, создать условия для доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Образовательная цель: выработать знание о том, что перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенных из одной точки к прямой, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Предметные: учащийся получит возможность научиться:

применять теорему при решении практических задач

анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы для решения практических задач.

Метапредметные:

Регулятивные УУД:

умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Познавательные УУД:

• • умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение, выводы;

  • умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждения, видеть различные стратегии решения задач;

  • развивать первоначальные представления об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов;

  • умение понимать и использовать рисунки и чертежи для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Коммуникативные УУД:

• умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и учениками, определять цели, распределять функции и роли участников, общие способы работы;

• умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные УУД :

• формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве в совместной учебно-исследовательской деятельности;

  развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контпримеры;

  развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

  развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач.

Структура фрагмента урока соответствовала типу - урока открытия нового знания. В соответствии с поставленными целями и содержанием материала урок строился по следующим этапам:

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III. Постановка цели урока . Введение нового материала.

IV. Применение теоремы, выполнение практической работы.

VI. Подведение итогов.

Все структурные элементы урока были выдержаны. Организация учебного процесса построена деятельностным методом.

Целью первого этапа было быстро включить учащихся в деловой ритм.

На втором этапе были актуализированы знания, необходимые для работы над новым материалом.

На третьем этапе С целью определения понятий расстояния от точки до прямой, понятия наклонной привлекла детей к практической деятельности с элементами поиска. Сначала на интуитивном уровне учащиеся выдвигали гипотезу, далее самостоятельно доказали свойство перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки к прямой.

Вообще практические задания использовала в течении всего урока, в том числе и при первичном закреплении. Они помогают привлечь учащихся к самостоятельной познавательной деятельности, и решают проблемы компетентностного подхода в обучении.

Для формулировки и доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых использовала проблемную задачу, которая способствовала выдвижению гипотезы о свойствах рассматриваемых объектов и с последующим поиском доказательства справедливости выдвинутого предположения.

Организовав работу над формулированием теоремы, а затем и обратной теоремы я достигала цели развития первоначальных представлений об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

Учебно-познавательная деятельность была организована через фронтальную работу, индивидуальную, групповую работу. Такая организация позволила включить каждого учащегося в активную деятельность по достижению цели. Учащиеся сотрудничали друг с другом, оказывая взаимопомощь.

Время, я считаю, было распределено рационально. За небольшой промежуток удалось ввести понятия расстояния от точки до прямой, наклонной, расстояния между параллельными прямыми, сформулировать две теоремы и доказать, рассмотреть применение теоремы на практике.

Для наглядности в течении урока использовала презентацию. Использовала специальную программу для демонстрации для сравнения длины наклонной и перпендикуляра, в которой геометрические фигуры оживают. В течение урока использовала работу учащихся на сигнальной доске, которая решает проблемы равного участия учащихся на уроке, контроля над усвоением материала, и, конечно же, активизирует учащегося на уроке.

Учащиеся во время урока были активны, мне удалось привлечь к исследовательской деятельности, творческой деятельности, при конструктивном методе доказательства теоремы, формулировании теоремы

В конце урока учащиеся сами сформулировали тему.

Рефлексия

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности:

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Теорема

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Доказательство

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

Найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

Произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 (x 1 , y 1) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Когда С 2 < 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 < 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = - C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Пример 1

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x - 1 и x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 (4 , - 5) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 (4 , - 5) до прямой y = 2 3 x - 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x - 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x - 3 y - 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = - 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 - 3 13 · - 5 - 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

Пример 2

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x - 3 = 0 и x + 5 0 = y - 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ : 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Пример 3

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 (3 , 0 , - 2) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 проходит через точку М 2 (- 5 , 1 , 2) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 как b → с координатами (1 , - 1 , 4) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Вычислим векторное произведение векторов:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = (8 , 36 , 7)

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Ответ: 1409 3 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

1. Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
2. Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.