Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция , добавлен 24.11.2010
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат , добавлен 24.08.2015
Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге-Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша - Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа , добавлен 23.07.2012
Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа , добавлен 04.01.2016
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа , добавлен 10.06.2010
Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа , добавлен 12.06.2010
Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.
курсовая работа , добавлен 06.12.2013
«Лекции по дифференциальным уравнениям Группы: КА 15–16 II курс, семестр 4 Киев 2013 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 4 1.1 Общие сведения... ...»
-- [ Страница 1 ] --
Ю.А. Чаповский
Лекции по дифференциальным уравнениям
Группы: КА 15–16
II курс, семестр 4
c Ю.А. Чаповский
1 Дифференциальные уравнения первого порядка 4
1.1 Общие сведения...................... 5
1.1.1 Скалярные дифференциальные уравнения... 5
1.1.2 Симметричная форма ДУ............. 9 1.2 Задача Коши........................ 12 1.2.1 Определение. Примеры............... 12 1.2.2 Теорема Пеано. Ломаные Эйлера......... 14 1.2.3 Существование и единственность решения... 19 1.2.4 Продолжение решения задачи Коши....... 1.3 Уравнения, не разрешенные относительно производной 2 Линейные системы 2.1 Общие сведения. Задача Коши............. 2.2 Связь между линейным уравнением и системой... 2.3 Однородные и неоднородные системы......... 2.4 Однородные системы. Общая теория.......... 2.4.1 Фундаментальная система решений....... 2.4.2 Формула Лиувилля–Якоби............ 2.5 Линейные системы с постоянными коэффициентами. 2.5.1 Экспонента матрицы................ 2.5.2 Фундаментальная матрица однородной системы 2.5.3 Метод Эйлера для однородной системы..... 2.6 Линейные неоднородные системы............ 2.6.1 Метод Лагранжа.................. Оглавление 2.6.2 Системы со специальной правой частью..... 3 Нелинейные системы. Первые интегралы 3.1 Общие сведения. Задача Коши............. 3.1.1 Геометрическая интерпретация траекторий... 3.1.2 Автономные и неавтономные системы...... 3.2 Фазовая плоскость ЛОС................. 3.2.1 Случай, когда 1, 2 R.............. 3.2.2 Случай, когда 1, 2 C \ R............ 3.3 Положения равновесия автономной системы..... 3.4 Свойства автономных систем.............. 3.5 Первые интегралы..................... 3.5.1 Общая теория.................... 3.5.2 Автономные первые интегралы.......... 4 Устойчивость по Ляпунову 4.1 Основные понятия..................... 4.2 Устойчивость линейных систем............. 4.3 Устойчивость нелинейных систем............ 4.4 Устойчивость уравнений. Критерий Рауса–Гурвица.. 5 Уравнения в частных производных 5.1 Линейные однородные уравнения............ 5.1.1 Задача Коши.................... 5.2 Квазилинейные уравнения................ 5.2.1 Задача Коши для квазилинейного уравнения.. 6 Вариационное исчисление 6.1 Элементарные задачи вариационного исчисления... 6.2 Простейшая задача вариационного исчисления.... 6.2.1 Частные случаи уравнения Эйлера........ 6.3 Задача со свободным концами.............. 6.4 Обобщения простейшей вариационной задачи..... 6.4.1 Функционалы от нескольких функций...... 6.4.2 Функционалы с производными высших порядков Оглавление 6.5 Изопериметрическая задача............... 6.6 Достаточные условия для слабого экстремума.... 6.6.1 Исследование квадратичного функционала... 6.6.2 Достаточные условия для слабого экстремума. A Некоторые результаты из алгебры и анализа B.1 Экзаменационные вопросы................ B.2 Экзаменационные задачи................. Глава Дифференциальные уравнения первого порядка 1.1. Общие сведения 1.1 Общие сведения 1.1.1 Скалярное дифференциальное уравнение Пусть в R2 фиксированы координаты (x, y), D R2 область (открытое связное множество), f: D R некоторая функция. Промежуток I R будет пониматься как конечный или бесконечный интервал, полуинтервал или отрезок.
Определение 1.1.1. Уравнение называется скалярным дифференциальным уравнением первого порядка, решенным относительно производной.
Решением дифференциального уравнения (1.1) на промежутке I R называется функция: I R, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) имеет производную в каждой точке промежутка I;
2) график функции принадлежит D при x I, т.е. (x, (x)) 3) имеет место равенство Пример 1.1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение на D = R2. Здесь f (x, y) = 0.
Решением уравнения будет функция: R R, заданная (x) = C, x R, для любого фиксированного числа C R (постоянной).
1.1. Общие сведения Рис. 1.1: Графики решений уравнения (1.3) для C = 1 и C = 2 в (a): D = {(x, y) R2: y > 0} и (b): D = {(x, y) R2: y 0}.
Пример 1.1.3. Пусть т.е. уравнение (1.1) имеет вид Решая это уравнение, имеем где C произвольная положительная постоянная. Таким образом, задает решение на I = (C, C). Знак + перед корнем выбран с тем, чтобы график лежал в области D (рис. 1.1 (a)).
1.1. Общие сведения Если в уравнении (1.3) то решение для C > 0 задается функцией на I = (C, C) (рис. 1.1 (b)).
Определение 1.1.4. Пусть решение уравнения (1.1) на I. График функции, т.е. множество = {(x, (x)) R2: x I}, называется интегральной кривой.
Функция v: D R, которая постоянна на каждой интегральной кривой уравнения (1.1), называется первым интегралом.
Пример 1.1.5. Поскольку при решении уравнения (1.3) было получено, что то первым интегралом этого уравнения и будет функция Геометрическая интерпретация решения Рис. 1.2: Векторное поле v и интегральная кривая в области D.
Рассмотрим уравнени (1.1). Для каждой точки P (x, y) D правая часть уравнения (1.1) определяет число k = f (x, y), которое в 1.1. Общие сведения свою очередь определяет вектор v = (1, k), исходящий из точки P.
Вектор v имеет тангенс угла наклона к оси Ox равный k. Множество всех векторов v(P), P D, образует векторное поле в D.
Для функции y = (x) значение её производной (x) в точке P является тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Поэтому, если график функции (x), являющейся решением уравнения (1.1), то вектор v(P) касается в каждой его точке P. Таким образом, функция является решением уравнения (1.1) тогда и только тогда, когда соответствующая ей интегральная кривая (её график) касается векторного поля, задаваемого правой частью уравнения, в каждой её точке (рис. 1.2).
Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых уравнения (1.1) Определение 1.1.6. Изоклиной (линией равного наклона) для уравнения y = f (x, y) называется геометрическое место точек в области D, для которых f (x, y) = k с некоторой постоянной k.
Для разных значений k строим изоклины в области D и в точках каждой изоклины проводим короткий отрезок с угловым коэффициентом k, соответствующим этой изоклине. Множество всех таких отрезков называется полем направлений. Далее строим интегральные кривые, которые пересекают изоклины, касаясь построенных отрезков.
Рис. 1.3: Построение интегральной кривой методом изоклин.
Пример 1.1.7. Нарисовать интегральные кривые уравнения 1.1. Общие сведения в области D = {(x, y) R2: y > 0}.
Для фиксированного k находим изоклину из условия x = k, которая является прямой y = k x. В точках этой прямой строим отрезки с угловым коэффициентом k. Делаем это для разных значений k. Проводим кривую, пересекающую изоклины параллельно соответствующим отрезкам. Проведенная кривая приближенно и есть интегральная кривая (рис. 1.3).
1.1.2 Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме Определение 1.1.8. Дифференциальным уравнением в симметричной форме или уравнением Пфаффа называется уравнение вида для всех (x, y) D.
Решением уравнения (1.5) на промежутке J R называется пара функций, : J R таких, что:
1) функции и дифференцируемы на J и |(t)| + |(t)| = для всех t J (точка над функцией от t означает дифференцирование по t);
2) ((t), (t)) D для всех t J;
3) имеет место тождество Образ промежутка J при отображении называется интегральной кривой.
1.1. Общие сведения Пример 1.1.9. Рассмотрим уравнение (1.3) в симметричной форме:
на D = R2. Здесь M (x, y) = x, N (x, y) = y. Тогда пара функций является решением (1.7) на J = R для произвольной постоянной R R, поскольку R cos t(R cos t) + R sin t(R sin t) = R2 cos t sin t + R2 sin t cos t = для всех t R. При этом, интегральными кривыми (1.7) будут окружности радиуса R.
Замечание 1.1.10. Если строго монотонная функция, то можно решить уравнение x = (t) относительно t, t = 1 (x), и, подставив это выражение, получим, что решение (1.5) запишется в виде Если строго монотонная функция на J, то, решив уравнение y = (t) относительно t и найдя t = 1 (y), получим решение (1.5) в виде Геометрическая интерпретация решения Как и в случае уравнения в нормальной форме, уравнение (1.5) определяет векторное поле на D. А именно, каждой точке P D можно сопоставить исходящий из нее вектор v (P), v (P) = Если r = (,) : J R2 решение а = {r(t) : t J} интегральная кривая, то r(t) = ((t), (t)) будет касательным вектором к в точке P = r(t), и уравнение в 3) определения 1.1.8 означает, что r(t)·v (P) = 0, т.е. r(t) v (P). Поэтому, r решение тогда и только тогда, когда r перпендикулярен вектору v в каждой точке кривой.
1.1. Общие сведения Рис. 1.4: Векторное поле и интегральная кривая.
Замечание 1.1.11. Условие |(t)|+|(t)| = 0 для всех t J означает, что v(P) = 0 в каждой точке P D, т.е., что векторное поле v не вырождено.
1.2. Задача Коши 1.2 Задача Коши 1.2.1 Определение. Примеры Определение 1.2.1. Пусть D область в R2, f: D R и (x0, y0) называется задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Условие y(x0) = y0 называется начальным условием.
Функция: I R называется решением задачи Коши (1.8) на промежутке I R, если x0 I, функция является решением дифференциального уравнения в (1.8) и (x0) = y0.
Пример 1.2.2. Рассмотрим задачу Коши на D = R2. Решением дифференциального уравнения будет функция (x) = C, x R, для произвольного числа C R. Однако, из начального условия следует, что (0) = 1, откуда следует, что C = 1, и решением задачи Коши будет постоянная функция (x) = 1, x R, см. рис. 1.5.
1.2. Задача Коши Рис. 1.6: Различные решения задачи Коши в примере 1.2.3.
Пример 1.2.3. Рассмотрим задачу Коши (1.8) на D = R2, где Для x > 0 имеем дифференциальное уравнение решением которого будет любая из функций где C+ R произвольная постоянная.
Точно также, рассматривая дифференциальное уравнение для x
1.2. Задача Коши Пример 1.2.4. Рассмотрим задачу Коши с такой же функцией f как в примере 1.2.3 но с условием Повторяя рассуждения как в предыдущем примере и накладывая требования непрерывности (а тем более дифференцируемости) на функцию y, с необходимостью получаем, что решение дифференциального уравнения по-прежнему задается функцией (1.10), которая не удовлетворяет условию (1.11). Следовательно, задача Коши решения не имеет.
1.2.2 Теорема Пеано. Ломаные Эйлера.
Для (x0, y0) R2 и a, b > 0 определим R2 посредством Рис. 1.7: Существование решения задачи Коши.
Теорема 1.2.5 (Пеано). Пусть функция f (x, y) определена и непрерывна на. Пусть Тогда существует (не обязательно единственная) функция y = (x), заданная на отрезке I = и являющаяся решением задачи Коши (1.8) (см. рис 1.7).
1.2. Задача Коши Пример 1.2.6. Рассмотрим задачу Коши на D = R2. Зададимся прямоугольником = (0, 0; 1, 1) D.
Тогда a = 1, b = 1, M = max|x|1,|y|1 3 y 1/3 = 3 и = min{1, 3/2 } = 3. Непосредственно проверяется, что три функции 0, и +, заданные на I = [ 2, 3 ] как являются решением задачи Коши (1.12), см. рис 1.8.
Проверим, например, что функция является решением задачи Коши (1.12). Очевидно, что она удовлетворяет начальному условию. Докажем, что она является решением дифференциального уравнения.
Поскольку (x) = 0 при x
1.2. Задача Коши Для x = 0 вычисляем левую и правую производные:
т.е. производная существует и равна 0. Таким образом, удовлетворяет уравнению в (1.12) на I и, следовательно, является решением задачи Коши.
Ломаные Эйлера.
Рис. 1.9: Построение ломаной Эйлера, tg k = f (xk, yk), k = Ломаные Эйлера являются приближениями решения задачи Коши (1.8). Они строятся следующим образом.
Находим как в Теореме 1.2.5. Фиксируем n N, и будем рассматривать аппроксимацию n решения на отрезке .
Для построения n делим отрезок на равные отрезки длиной n точками xk = x0 + k n, k = 0,..., n, см. рис. 1.9.
На определим n как функцию, график которой является отрезком прямой, проходящей через точку (x0, y0) с угловым коэффициентом k0 = f (x0, y0), т.е.
1.2. Задача Коши Далее положим y1 = n (x1) и продолжим функцию n на отрезок так, чтобы её график совпадал с отрезком, проходящим через точку (x1, y1) и лежащим на прямой с угловым коэффициентом k1 = f (x1, y1), т.е.
Продолжая эту процедуру, получим функцию n, определенную на всем отрезке .
Полученная кусочно линейная функция называется ломаной Эйлера и является приближенным решением задачи Коши (1.8).
Замечание 1.2.7. Можно доказать , что последовательность (n), состоящая из функций n, построенных указанn= ным выше образом для каждого n N, содержит подпоследовательность, которая сходится к решению задачи Коши.
Пример 1.2.8. Найти ломаную Эйлера для задачи Коши Рассмотрим прямоугольник вокруг точки (0, 1) со сторонами a = 1, b = 1. Тогда M = max|x|1,|y1|1 |y| = 2, и = 1. Зафиксируем n N, разобьем отрезок равноудаленными точками x1,..., xn, т.е. xk = k 2n, k = 0,..., n. Заметим, что f (x, y) = y.
1.2. Задача Коши При этом, y3 = n (x3) = (1 + 2n)(1 + 2n 2n) = (1 + 2n)3.
По индукции можно доказать, что yk = (1 + 2n) и Зафиксируем x и вычислим limn n (x). Для этого определим k такое, чтобы x и { · } целая и дробная часть числа.
Поэтому, Поскольку 0 {2nx}
Положим Тогда задача Коши (1.8) имеет решение y = (x), определенное на промежутке Ir = , где r = r 2, и это решение единственно.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольник вокруг точки (x0, y0) со сторонами 1.2. Задача Коши Рис. 1.10: Решение задачи Коши в области Имеем Таким образом каждая вершина принадлежит Br и, следовательно, Br D, см. рис. 1.10. Поэтому, По теореме 1.2.9 существует решение y = (x), которое определено т.е. (x) определено на Ir = .
Единственность следует непосредственно из Теоремы 1.2.9.
1.2.4 Продолжение решения задачи Коши точка. Рассмотрим задачу Коши 1.2. Задача Коши Определение 1.2.11. Пусть y = 1 (x) решение задачи Коши (1.13) на промежутке I1, а y = 2 (x) также решение задачи Коши (1.13) на промежутке I2, причем I1 I2, а ограничение 2 на I1 совпадает с 1. Тогда решение 2 (x) называется продолжением решения 1 (x) с промежутка I1 на промежуток I2, рис. 1.11.
Решение y = (x) задачи Коши (1.13) на I называется непродолжимым, если оно не имеет продолжения на строго больший промежуток.
Рис. 1.12: Непродолжимые решения задач Коши: (a) y = y; (b) y = y 2 ; (c) y = x с начальным условием y(0) = 1.
Пример 1.2.12. Рассмотрим задачу Коши Здесь f (x, y) = y и определена на D = R2. Каждая из функций n (x) = ex, заданная на промежутке In = , n N, является решением задачи Коши. При этом, если n2 > n1, то решение 1.2. Задача Коши n2 является продолжением решения n1. Функция (x) = ex, рассматриваемая на (, +) является непродолжимым решением, см. рис 1.12 (a).
Пример 1.2.13. Рассмотрим задачу Коши Здесь f (x, y) = y 2 и D = R2. Решая дифференциальное уравнение, имеем или Используя начальное условие, находим значение C:
Таким образом, решением задачи Коши будет функция которая на (, 1) является непродолжимым решением, рис. 1.12 (b).
Пример 1.2.14. Рассмотрим задачу Коши на D = {(x, y) R2: y > 0}, см. пример 1.1.3. В этом случае, непродолжимым решением будет на (1, 1), см. рис. 1.12 (c).
Обозначим через (A, B) расстояние между двумя точками A и B на плоскости R2.
1.2. Задача Коши Лемма 1.2.15. Пусть F R2 замкнутое множество, и A 2. Обозначим Тогда существует точка B0 F такая, что (A0, B0) = (A0, F).
Рис. 1.14: Существование ближайшей точки Доказательство. Обозначим (A0, F) = inf BF (A0, B) = r0. Тогда по определению inf существует B1 F такая, что (A0, B1)
1.2. Задача Коши Лемма 1.2.16. Пусть F фиксированное замкнутое множество.
Определим функцию F: R2 R как Тогда функция F является непрерывной на R2.
Доказательство. Докажем, что для произвольной фиксированной точки A0 R2 функция F непрерывна в A0, т.е. для произвольного > 0 существует > 0 такое, что Рис. 1.15: Непрерывность функции расстояния Пусть точки B0 и B будут точками в F, ближайшими к A и A, соответственно (рис. 1.15). Из неравенства треугольника для AA0 B0 имеем, что Но точка B0 не менее удалена от A, чем точка B, т.е. (A, B0) (A, B). Таким образом, Меняя местами A и A0, B и B0, получаем 1.2. Задача Коши или Это и неравенство (1.15) показывают, что Однако, (A, B) = F (A), (A0, B0) = F (A0). таким образом, Это означает, что при заданном > 0 можно взять =.
Пусть 1 и 2 решения (1.16) на и , соответственно. Тогда, если 1 (x1) = 2 (x1), то функция: R, заданная как корректно определена, и является решением (1.16).
Доказательство. Корректность определения следует из того, что 1 (x1) = 2 (x1). Поскольку 1 является решением (1.16), то дифференцируема и удовлетворяет (1.16) на .
Рассмотрим точку x = x1. Левая производная в точке x = x суть 1.2. Задача Коши Для правой производной аналогично имеем Следовательно, (x1) = (x1) = f (x1, (x1)), т.е. дифференцируема и удовлетворяет уравнению (1.16) в точке x = x1.
Теорема 1.2.18. Пусть D R2 область, f: D R, причем f и y непрерывны на D. Для каждой точки (x0, y0) D существует непродолжимое решение y = (x) задачи Коши (1.13) на интервале (,), и оно единственно. При этом, либо = +, либо R.
В случае, когда R имеем либо limx (x) не существует, либо limx (x) = ±, либо limx (x, (x)) D, границе области D.
Аналогично имеем и для левого конца.
Рис. 1.16: Продолжение решения задачи Коши Доказательство. Будем продолжать решение вправо (см. рис. 1.16).
Предположим, что D = R2, т.е. D =.
Пусть A0 точка с координатами (x0, y0) и 0 расстояние между точкой A0 D и границей D области D, т.е. 0 = D (A0).
Положим r0 = 0 и построим замкнутый диск B0 с центром в A0 и 1.2. Задача Коши радиусом r0. Тогда B0 D и по следствию 1.2.10 существует решение 1 на I1 = , где 0 = r0 2 и M0 = maxB0 |f (x, y)|.
Положим x1 = x0 + 0, y1 = 1 (x1). Пусть 1 = D (A1) расстояние от точки A1 с координатами (x1, y1) до границы области D. Положим r1 = 1 и рассмотрим задачу Коши (1.13), изменив начальное условие на условие y(x1) = y1. Опять, согласно следствию 1.2.10, существует и единственно решение 2 на , где 1 = r1 2 и M1 = maxB1 |f (x, y)|. Положим x2 = x1 + 1.
Теперь, используя решения 1 на и 2 на , построим которое, согласно лемме 1.2.17, является решением (1.13) и продолжает 1 на I2 = .
Продолжая таким образом строить отрезки Ik = , где и продолжения k, k N, получим продолжение решения задачи Коши на множество причем либо = +, либо R (см.рис. 1.17).
1.2. Задача Коши Осталось доказать, что если R и предел () = limk (xk) существует, то точка A с координатами (, ()) лежит на границе области, A D.
Пусть это будет не так, т.е. A является внутренней точкой D.
Поскольку то этот ряд сходится и, следовательно, Покажем, что это противоречит тому, что A является внутренней точкой области D (рис. 1.18). Точнее, покажем, что если точка A является внутренней, то существует > 0, для которого k для всех k 0.
Рис. 1.18: Предполагаемый случай (, ()) D.
Будем искать оценку для Поскольку A внутренняя точка, то = D (A) > 0. Так как функция D является непрерывной в точке A (лемма 1.2.16), 1.2. Задача Коши а Ak A, то существует k0 N такой, что всех таких k. Поэтому, положив будем иметь, что для всех k = 0, 1,...
Теперь оценим Mk в (1.19).
Опять, используя то, что Ak A возьмем k1 > k0 с тем, чтобы (Ak, A) k1. Но тогда для k > k1 все круги Bk будут лежать в замкнутом круге B с центром в A и радиусом Поэтому, полагая будем иметь, что Mk M для всех k > k1. Если теперь 1.2. Задача Коши Теперь, используя (1.20), имеем что и требовалось доказать.
Если D = R2, то полагая rk = 1 для всех k = 0, 1,... и продолжая последовательно решение на Ik = , точно также получаем противоречие в случае, когда = limk xk R и () = limk (xk) существует, поскольку (, ()) является внутренней точкой D = R2.
1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной 1.3 Уравнения, не разрешенные относительно производной Определение 1.3.1. Пусть G R3 область, F: G R некоторая функция. Уравнение называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной.
Функция h: I R называется решением (1.21) на промежутке I если 1) h дифференцируема на I;
2) (x, h(x), h (x)) G для всех x I;
3) F (x, h(x), h (x)) = 0 для всех x I.
Пример 1.3.2. Решить уравнение Здесь F (x, y, p) = p2 4x2, G = R3.
Раскладывая F на множители, имеем Рассматривая y 2x = 0, имеем y = 2x и y = x2 + C1, C1 R. Если y + 2x = 0, т.е. y = 2x, то y = x2 + C2, C2 R. Таким образом получаем семейства решений, показанных на рис. 1.20.
Определение 1.3.3. Пусть (x0, y0, p0) G, причем F (x0, y0, p0) = 0. Система называется задачей Коши для уравнения (1.21).
Решением задачи Коши на промежутке I, x0 I, называется функция h, являющаяся решением уравнения и удовлетворяющая указанным начальным условиям.
1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Теорема 1.3.4. Пусть F (x0, y0, p0) = 0, F непрерывно дифференцируемая на G функция и F (x0, y0, p0) = 0. Тогда задача Коp ши (1.22) имеет единственное решение на I = для некоторого > 0.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что применима теорема о неявно заданной функции A.1.1. Следовательно, уравнение F (x, y, y) = 0 может быть разрешено относительно y, y = f (x, y), на некотором прямоугольнике вокруг точки (x0, y0) и притом единственным образом. Кроме того, f (x0, y0) = p0. Теперь, решая задачу Коши получаем единственное решение.
Следствие 1.3.5. Пусть F непрерывно дифференцируемая на G функция, а уравнение F (x0, y0, p) = 0 имеет ровно m различных решений p1,..., pm, причем F (x0, y0, pk) = 0 для всех k = 1,..., m.
Тогда через точку (x0, y0) проходит ровно m решений уравнения Доказательство. Рассмотрим m задач Коши 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной для k = 1,..., m. При фиксированном k соответствующая задача Коши имеет единственное решение k по теореме 1.3.4. Поскольку при k1 = k2, то все эти решения различны.
Пример 1.3.6. Рассмотрим опять уравнение Здесь F (x, y, p) = p2 4x2. Поэтому, если F = 2p = 0, т.е. x = 0, как следует из уравнения F (x, y, p) = 0, то через любую точку (x0, y0), x0 = 0, проходит (локально) ровно 2 решения уравнения (1.23), поскольку уравнение p2 4x2 = 0 имеет в точности 2 решения p0 = ±2|x0 |, которые различны, если x0 = 0 (см. рис 1.20).
Заметим, что через каждую точку (0, y0) проходит 4 решения.
Пример 1.3.7. Рассмотрим уравнение Сразу видно, что y = 0 и y = 1 являются решениями уравнения.
Поскольку y 2 = 4y 2 (1 y) 0, то будем рассматривать уравнение при условии 0
Если p0 > 0, то решение, проходящее через точку (x0, y0) и имеющее там угловой коэффициент p0, удовлетворяет уравнению 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Поэтому, Интегрируя левую часть, имеем Следовательно, или см. рис. 1.22.
Определение 1.3.8. Множество точек (x, y), являющихся решением системы называется дискриминантной кривой.
1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Пример 1.3.9. Если F (x, y, p) = p2 4x2 (пример 1.3.2), то система (1.25) запишется как Её решениями будет x = 0 (рис. 1.22 (a)).
Рис. 1.22: Дискриминантные кривые: (a) пример 1.3.2; (b) пример 1.3. Если F (x, y, p) = p2 4y 3 (1 y) (пример 1.3.7), то система (1.25) имеет вид с решениями y = 0 и y = 1 (рис. 1.22 (b)).
Определение 1.3.10. Функция h, заданная на промежутке I R, называется особым решением уравнения если для каждой точки x0 I существует такое решение x0 уравнения (1.26), что h(x0) = x0 (x0), h (x0) = 0 (x0), и x0 не совпаx дает с h в любой окрестности точки x0.
Пример 1.3.11. Для уравнения (1.24) особым решением будет y = 1, поскольку, продолжая каждое решение 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Рис. 1.23: Особое решение уравнения (1.24): y = 1.
на R, видим, что для фиксированной точки x0 решение касается решения h(x) = 1 в точке x0 и не совпадает с ним в любой окрестности точки x0.
Других особых решений уравнение не имеет.
Утверждение 1.3.12. Если h особое решение уравнения (1.26), то её график h = {(x, y) : y = h(x)} является дискриминантной кривой.
Доказательство. Если (x0, y0) h и h решение (1.26), то для p0 = h (x0) имеем, что F (x0, y0, p0) = 0.
Если h особое решение уравнения (1.26), то F (x0, y0, p0) = для po = h (x0), поскольку иначе решение, проходящее через точку (x0, y0) с угловым коэффициентом p0, будет единственным (локально) по теореме 1.3.4. А это противоречит тому, что решение h является особым. Таким образом, то есть точка (x0, y0) является точкой дискриминантной кривой.
1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Решение уравнений, не разрешенных относительно производной, методом введения параметра.
Утверждение 1.3.13. Если пара x = (t), y = (t) является на I R решением уравнения то тройка x = (t), y = (t), p = (t) является на I решением системы И, наоборот, если тройка функций x = (t), y = (t), p = (t) является решением системы (1.28), то (t) = (t), а пара функций x = (t), y = (t) является решением уравнения (1.27).
Доказательство. Пусть x = (t), y = (t) является решением уравнения (1.27), т.е.
Но тогда это означает, что x = (t), y = (t), p = (t) является решением первого уравнения в (1.28). Подстановка этих функций во второе уравнение системы (1.28) даёт что всегда имеет место.
Если x = (t), y = (t), p = (t) является решением системы (1.28), то подстановка этих функций во второе уравнение дает откуда 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Теперь из первого уравнения системы имеем, что а это означает, что пара (t), (t) является решением уравнения (1.27).
Пусть суть поверхность, множество точек которой удовлетворяют уравнению F (x, y, p) = 0 (см. рис. 1.24). Предположим, что локально задана параметрически, т.е. существует область Duv R2 и дифференцируемое взаимно-однозначное отображение r: Duv r(Duv) причем Если uv кривая в Duv, заданная параметрически, 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной то её образ r(uv) в будет задаваться параметрическими уравнениями На основании утверждения 1.3.13 заключаем, что функции определяющие проекцию xy кривой r(uv) на плоскость (x, y), задают решение уравнения (1.27) тогда и только тогда, когда d Y ((t), (t)) = P (t), (t) d X((t), (t)).
Уравнение (1.30) задает кривую uv в Du,v. Решая это дифференциальное уравнение и найдя функции, используем формулы (1.29) для нахождения решения уравнения (1.27).
Уравнение Клеро. Уравнение где f известная непрерывно дифференцируемая функция, называется уравнением Клеро.
Поверхность R3 задается уравнением y = xp + f (p).
Запишем параметризацию:
где D(f) область определения функции f. Тогда уравнение (1.30) запишется как Решим полученное уравнение. Имеем 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной или, приведя подобные члены, получим то u = f (v) и, подставляя это выражение в (1.32), получаем решение (1.31), заданное параметрически:
то v = C, где C произвольная постоянная, и параметрически заданное решение (1.31) будет Уравнение Лагранжа. Уравнение где a, b известные непрерывно дифференцируемые функции на некоторой области I R, называется уравнением Лагранжа.
Уравнение Клеро получается из уравнения Лагранжа, если в (1.33) положить a(p) = p и b = f.
Поверхность R3 задается уравнением y = a(p)x + b(p).
Запишем параметризацию:
Тогда уравнение (1.30) запишется как 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Упрощая полученное уравнение, имеем и, приводя подобные, получим Если v = vk, vk I, корни уравнения то из (1.34) имеем, что является решением (1.33) для каждого vk.
На множестве J R, на котором a(v) v = 0, деля обе части (1.35) на dv и (a(v) v) получаем что является линейным уравнением относительно u(v). Подставляя его решение в (1.34), получаем параметрическое решение (1.33):
Пример 1.3.14. Рассмотрим уравнение Это есть уравнение Лагранжа с a(p) = p2, b(p) = p3, I = R.
Параметризацией будет и уравнение (1.30) принимает вид:
1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной Упрощая это уравнение, получим или Решениями алгебраического уравнения будут v0 = 0 и v1 = 1, которые, будучи подставленными в (1.37), дадут два решения (1.36):
Для v {0, 1} из (1.38) получаем линейное уравнение относительно u(v):
на J = (, 0) (0, 1) (1, +).
Рассматривая соответствующее однородное уравнение, или имеем или и, полагая 1.3. Уравнения, не разрешенные относительно производной и подставляя в (1.39), получаем или Откуда Таким образом, суть семейство решений, заданных параметрически.
Глава Линейные системы 2.1. Общие сведения. Задача Коши 2.1 Общие сведения. Задача Коши Определение 2.1.1. Системой линейных дифференциальных уравнений называется система x1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 +... + a1n (t)xn + b1 (t), x2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 +... + a2n (t)xn + b2 (t), относительно неизвестных функций x1,..., xn принимающих значение в R (или C), где aij, i, j = 1,..., n, и bi, i = 1,..., n, заданные на некотором промежутке I R функции, и принимающие значения в R (или C). Решением системы (2.1) на промежутке J I называется набор дифференцируемых функций x1,..., xn на J и удовлетворяющих системе (2.1).
Уравнение (2.1) удобно записать в векторной форме:
где При этом функция x, есть векторнозначная функция на J со значениями в Rn или Cn.
2.1. Общие сведения. Задача Коши Определение 2.1.2. Пусть t0 I, x0 Rn. Система называеся задачей Коши для системы (2.2) с начальным значением Решением задачи Коши для (2.2) с начальным условием x0 Rn в точке t0 I называется решение x системы (2.3).
Пример 2.1.3. Система где µ1, µ2 R фиксированные числа, I = R, в матричной форме имеет вид и ее решение суть где C1, C2 R произвольные постоянные, t R.
Задача Коши для системы с начальным условием имеет решение Теорема 2.1.4. Пусть все функции aij, i, j = 1,..., n, и bi, i = 1,..., n, в системе (2.2) непрерывны на некотором интервале I R, t0 I и x0 Rn. Тогда задача Коши с начальным условием x в точке t0 для системы (2.2) имеет решение x, оно единственно и определено на всем I.
2.2. Связь между линейным уравнением и системой 2.2 Связь между линейным уравнением порядка n и линейной системой n уравнений Утверждение 2.2.1. Пусть линейное дифференциальное уравнение порядка n и функции b, ai, i = 0,..., n 1, непрерывны на промежутке I R. Функция x = x(t) является решением (2.4) тогда и только тогда, когда векторнозначная функция является решением системы где Доказательство. Действительно, подставляя вектор x из (2.5), матрицу A и вектор b из (2.7) в систему (2.6), получаем систему 2.2. Связь между линейным уравнением и системой Первые (n 1) компоненты этих векторов совпадают, а равенство последних компонент эквивалентно выполнению уравнения (2.4).
Решение систем методом исключения. Пусть система линейных уравнений, где x = (x1,..., xn)t, A(t) = aij (t) i,j=1, b(t) = b1 (t),..., bn (t), причем aij, bi, i, j = 1,..., n, (n 1) раз непрерывно дифференцируемые функции на I R, Метод исключения состоит в сведении системы к одному уравнению порядка n относительно одной из неизвестных функций или к нескольким уравнениям более низких порядков, каждое из которых включает только одну неизвестную функцию.
Итак, запишем систему в координатном виде, и получим из неё уравнение порядка n относительно x1.
Дифференцируем первое уравнение и, вместо x1,..., xn, подставляем их выражения из системы (2.9):
2.2. Связь между линейным уравнением и системой Обозначив коэффициенты при x1,..., xn через a1,..., an и свободный член через b1, получим Продолжая дифференцировать и подставлять значения производных, используя систему (2.9), будем иметь В последнее уравнение подставим выражения для x2, x3,..., xn, найденные из предыдущих (n 1) уравнений:
т.е., решив линейную систему относительно x2,..., xn.
Если определитель этой системы линейных уравнение не равен нулю, то она однозначно разрешима, и выражения для x2,..., xn 2.2. Связь между линейным уравнением и системой будут линейны относительно правых частей уравнений системы, т.е.
получим, что где 21,..., n n1 некоторые функции от t. Далее, подставляем их в выражение для x1. В результате получаем линейное неоднородное уравнение порядка n относительно неизвестной функции x1.
Решив полученное уравнение, подставим найденную функцию x1 в предыдущие уравнения для нахождения выражений для x2,..., xn.
Пример 2.2.2. Решить систему Будем искать уравнение порядка 2 для x1.
Дифференцируем первое уравнение:
Поскольку мы больше дифференцировать это уравнение не будем, то подставляем только выражение для x2 из второго уравнения:
2.2. Связь между линейным уравнением и системой Таким образом, имеем уравнение второго порядка для x1:
Соответствующее характеристическое уравнение будет корни которого 1,2 = a ± i. Поэтому, общее решение будет И, поскольку, имеем 2.3. Однородные и неоднородные системы 2.3 Однородные и неоднородные системы Определение 2.3.1. Система (2.2) называется однородной, если b(t) = 0 для всех t I, т.е. если она имеет вид В противном случае она называется неоднородной.
Через C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)) обозначим линейное пространство над R (соотв., C) k раз непрерывно дифференцируемых функций на промежутке I R и принимающих значения в Rn (соотв., Cn) (см. пример A.2.5) с операциями Лемма 2.3.2. Определим оператор L: C k (I; Rn) C k1 (I; Rn) посредством Тогда L линейный оператор.
Доказательство. Самостоятельно (см. примеры A.2.14, A.2.15, утверждение A.2.16).
Таким образом, линейное однородное и неоднородное уравнения можно записать в виде Лемма 2.3.3. Пусть xp1, xp2 решения неоднородного уравнения в (2.12). Тогда xh = xp1 xp2 является решением однородного уравнения в (2.12).
Доказательство. Используя линейность оператора L, имеем:
т.е. xh является решением однородного уравнения.
2.3. Однородные и неоднородные системы Следствие 2.3.4. Пусть xp фиксированное решение неоднородного уравнения в (2.12). Тогда любое решение x неоднородного уравнения в (2.12) представимо в виде гле xh решение однородного уравнения в (2.12).
2.4. Однородные системы. Общая теория 2.4 Линейные однородные системы. Общая теория 2.4.1 Фундаментальная система решений Рассматривается однородная система или на I R, где оператор L определён формулой Линейное пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций на промежутке I R со значениями в Rn (соотв., Cn) обозначается C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)).
Утверждение 2.4.1. Множество решений уравнения (2.13) из C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)) является линейным подпространством соответствующего пространства.
Доказательство. Поскольку x является решением (2.13) тогда и только тогда, когда. x принадлежит ядру оператора L, а L линейный оператор, то утверждение очевидно (см. утверждение A.2.18).
Следствие 2.4.2. Пусть x1,..., xl решения системы (2.13).
Тогда суть также решение системы (2.13), где 1,..., l R (соотв., C).
2.4. Однородные системы. Общая теория Определение 2.4.3. Система векторнозначных функций xi, i = 1,..., l, на I R со значениями в Rn (соотв., Cn) называется линейно зависимой над R (соотв., C), если линейно зависима система векторов X = {x1,..., xl } линейного пространства C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)), т.е. существуют числа 1,..., l в R (соотв., C), не все одновременно нули, такие, что в Rn (соотв., Cn) для всех t I.
В противном случае система X векторнозначных функций называется линейно независимой.
Определение 2.4.4. Система X = {x1,..., xn } C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)), состоящая из n решений линейной однородной системы (2.13), называется фундаментальной, если эта система линейно независима.
Пример 2.4.5. Для системы система решений является фундаментальной.
Теорема 2.4.6. Если коэффициенты aij (t) матрицы A в (2.13), система решений существует.
Доказательство. Пусть t0 I и xk, k = 1,..., n, решение задачи Коши для (2.13) с начальным условием xk (t0) = ek, где ek k-й базисный вектор в Rn. Эти решения существуют на I (теорема 2.1.4). Поскольку система векторов ek, k = 1,..., n, линейно независима, то и система решений xk линейно независима (см. пример A.2.24).
2.4. Однородные системы. Общая теория Утверждение 2.4.7. Система X = {x1, x2,..., xl } решений в C k (I; Rn) (соотв., C k (I; Cn)) системы (2.13) будет линейно зависимой, если существует t0 I такое, что система векторов {x1 (t0), x2 (t0),..., xl (t0)} линейно зависима в Rn (соотв. Cn).
Доказательство. Пусть система векторов x1 (t0), x2 (t0)..., xl (t0) линейно зависима, т.е. существуют числа 1, 2,... l такие, что Рассмотрим векторнозначную функцию Эта функция есть решение системы (2.13) и удовлетворяет начальному условию по предположению. Но функция также является решением задачи Коши для системы (2.13) с начальным условием z(t0) = 0. Поэтому, вследствие единственности решения задачи Коши, эти два решения совпадают и, следовательно, и система функций x1, x2,..., xl линейно зависима.
Следствие 2.4.8. Если система X = {x1,..., xn } решений (2.13) является фундаментальной, то система векторов {x1 (t0),..., xn (t0)} является базисом в Rn (соотв., C n) для произвольного t0 I.
2.4. Однородные системы. Общая теория Доказательство. Действительно, из фундаментальности системы X по утверждению 2.4.7 следует линейная независимость системы векторов {x1 (t0),..., xn (t0)}, а значит она образует базис в Rn (и Cn).
Теорема 2.4.9. Пусть x1, x2,..., xn фундаментальная система решений системы (2.13), а x ее произвольное решение. Тогда существуют постоянные C1, C2,..., Cn такие, что Доказательство. Возьмем точку t0 I и рассмотрим систему векторов в Rn Эти вектора образуют базис по следствию 2.4.8 и, поэтому, существуют постоянные C1, C2,..., Cn такие, что Из утверждения 2.4.7 следует, что Определение 2.4.10. Решение вида (2.14) называется общим решением системы (2.13).
Определение 2.4.11. Пусть 2.4. Однородные системы. Общая теория фундаментальная система решений системы (2.13) в C k (I; Rn). Матрица (матричнозначная функция на I) называется фундаментальной матрицей системы (2.13).
Следствие 2.4.12. Если X фундаментальная матрица системы (2.13), то общее решение x этой системы может быть записано как Доказательство. Обозначая через e1, e2,..., en базисные вектора в Rn, Имеем Утверждение 2.4.13. Пусть X = (xij)n матричнозначная функция на I, и обозначим 2.4. Однородные системы. Общая теория Матрица X является фундаментальной для системы (2.13) тогда и только тогда, когда она не вырождена и удовлетворяет дифференциальному матричному уравнению Доказательство. Действительно, для каждого базисного вектора ek в Rn имеем Также Поэтому матричное уравнение (2.16) эквивалентно системе уравнений которая показывает, что все xk решения системы (2.13). Невыророжденность матрицы, т.е. линейная независимость ее столбцов, по определению есть фундаментальность системы решений x1,..., xn.
Утверждение 2.4.14. Пусть условия теоремы 2.4.6 выполнены и X0 произвольная матрица. Тогда задача Коши для уравнения (2.16) с начальным условием X(t0) = X 0, t0 I, имеет решение на I, и это решение единственно.
Доказательство. Обозначив столбцы функциональной матрицы X и числовой матрицы X 0, соответственно, через xk и x0, k = 1,..., n, задача Коши 2.4. Однородные системы. Общая теория эквивалентна n задачам Коши каждая из которых имеет единственное решение по теореме 2.4.6.
2.4.2 Формула Лиувилля–Якоби Лемма 2.4.15. Пусть X = (xij)n, где xij C k (I; R) для кажi,j= дой пары индексов (i, j). Тогда Доказательство. По определению A.2.28, Поэтому, 2.4. Однородные системы. Общая теория и т.д.
Утверждение 2.4.16. Пусть X матричнозначная функция на I, являющаяся решением системы (2.13), т.е.
A = (aij)n, т.е., и t0 I. Тогда имеет место формула Лиувилля–Якоби:
Доказательство. Рассмотрим 2.4. Однородные системы. Общая теория по лемме 2.4.15. Поскольку матрица X удовлетворяет (2.18), то то есть и, следовательно, используя свойства определителя (см. утверждение A.2.31), имеем 2.4. Однородные системы. Общая теория поскольку для k = i соответствующий определитель будет иметь повторяющиеся строки и, следовательно, равный нулю.
Таким образом, т.е. функция det X удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению где a(t) = tr A(t), а также начальному условию Если det X(t0) = 0, то и решение уравнения (2.20) y(t) = 0 для всех t I, поскольку, предположив, что y(t1) = 0, получим из единственности решения (2.20) с начальным условием y(t1) = 0, что y(t) = 0 для всех t I в том числе и для t = t0.
Решая уравнение (2.20) имеем:
Интегрируя от t0 до t, получаем или и, наконец, откуда и получаем формулу (2.19), используя начальное условие (2.21).
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами 2.5 Линейные системы с постоянными коэффициентами 2.5.1 Экспонента матрицы Везде ниже матрица означает квадратную матрицу. Комплексную матрицу A, рассмотрим как вектор в Cn с нормой Лемма 2.5.1. Для каждой комплексной матрицы A = (a)n имеем Доказательство. Неравенство следует непосредственно из определения нормы матрицы.
Лемма 2.5.2. Пусть A, B комплексные матрицы. Тогда Доказательство. Пусть A = (aij)n, B = (bij)n. Тогда, если C = AB, то Поэтому, используя неравенство Коши–Буняковского, имеем 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Следствие 2.5.3. Для любого k N Доказательство. Неравенство получаем по индукции.
Определение 2.5.4. Экспонентой комплексной матрицы A называется матрица где A0 = I. Здесь предел берется по-элементно, т.е., для матрицы B = (bij)n, обозначив (B)ij = bij, матричные элементы матрицы eA определяются как Пример 2.5.5. Пусть 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Найдем etA, t R. Для k N имеем единичной матрице, то Пример 2.5.6. Пусть матрица 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами имеет размерность n. Найдем Имеем при 1 k n 1, где в первой строке 1 стоит в k + 1 колонке, и Nn = 0 при k n. Таким образом, Утверждение 2.5.7. Матрица eA существует, то есть, ряд в (2.26) сходится для каждой пары индексов i, j = 1,..., n.
Доказательство. Докажем, что ряд сходится абсолютно. Для этого рассмотрим сходящийся ряд с положительными членами:
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами и сравним члены этих рядов. Для каждого k имеем, что где были использованы неравенства (2.22) и (2.24). Таким образом, второй ряд мажорирует первый, и, следовательно, рассматриваемый ряд сходится абсолютно.
Лемма 2.5.8. Пусть A, B коммутирующие матрицы, т.е. AB = BA. Тогда Ak B l = B l Ak для всех k, l N и Доказательство. Используя то, что A и B коммутируют, имеем:
т.е. Ak коммутирует с B, Но тогда и Ak будет коммутировать с B l.
Проверим (2.27) для k = 2:
рицы U имеем (b) Пусть A блочно-диагональная матрица с блоками A1, A2,..., Al, 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами (c) Если матрицы A и B коммутируют, т.е. если AB = BA, (d) Если матрицы A и B коммутируют, то (e) (eA)1 = eA.
Доказательство. (a) Для невырожденной матрицы U и k N имеем (b) Доказательство следует из того, что (c) Если AB = BA, то Ak B = BAk для любого k N по лемме 2.5.8. Поэтому, для любого m N Переходя к пределу m (как и в утверждении 2.5.7 доказывается, что ряды сходятся), получаем, что eA B = BeA, то есть матрицы 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами eA и B коммутируют, откуда следует, что и матрицы eA и eB также коммутируют.
Если матрицы A и B коммутируют, то из предыдущего следует, что B коммутирует с матрицей A1 = eA. Поэтому и eB коммутирует с A1 = eA.
(d) Из правила умножения матриц следует, что где n размерность квадратеых матриц C и D. Рассмотрим теперь (ij)-й матричный элемент матрицы eA eB, Поскольку ряды сходятся абсолютно, то порядок суммирования может быть произвольным. Таким образом, имеем:
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами (e) Поскольку матрицы A и A коммутируют, то т.е. матрица eA является матрицей обратной к eA.
Пример 2.5.10. Пусть t R. Найти etJn (), если Имеем tJn () = tI + tNn. Матрицы tI и tNn коммутируют, поэтому Матрица etNn найдена в примере 2.5.6.
Пример 2.5.11. Найти etA, если (a) Найдем Жорданову форму матрицы A. Характеристический многочлен матрицы будет Его корни 1 = 1, 2 = 5. Найдем соответствующие собственные вектора u1 = (u11, u21)t и u2 = (u12, u22)t. Для = 1 имеем Откуда можно положить u1 = (1, 1)t.
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Возьмем u2 = (1, 3)t. Таким образом, имеем где При этом, Следовательно, (b) Найдем Жорданову форму матрицы A. Характеристический многочлен матрицы будет Он имеет кратный корень 1 = 3. Найдем собственные вектора u1 = (u11, u21)t:
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Откуда получаем, что u1 = (1, 1)t. Найдем присоединенный вектор u2 = (u12, u22)t из условия то есть Берем u2 = (0, 1)t. Таким образом, где Таким образом, (c) Найдем Жорданову форму матрицы A. Характеристический многочлен матрицы будет корни которого 1 = 2 + i, 2 = 2 i. Найдем соответствующий собственный вектор u1:
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Откуда u1 = (1, 1 + i)t. Поскольку матрица A действительная и Таким образом, где Итак, etA = U et u1 = 2.5.2 Нахождение фундаментальной системы решений однородной системы с постоянными коэффициентами Лемма 2.5.12. Пусть k N и A числовая матрица. Тогда 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Доказательство. Пусть A = (aij)n. Тогда tk A = (tk aij)n и Теорема 2.5.13. Пусть A функциональная матрица X(t) = e(tt0)A, t R, суть решение матричной задачи Коши и, следовательно, является фундаментальной матрицей решений однородной системы Кроме этого, решением задачи Коши для (2.28) с начальным условием x(t0) = x0 будет Доказательство. По определению имеем и (ij)-матричный элемент будет что есть степенной ряд с радиусом сходимости R = (см. доказательство утверждения 2.5.7). Поэтому, его можно почленно дифференцировать:
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Однако, что и доказывает, что e(tt0)A является решением уравнения X = AX.
При t = t0 имеем Как следует из следствия 2.4.12, является решением (2.28) при любом векторе x0. Кроме этого, Пример 2.5.14. Найти общее решение системы Запишем систему в матричных обозначениях:
где 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Возьмем точку t0 = 0. Тогда общее решение будет или, используя выражение для etA, найденное в примере 2.5.11 (a), получаем Заменив произвольный вектор C вектором 4C, окончательно получим 2.5.3 Метод Эйлера для однородной системы Рассмотрим уравнение (2.28), постоянная матрица.
Утверждение 2.5.15. Пусть собственное значение матрицы A, а вектора h1, h2,..., hk собственный и присоединённые, соответствующие собственному значению, т.е.
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Тогда векторнозначные функции являются решением уравнения (2.28).
Доказательство. Для k = 1 имеем x1 (t) = et h1. Тогда таким образом (2.28) выполняется.
Теперь рассмотрим вектор Имеем 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами С другой стороны, xl (t) =et Сравнивая два выражения, видим, что xl = Axl.
Пример 2.5.16. Решить уравнение (2.28), если (ср. пример 2.5.14). Собственные значения и собственные вектора были найдены в примере 2.5.11 (a):
Следовательно, является фундаментальной системой решение, см. утверждение 2.5.22, а общим решением будет 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Пример 2.5.17. Решить уравнение (2.28), если Собственные значения и собственные вектора были найдены в примере 2.5.11 (b). Имеется единственное собственное число и соответствующие один собственный вектор и один присоединенный:
Таким образом, имеем два решения:
которые образуют фундаментальную систему решений утверждение 2.5.22.
Лемма 2.5.18. Пусть z C 1 (I; C) решение системы (2.28), где элементы матрицы A действительные числа. Тогда являются решениями (2.28).
Доказательство. Поскольку где x(t), y(t) Rn для всех t I, а также являются разложениями на действительную и мнимую части соответствующих векторов, то из равенства имеем утверждение леммы.
2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Утверждение 2.5.19. Пусть A = (aij), aij R для всех i, j.
Пусть C собственное число матрицы A, а h1, h2,..., hk собственный и присоединённые вектора, соответствующие.
Тогда для всех l = 1,..., k векторно-значные функции являются решениями системы (2.28).
Доказательство. Доказательство непосредственно следует из утверждения 2.5.15 и леммы 2.5.18.
Пример 2.5.20. Решить систему (2.28) для Собственными числами 1, 2 и собственными векторами y1, u (см. пример 2.5.11 (c)) будут Поэтому, решениями будут 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами Этой паре решений соответствует пара решений Лемма 2.5.21. Пусть C \ R собственное значение матрицы A = (aij)n, где aij R для всех i, j = 1,..., n, и h1,..., hk собственный и присоединённые вектора, соответствующие собственному значению. Тогда будет собственным значением матрицы A и h1,..., hk являются собственным и присоединёнными векторами, соответствующими.
Доказательство. В системе уравнений (2.29), определяющей собственное значение, соответствующий собственный и присоединённые вектора требуется взять комплексное сопряжение и использовать то, что A = A.
Утверждение 2.5.22. Пусть матрица A = (aij)n i,j=1 в системе (2.28) имеет aij R для всех i, j = 1,..., n. Пусть µ1,..., µk действительные собственные значения, 1, 1,..., l, l C \ 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами комплексные собственные значения. Пусть является полной системой собственных и присоединенных векторов матрицы A, т.е. система векторов {fij, grs, g rs } образует базис в Cn. Тогда, положив для каждого fij, i = 1,..., k, j = 1,..., pk, в (2.31) и для каждой пары grs, g rs, r = 1,..., l, s = 1,..., ql, в (2.31) имеем, что система векторнозначных функций {xij, urs, vrs } является фундаментальной системой решений системы (2.28).
Доказательство. То, что каждый вектор систем (2.32) (2.33), соответственно, является решением (2.28), следует из утверждений 2.5. и 2.5.19. Поскольку 2.5. Линейные системы с постоянными коэффициентами то линейная независимость системы решений следует из линейной независимости системы векторов (2.31).
2.6. Линейные неоднородные системы 2.6 Линейные неоднородные системы Рассмотрим линейную неоднородную систему на I R, и соответствующую однородную систему Напомним, что решение x системы (2.34) есть сумма общего решения xh однородной системы (2.35) и частного решения xp неоднородной системы (2.34), см. следствие 2.3.4, 2.6.1 Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) Лемма 2.6.1. Пусть Y (t), Z(t) функциональные матрицы (не обязательно квадратные, но такие, что их произведение определено). Тогда Доказательство. Если Y = (yij (t)), Z(t) = (zij (t)). Тогда Поэтому, 2.6. Линейные неоднородные системы Теорема 2.6.2. Пусть X(t) фундаментальная матрица решений однородной системы (2.35). Тогда есть частное решение системы (2.34).
Доказательство. Будем искать решение (2.34) в виде фундаментальная матрица для (2.35), а C: I Rn где X векторнозначная функция. Имеем поскольку X фундаментальная матрица решений однородной системы (2.35). Подставляя это выражение в (2.34), имеем Откуда и можно взять Наконец, 2.6. Линейные неоднородные системы Следствие 2.6.3. Общее решение системы (2.34) дается формулой где C Rn произвольный вектор.
Пример 2.6.4. Решить систему Запишем систему в матричной форме:
где и будем рассматривать ее на интервале I = (,). Возьмем t0 = 0. Поскольку A постоянная матрица, фундаментальная матрица решений однородного уравнения будет иметь вид причем X(0) = I. Найдем etA. Характеристический многочлен матрицы A будет Его корнями будут 1 = i, 2 = i. Собственный вектор u1 = (u11, u21)t находим из условия 2.6. Линейные неоднородные системы откуда получаем, что u1 = (1, i)t. Так как A действительная матрица, то можно взять u2 = u1 = (1, i)t. Таким образом, имеем, что где Поэтому, Следовательно, частным решением будет xp = X(t) Таким образом, общее решение будет 2.6. Линейные неоднородные системы 2.6.2 Системы со специальной правой частью Рассмотрим систему где A = (aij)n, aij R для всех i, j, C, Утверждение 2.6.5. Пусть C не является собственным числом матрицы A. Тогда существует и единственен векторнозначный многочлен степени m qm,..., q0 Cn, такой, что является частным решением уравнения (2.38).
Доказательство. Подставим решение (2.41) в (2.38):
или Подставив сюда выражения для P, Q и Q, получим 2.6. Линейные неоднородные системы Приравнивая выражения при одинаковых степенях t, получаем систему для определения qm,..., q0:
Поскольку не является собственным значением матрицы A, то матрица (A I) обратима. Поэтому, находим qm из первого уравнения, подставляем во второе, которое решаем относительно qm и т.д.
Очевидно, что если и все pm,... p0 действительны, то найденные qm,..., q0 также будут действительны.
Пример 2.6.6. Найти частное решение системы Запишем систему в векторной форме:
Характеристическим уравнением для матрицы 2.6. Линейные неоднородные системы будет которое имеет корни 1 = 1, 2 = 3.
Поскольку = 4 не является собственным значением матрицы A, то частное решение xp ищем в виде Подставляя в первое уравнение, имеем или Так как 4 не является собственным числом матрицы A, то матрица (A 4I) обратима, и Таким образом, Утверждение 2.6.7. Пусть является собственным значением матрицы A и d максимальная размерность соответствующей Жордановой клетки в разложении матрицы A. Тогда существует векторнозначный многочлен Q(t), 2.6. Линейные неоднородные системы qm+d,..., q0 Cn, такой, что является частным решением (2.38).
Доказательство. В системе (2.38) сделаем замену переменных x(t) = U y(t), где U некоторая невырожденная матрица с постоянными элементами. Получим или Выберем U такую, что матрица U 1 AU = J Жорданова нормальная форма матрицы A, т.е.
где J() Жорданова блок, соответствующий, максимальной размерности d. Если 2.6. Линейные неоднородные системы то, обозначив система (2.43) перепишется в виде системы где r, r 1,... являются векторнозначными многочленами степени не выше степени P.
будет искомым частным решением системы (2.38).
Для тех i, которые не совпадают с, частное решение yp i находится в соответствии с утверждением 2.6.5.
Поэтому, рассмотрим первое уравнение в системе, и будем искать его частное решение в виде 2.6. Линейные неоднородные системы а z1 (t),..., zd (t) искомые функции. Подставив z(t) в первое уравнение системы (2.44), получим или Записав это уравнение через координаты, имеем что эквивалентно системе уравнений:
Из последнего уравнения находим, что Подставив найденную функцию zd (t) в предпоследнее уравнение, определим zd1 и т.д.
Все многочлены rd,..., r1 имеет степени не выше m, а нахождение всех zd,..., z1 требует d интегрирований. Следовательно, z(t) 2.6. Линейные неоднородные системы является векторнозначным многочленом степени не выше m + d, поэтому и Q также представляется в виде (2.42).
Для тех i в системе (2.44), которые совпадают с, процедура нахождения частного решения такая же, с количеством интегрирований равным размерности соответствующего Жорданова блока.
Пример 2.6.8. Найти частное решение системы Запишем систему в векторной форме:
Характеристическим уравнением для матрицы будет которое имеет корни 1 = 1, 2 = 3.
Частное решение системы ищем в виде поскольку = 1 является собственным числом матрицы A и соответствующий блок в разложении Жордана имеет размерность (матрица A диагонализуется). Подставим xp в систему:
2.6. Линейные неоднородные системы Приравнивая выражения при одинаковых степенях t получаем систему векторных уравнений:
Из первого уравнения в (2.45) имеем, что q1 является собственным вектором матрица A, соответствующим собственному значению = т.е.
Подставляя найденный вектор во второе уравнение системы (2.45), имеем Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо, чтобы вектор принадлежал образу матрицы (A I), т.е. был бы кратным вектору Это означает, что для некоторого R. Рассматривая это как уравнение относительно и, получаем, что = 1, = 1.
2.6. Линейные неоднородные системы Возвращаясь к рассматриваемому уравнению, имеем откуда (решение не является единственным). Поэтому, Утверждение 2.6.9. Пусть xp1, xp2 решения линейных систем соответственно. Тогда xp = xp1 + xp2 является решением системы Доказательство. Действительно, xp = (xp1 + xp2). = xp1 + xp2 = A(t)xp1 + f1 (t) + A(t)xp2 + f2 (t) = = A(t)(xp1 + xp2) + f1 (t) + f2 (t) = A(t)xp + f1 (t) + f2 (t).
Метод комплексных амплитуд Рассмотрим систему где для j = 1, суть векторнозначные многочлены, pj k Rn.
2.6. Линейные неоднородные системы Утверждение 2.6.10. Пусть = +i в системе (2.46) является собственным значением матрицы A и d максимальная размерность соответствующего блока в разложении Жордана матрицы A (d = 0 если не является собственным числом). Тогда существуют векторнозначные многочлены где j = 1, 2 а m = max{m1, m2 }, такие, что является решением системы (2.46).
Доказательство. Поскольку и pj k Rn в (2.47), то et P1 (t) cos t + P2 (t) sin t = Обозначим = + i и P (t) = P1 (t) iP2 (t). Тогда степень t в P (t) не больше m, и система (2.46) запишется в виде Поэтому, рассмотрим систему или (Re z + i Im z) = A(Re z + i Im z) + (Re et P (t) + i Im et P (t)).
2.6. Линейные неоднородные системы Согласно утверждению 2.6.7 существует векторнозначный многочлен Q(t) степени не выше m + d такой, что zp = et Q(t) является решением этой системы. Поэтому, если Q(t) = Q1 (t) + iQ2 (t) разложение Q(t) на действительную и мнимую части, то xp = Re zp = Re e(+i)t Qt (t) + iQ2 (t) = Замечание 2.6.11. Если функцию в правой части (2.46) удобно записать в виде для некоторого векторнозначного многочлена P (t), то решение (2.46) следует искать в виде Пример 2.6.12. Найти частное решение системы Перепишем систему в векторной форме:
Здесь с собственными значениями = ±1. При этом, = i не является собственным значением матрицы A, и sin t = Im et. Поэтому рассмотрим систему 2.6. Линейные неоднородные системы Сравнивая с (2.46), имеем P1 (t) = 0, P2 (t) =, т.е. m1 = 0 и, следовательно, решение последней системы будем искать в виде Подставив в систему, имеем и, следовательно, Таким образом, Поэтому, Глава Нелинейные системы.
Теория первых интегралов 3.1. Общие сведения. Задача Коши 3.1 Общие сведения. Задача Коши Определение 3.1.1. Системой дифференциальных уравнений первого порядка размерности n в нормальной форме называется система или где функции f1 (t, x), f2 (t, x),..., fn (t, x) определены и непрерывны когда t I R, I открытое и связное подмножество Rn, т.е. f C (I U ; Rn).
Решением системы (3.1) на J, J I, называется векторнозначная функция такая, что:
2) 1, 2,..., n непрерывно дифференцируемы на J;
3) подстановка функций x1 = (t), x2 = 2 (t),..., xn = n (t) превращает (3.1) в тождество по t на J.
Множество называется интегральной кривой 3.1. Общие сведения. Задача Коши Определение 3.1.2. Задача Коши для системы (3.2) с начальным условием (t0, x0) I U заключается в нахождении решения x = (t) уравнения (3.2) на некотором промежутке J I, t0 J, удовлетворяющего начальному условию (t0) = x0. Таким образом решение задачи Коши суть решение системы Теорема 3.1.3. Пусть функции непрерывны в области I U Rn+1. Тогда задача Коши (3.3) имеет решение для произвольных t0 I, x0 U на некотором отрезке J = I, > 0, и это решение единственно.
Понятия продолжения решения системы (3.3) и непродолжаемого решения вводится таким же образом как и для уравнения (см.
определение 1.2.11). Также имеет место соответствующее обобщение теоремы 1.2.18 с заменой D на I U.
Определение 3.1.4. Если векторнозначная функции f в (3.2) не зависит от t, т.е. f: Rn U Rn, то система (3.2) называется автономной или динамической системой, и записывается как При этом, U называется фазовым пространством, а для решения на J образ (J) называется траекторией или фазовой кривой. Множество R U называется расширенным фазовым пространством, а {(t, (t)) : t J} интегральная кривая.
Пример 3.1.5. Рассмотрим автономную систему 3.1. Общие сведения. Задача Коши Для нахождения её решений, дифференцируя первое уравнение и используя второе, получим или Откуда x1 (t) = C1 cos t + C2 sin t = ляя это решение в первое уравнение, получим или Для начального условия имеем R = 1 и является решением соответствующей задачи Коши (рис. 3.1). Траектория и соответствующая интегральная кривая показаны на рис. 3.2.
3.1. Общие сведения. Задача Коши Рис. 3.2: Траектория (голубая), интегральная кривая (сиреневая).
3.1.1 Геометрическая интерпретация траекторий автономных систем Рассмотрим автономную систему (3.4):
на фазовом пространстве U, и пусть: J U решение (3.6), а = (J) её траектория.
Рассмотрим другую параметризацию траекторий, т.е. пусть J 1, и: J J некоторое произвольное непрерывно дифференR цируемое отображение, причем (J) = J и () = 0 для всех J.
Определив: J При этом 3.1. Общие сведения. Задача Коши где обозначает дифференцирование по. Это значит, что является решением системы Пример 3.1.6. Рассмотрим систему в примере 3.1.5:
которая имеет решения R > 0, и которые будем рассматривать на J = [, ]. Траектории системы показаны на рис. 3. Рассмотрим другую параметризацию этих траекторий:
3.1. Общие сведения. Задача Коши Таким образом, получаем систему траектории решений которой совпадают с траекториями системы (3.7).
Для доказательства обратного утверждения требуется дополнительный результат.
Лемма 3.1.7. Пусть U Rn область, g C(U ; R) некоторая функция, причём g(x) = 0 для всех x U. Тогда для всех x U либо g(x) > 0 либо g(x)
Доказательство. Будем доказывать от противного. Предположим, что существуют точки x1, x2 U такие, что g(x1) 0.
Тогда рассмотрим непрерывную кривую в U, соединяющую точки 3.1. Общие сведения. Задача Коши x1 и x2, т.е. отображение C(; U), удовлетворяющее (0) = x1, (1) = x2 (см. рис 3.4).
Тогда для функции g (t) = g((t)) имеем, что g: R непрерывна, причём g (0) = g(x1) 0. Это означает, что существует точка t (0, 1) такая, что g (t) = 0. Но тогда, если x = (t), то x U и g(x) = g (t) = 0, что противоречит условию.
Утверждение 3.1.8. Пусть U Rn область, f C 1 (U ; Rn) а 1 (U ; R) такая, что g(x) = 0 для всех x U. Тогда системы имеют одни и те же траектории.
Доказательство. Пусть J = и суть решение первой системы на J. Траекторией этого решения будет множество = (J).
произвольное непрерывно дифференцируемое монотонное отображение такое, что (0) = t0, (1) = t1, то есть (J) = J. Тогда = (J) = ((J)), т.е. если 3.1. Общие сведения. Задача Коши то (J) =.
Найдем условие на, чтобы: J U было решение второй системы в (3.8).
Имеем, что Поэтому, если решение второй системы в (3.8), то и условием на есть Поэтому, обозначив g (t) = g 1 (t),..., n (t), получим, что есть решение дифференциального уравнения Следовательно, откуда 3.1. Общие сведения. Задача Коши В силу леммы 3.1.7 g(x) > 0 или g(x) 0. Поскольку g(x) > 0 на U, то g (t) > 0 на J, и таким образом, фунция (t) является монотонно возрастающей и непрерывно дифференцируемой по t на J. Поэтому, последнее уравнение разрешимо относительно t, откуда и получаем искомую функцию t = ().
Рассмотрим автономную систему Для каждого x U имеем вектор f (x) Rn в точке x. Поэтому, отображение задает на U векторное поле.
Если: J U решение (3.9), то вектор (t) есть касательный вектор к траектоx рии = (J) в точке (t). Равенство в систе- f (x) (t) ме (3.9) означает, что этот касательный вектор совпадает с вектором f ((t)). Но, в силу U x кривая является траекторией решения системы (3.4) если касательный к ней вектор в каждой её точке и вектор векторного поля в этой точке коллинеарны (рис. 3.5).
Независимость траектории автономной системы от длины векторов векторного поля f позволяет записать систему (3.1) в симметричной форме 3.1. Общие сведения. Задача Коши 3.1.2 Связь между автономными и неавтономными Утверждение 3.1.9. Пусть в автономной системе на U Rn функция fn (x) = 0 для всех x U. Тогда траектории автономной системы (3.11) и интегральные кривые неавтономной совпадают.
Доказательство. Поскольку fn (x) = 0 на U, то в силу утверждения 3.1.8 траектории системы (3.11) и системы совпадают. Однако, траектории системы (3.13) и есть интегральные кривые системы (3.12).
Работы: 80 ч ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: зав. каф. химии, доцент Евдокимова В.П. Система накопления баллов по дисциплине 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Лекции Мин 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Макс 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Лабораторные мин 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 работы (4 час.) Макс 1 1 1 1...»
«II. образоваТельные исследования и пракТика обучения акторный ПроФилЬ лекЦии А. А. Полонников Основным событием современной образовательной жизни Белгос университета была и остается лекция. Возможно, именно это обстоя тельство - ее центральное положение в учебном процессе - сдела ло лекцию излюбленным объектом критики аналитиков образования и предметом реформаторских рефлексий педагогических новаторов. Лекция как магнит собирает вокруг себя весь негативный педагогичес кий дискурс, становясь...»
«Динамическое программирование, вторая лекция Иван Казменко Кружок по алгоритмам и структурам данных в СПбГДТЮ Четверг, 21 сентября 2011 года Иван Казменко (Кружок в СПбГДТЮ) Динамическое программирование 2 22.09.2011 1 / 10 Оглавление Дискретная задача о рюкзаке 1 Постановка задачи Варианты постановки задачи Пример Решения: наивный алгоритм Решения: жадные алгоритмы Решения: динамическое программирование Восстановление решения Иван Казменко (Кружок в СПбГДТЮ) Динамическое программирование 2...»
«Лекция 1 Коллоидно-химические основы технологии композиционных материалов. 1. Общие положения курса 2. Понятия о КМ. Определение матрицы и наполнителя. Классификация КМ. Тенденции в создании новых КМ 3. Классификация наполнителей 4. Характеристики наполнителей: Размер частиц Распределение частиц по размерам Удельная поверхность Форма частиц 5. Классификация наполнителей по размерам Особенности систем с размером частиц 9. Понятия максимальной концентрации наполнителя max и плотной упаковки 10....»
«Лекция 1. Предмет, содержание и задачи экономического анализа Предмет экономического анализа, объект анализа, содержание и задачи анализа. Принципы экономического анализа. Виды анализа, классификация видов экономического анализа. Каждая наука имеет свой предмет исследования, который она изучает с соответствующей целью присущими ей методами. Нет предмета исследования - нет и науки. Философия под предметом любой науки (включая и экономический анализ) понимает какуюто часть или сторону объективной...»
«Н.Ф. Дивицына СЕМЬЕВЕДЕНИЕ КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ ВУЗОВ Москва 2006 УДК 347.61/.64(470+571)(076.6) ББК 67.404.4(2Рос)я73 2 Д44 Дивицына Н. Ф. Д44 Семьеведение : [учеб. пособие]. / Н. Ф. Дивицына. - М. : Изд во ВЛАДОС ПРЕСС, 2006.- 325 с. - (Крат кий курс лекций для вузов). ISBN 5 305 00185 4. Агентство CIP РГБ. В пособии определен предмет семьеведения, проанализированы функции и типы семьи, рассмотрены вопросы, касающиеся брака, семьи и быта, совершенствования семейной политики и социальной...»
«В.В.Вавилов, А.В.Устинов МНОГОУГОЛЬНИКИ НА РЕШЕТКАХ Москва Издательство МЦНМО 2006 УДК 514.112 Работа подготовлена к печати в рамках существующей системы научных грантов ББК 22.151.0 Клуба ФМШ Колмогорова, выделяемых В12 на конкурсной основе преподавателям и выпускникам школы им. А. Н. Колмогорова Вавилов В. В., Устинов А. В. В12 Многоугольники на решетках. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с.: ил. ISBN 5-94057-246-4 Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с достаточно интенсивным...»
«1. Цель дисциплины Особое место в системе профессиональной подготовки кадров сельского хозяйства принадлежит курсу Психология и педагогика, которая вооружает студентов академии системой профессиональных педагогических и психологических знаний, умений и навыков, учит творчески применять их во взаимодействии с коллективом и отдельными сотрудниками. Преподавание курса Психология и педагогика в сельскохозяйственной академии имеет целью обеспечить необходимую психолого-педагогическую подготовку...»
«Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова Батыревский филиал Кафедра экономических дисциплин КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине Комплексный экономический анализ Составитель: кандидат сельскохозяйственных наук, доцент Баданов Геннадий Павлович Батырево - 2009 СОДЕРЖАНИЕ 1. Основы экономического анализа. Понятие об анализе хозяйственной деятельности. История становления и развития 1.2. Роль АХД...»
«Лекция 10. 1. Систематика элементарных частиц В своем развитии систематика элементарных частиц прошла несколько этапов. До недавнего времени при классификации учитывались следующие их характеристики: Бозоны и фермионы. Все частицы (включая и неэлементарные и так называемые квазичастицы) подразделяют на бозоны и фермионы. Бозоны – это частицы с нулевым или целочисленным спином (фотон, мезоны и др.). Фермионы же – это частицы с полуцелым спином (электрон, мюон, таон, нейтрино, протон, нейтрон и...»
« 2005 1 Автор Сорочан В.В. – доцент Сорочан В.В. Психология профессиональной деятельности: Конспект лекций. - М.: МИЭМП, 2005. - 70 с. Конспект лекций предназначен для студентов заочной, очно-заочной, заочной выходного дня и сокращенной форм обучения. Печатается по решению научно-методического совета Московского института экономики,...»
«ЛЕКЦИИ ПО ПЕДИАТРИИ ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ План: 1. Предмет и задачи курса 2. Значение изучения педиатрии и гигиены детей дошкольного возраста для работников ДДУ. 3. Связь предмета с медициной, биологией, педагогикой, психологией. 4. Краткий исторический очерк развития изучаемой дисциплины. Предмет – Основы педиатрии и гигиены детей дошкольного возраста - является ведущей дисциплиной теоретической и практической подготовки студентов высших учебных заведений факультета дошкольного воспитания,...»
«Лекция 11. Ускорители заряженных частиц Введение Субатомная физика отличается от всех других наук одной особенностью: в ней надо рассматривать проявление одновременно трех видов взаимодействия между физическими объектами, причем два вида проявляются только в тех случаях, когда объекты расположены очень близко друг к другу. В биологии, в химии, в атомной физике и физике твердого тела почти полностью господствует дальнодействующее электромагнитное взаимодействие. Явлениями в окружающем нас мире...»
«Ю.М. Берёзкин ОСНОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОЙ МЕТОДОЛОГИИ (начальный курс) Семинарский сезон 2010-2011 гг. Версия для печати СОДЕРЖАНИЕ Предисловие..2 Отличия методологического (деятельностного) подхода от I. научного и философского.3 Различительность как первая операция мышления.51 II. Методологический инструментарий III. формирующегося мышления.101 Рефлексия: феноменально-смысловое введение IV. и обзор исторических точек зрения.157 Механизмы методологической рефлексии. V. Понимание как...»
«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Динамика Лекция 8 ЛЕКЦИЯ 8 Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Сила и потенциальная энергия. Градиент. Геометрический смысл градиента. Одномерное движение. Границы движения. Закон сохранения импульса и энергии как следствие однородности пространства-времени. Потенциальная энергия Для консеpвативных сил, pабота котоpых не зависит от фоpмы пути, можно ввести важное понятие потенциальной энергии. Давайте какоелибо произвольное положение...»
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ, СПОРТУ И ТУРИЗМУ Филиал российского государственного университета физической культуры, спорта и туризма в г. Иркутске КАФЕДРА ЦИКЛИЧЕСКИХ ВИДОВ СПОРТА И ТУРИЗМА Палкин О.Ю. КУРС ЛЕКЦИЙ Курортология УТВЕРЖДЕНО: На заседании кафедры ЦВСиТ Протокол № 4_ от 25.11. 2010 г Зав. каф. О.В. Дулова ИРКУТСК - 2011 ВВЕДЕНИЕ Курортология- раздел медицины, изучающий основные природные лечебные факторы (климатические, ландшафтные, гидроминеральные и др.), их...»
«УПРАВЛЕНИЕ ФИНАНСЫ ОБРАЗОВАНИЕ С. А. БЕЛЯКОВ Новые лекции по экономике образования МАКС Пресс Москва 2007 УДК ББК Б Беляков C.A. Новые лекции по экономике образования. Б [Текст] ; - М.: МАКС Пресс, 2007. 424 с. (Серия: Управление. Финансы. Образование“). 1000 экз. ISBN (в пер.). В лекциях освещены состояние и основные проблемы развития экономики современного российского образования. Большое внимание уделено вопросам управления образованием, бюджетного и внебюджетного финансирования,...»
« Е.М.Пудовик А.Р.Нуриева Демография КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ КАЗАНЬ 2014 Пудовик Е.М., Нуриева А.Р. Демография: Конспект лекций/ Е.М.Пудовик, А.Р.Нуриева. – Казань: К(П)ФУ, 2014. – 59 с Аннотация В курсе рассматриваются основы теории народонаселения, теория формирования и развития демографии как самостоятельной общественной науки, методы анализа...»
«ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ БИОЭТИКА ЛЕКЦИЯ 1: МОРАЛЬ. ЭТИКА. ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ЭТИКА (2 ч.) 1.Мораль как предмет этики. 2. Особенность моральных норм как части социальных норм. 3.Профессиональная этика и ее основные теоретические концепции. Литература. 1.Ильин И.А. Общее учение о праве и государстве. – Собр.соч., т. 3. М.: Русская книга, 1994., С. 68-75. 2.Фаулер Марша. Этика и сестринское дело. М., 1997. С.12,48. 3. Гусейнов А.А. О прикладной этике вообще и эвтаназии в частности // Философские науки....»
«Эта Памятка предназначена именно для Тебя. Чтобы Ты с первых дней в МИИГАиК хоть немного знал что, как и где теперь уже и в Твоём Университете. Она содержит много полезной информации: телефоны, таблицы, службы и подразделения МИИГАиК, правовую базу, необходимую для защиты Твоих интересов. И самое главное - Опыт. Опыт студентов, таких же как и Ты, только проучившихся не один год. Читай. В Памятке точно найдется информация, нужная Тебе. Содержание 1. Обращение к первокурсникам 4 2. История...»
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет И. H. Сергеев Лекции по дифференциальным уравнениям I семестр Москва 2004 Сергеев И. H. Лекции по дифференциальным уравнениям. I семестр. - M.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 96 с. Представлен конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, читавшихся автором в осеннем семестре второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова и связанных с геометрической интерпретацией дифференциального уравнения, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе и с постоянными коэффициентами. Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные методы решения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, сопутствующие понятия и факты из смежных разделов математики. Предложены задачи для самостоятельного решения, развивающие и углубляющие прочитанный материал и, тем самым, позволяющие лучше подготовиться к экзамену. Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. c Механико-математический факультет МГУ, 2004 г. Содержание 1 2 Обыкновенное дифференциальное уравнение. . . . Некоторые соглашения и обозначения. . . . . . . . 1 Поля направлений на плоскости 1.1 Поле направлений уравнения первого порядка. . 1.2 Уравнение первообразной. . . . . . . . . . . . . . 1.3 Обобщение понятия интегральной кривой. . . . . 1.4 Уравнение в дифференциалах. . . . . . . . . . . . 1.5 Расширение уравнения первообразной. . . . . . . 1.6 Автономное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Уравнение в полных дифференциалах. . . . . . . 1.8 Уравнение с разделяющимися переменными. . . 1.9 Вопросы и задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . 2 Существование, единственность и продолжаемость решений 2.1 Задача Коши для нормальной системы. . . . . . . 2.2 Формулировка локальной теоремы существования и единственности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Сведе́ние задачи Коши к интегральному уравнению 2.4 Операторная норма, оценка конечных приращений 2.5 Принцип сжимающих отображений, равномерная метрика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Доказательство теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Варианты формулировок локальной теоремы. . . . 2.8 Теорема единственности в целом. . . . . . . . . . . 2.9 Непродолжаемые решения. . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Теорема продолжаемости. . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Лемма Гронуолла - Беллмана. . . . . . . . . . . . 2.12 Теорема продолжаемости для линейной системы. . 2.13 Ломаная Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Теорема Арцела - Асколи. . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Теорема Пеано. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16 Сведе́ние уравнения произвольного порядка к нормальной системе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17 Теоремы существования, единственности и продолжаемости для уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 9 10 12 14 16 18 18 20 20 23 24 24 25 27 29 30 31 32 35 36 37 38 40 42 44 3 2.18 Теорема продолжаемости для линейного уравнения 2.19 Вопросы и задачи для самостоятельного решения. 45 46 3 Общая теория линейных уравнений и систем 49 3.1 Линейное пространство функций. . . . . . . . . . . 49 3.2 Общее решение линейной однородной системы. . . 49 3.3 Определитель Вронского вектор-функций. . . . . . 51 3.4 Фундаментальная матрица. . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 Оператор Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6 Формула Лиувилля - Остроградского. . . . . . . . 55 3.7 Общее решение линейной неоднородной системы. . 57 3.8 Метод вариации постоянных для системы. . . . . . 58 3.9 Общее решение линейного уравнения. . . . . . . . . 59 3.10 Определитель Вронского скалярных функций. . . 62 3.11 Восстановление линейного уравнения по фундаментальной системе его решений. . . . . . . . . . . . . 63 3.12 Метод вариации постоянных для уравнения. . . . . 64 3.13 Нули решений уравнения второго порядка. . . . . 65 3.14 Теорема Штурма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.15 Оценки колеблемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.16 Краевая задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.17 Вопросы и задачи для самостоятельного решения. 72 4 Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами 4.1 Экспонента оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Связь экспоненты с линейной однородной системой 4.3 Комплексификация линейного оператора. . . . . . 4.4 Комплексификация линейной системы. . . . . . . . 4.5 Жорданова форма матрицы. . . . . . . . . . . . . . 4.6 Вычисление экспоненты матрицы. . . . . . . . . . . 4.7 Решение системы с помощью жордановой формы. 4.8 Квазимногочлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Метод неопределенных коэффициентов. . . . . . . 4.10 Линейное уравнение с постоянными коэффициентами 4.11 Характеристический многочлен линейного уравнения 4.12 Уравнение с квазимногочленом в правой части. . . 4.13 Вопросы и задачи для самостоятельного решения. 4 75 75 75 76 78 79 80 82 83 85 86 88 90 93 1. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка - это запись вида F x, y, y , . . . , y (n) = 0 (1) (пока не уточняем, из какого пространства в какое действует функция F , но предполагаем, что последняя переменная этой функции - нефиктивная). Определение 1. Любая функция y, определенная на какомлибо интервале1) I ≡ (α, β) ⊂ R, где α, β ∈ R ≡ R ∪ {±∞}, и удовлетворяющая тождеству F x, y(x), y(x) , . . . , y(x)(n) ≡ 0, x ∈ I, называется решением уравнения (1), а график Γy любого решения y называется интегральной кривой. Общее решение дифференциального уравнения (1) - это множество всех его решений, заданное неявно уравнением Φ(x, y, C1 , . . . , Cn) = 0 или, что лучше, явной формулой y = Φ(x, C1 , . . . , Cn). (если для какого-либо набора констант C1 , . . . , Cn явно или неявно задается определенная на интервале функция y = y(x), то она есть решение дифференциального уравнения, и наоборот, любое его решение задается таким способом). 2. Некоторые соглашения и обозначения Ниже одной и той же буквой2), но разного начертания, обозначены и переменные y, y , . . . , и функции y(·), y (·), . . . . Значками и отмечены, соответственно, начало и конец доказательства. Нумерация всех утверждений (лемм, теорем и следствий) - сплошная, определений - тоже. 1) Т. е. на открытом связном подмножестве I числовой прямой R (в дальнейшем буква I, как правило, будет обозначать интервал). 2) Это оправдано сходством самих объектов. 5 1. Поля направлений на плоскости 1.1. Поле направлений уравнения первого порядка y = f (x, y), (x, y) ∈ G ⊂ R2 , f: G → R, (2) разрешенного относительно производной, представляет собой естественную геометрическую интерпретацию этого уравнения. Определение 2. Поле направлений: - это отображение l, ставящее в соответствие каждой точке (x, y) ∈ G прямую l(x, y) ⊂ R2 , проходящую через эту точку; - уравнения (2) - это поле l = lf , определяемое правилом: для каждой точки (x, y) ∈ G угловой коэффициент tg ϕ(x, y) прямой lf (x, y) равен f (x, y). Здесь под ϕ(x, y) ∈ (−π/2; π/2] понимается угол, образуемый прямой lf (x, y) с положительным направлением оси абсцисс, которая называется горизонталью. Заметим, что поле lf ни в какой точке (x, y) ∈ G не принимает вертикального направления, так как равенство f (x, y) = tg(π/2) невозможно. Все прямые l(x, y), соответствующие точкам (x, y) ∈ G, можно для наглядности параллельно перенести так, чтобы они проходили через какую-либо одну точку, например, через начало координат. Тогда поле направлений превратится в отображение l: G → P, где P - проективная прямая, т. е. пространство1) всех прямых в векторном пространстве R2 с метрикой, задаваемой углом между прямыми. Определение 3. График Γy функции y касается: - поля направлений l в точке (x, y), если y = y(x) и производная y (x) равна угловому коэффициенту прямой l(x, y); - поля направлений l, если он касается этого поля в каждой точке (x, y) ∈ Γy . Теорема 1. Функция y - решение уравнения (2) тогда и только тогда, когда ее график Γy касается поля направлений lf . 1) Топологическое, поэтому в дальнейшем можно будет говорить о непрерывности поля направлений. 6 Функция y - решение уравнения (2) тогда и только тогда, когда y (x) = f (x, y(x)), x ∈ D(y), ⇐⇒ y (x) = f (x, y), (x, y) ∈ Γy , ⇐⇒ y (x) = tg ϕ(x, y), (x, y) ∈ Γy (определение 2), т. е. когда график Γy касается поля направлений lf (определение 3). 1.2. Уравнение первообразной имеет вид y = f (x), f: I → R, (3) и задано в области G = I × R. I. В курсе математического анализа доказана следующая Лемма 2. Если f ∈ C(I), то: 1) функция x y(x) = f (ξ) dξ, x ∈ I, x0 явлется решением уравнения (3); 2) для любого C ∈ R функция z = y + C - также решение этого уравнения; 3) любое решение z уравнения (3) удовлетворяет при некотором C ∈ R равенству z = y|D(z) + C. Из леммы 2 получается Теорема 3. Если f ∈ C(I), то для всякого фиксированного x0 ∈ I общее решение уравнения (3) задается формулой x f (ξ) dξ + C. (4) y= x0 1. При каждом C ∈ R эта формула задает решение, определенное на I, или его сужение на любой меньший интервал. 2. Любое решение y уравнения (3) будет задаваться такой формулой, даже если x0 ∈ / D(y). 7 II. Как видно из теоремы 3, дифференциальное уравнение может иметь много решений, а потому не праздным является вопрос об их взаимосвязи. Определение 4. Решение z называется продолжением решения y, если D(z) ⊃ D(y) и z|D(y) = y. Решение y называется непродолжаемым, если не существует его продолжений, отличных от него самого. Следствие 4. Если f ∈ C(I), то все непродолжаемые решения уравнения (3) задаются формулой (4), где x ∈ I. 1. Все решения, определенные на интервале I, - непродолжаемые, поскольку ни одно из них на больший интервал доопределить невозможно, так как D(f) ⊂ I. 2. Других непродолжаемых решений нет, так как любое решение, определенное на меньшем интервале J ⊂ I, также задается формулой (4) и непосредственно по ней продолжается на весь интервал I. Определение 5. Точка (x, y) ∈ G для уравнения (2), или для его поля направлений, называется точкой: - существования, если (x, y) ∈ Γ хотя бы для одной интегральной кривой Γ; - единственности, если для любых интегральных кривых Γ1 , Γ2 выполнено условие loc Γ1 = Γ2 в точке (x, y), как только (x, y) ∈ Γ1 ∩ Γ2 . Для кривых, функций и т. п. равенство в какой-либо точке, loc обозначаемое символом = , означает не совпадение в одной лишь этой точке, но и не полное совпадение, а совпадение локальное, т. е. хотя бы в одной достаточно малой окрестности этой точки. Следствие 5. Если f ∈ C(I), то для уравнения (3) все точки области G - точки существования и единственности. Через любую точку (x0 , y0) ∈ G проходит график единственного2) решения y, так как любое решение задается формулой (4), причем 2) С 8 точностью до выбора области определения. y(x0) = y0 ⇐⇒ x0 f (ξ) dξ + C = y0 ⇐⇒ C = y0 . x0 1.3. Обобщение понятия интегральной кривой на случай поля направлений с вертикалями дает следующее Определение 6. Кривая Γ: - касается поля направлений l в точке (x0 , y0) ∈ Γ, если существует хотя бы одна из следующих функций: 1) y(x), для которой loc Γ = Γy в точке (x0 , y0), y (x0) = tg ϕ(x0 , y0) (см. определение 2); 2) x(y), для которой3) loc Γ = Γx в точке (x0 , y0), x (y0) = ctg ϕ(x0 , y0); - касается поля направлений l, или, что то же, Γ - интегральная кривая (поля l), если кривая Γ касается поля l в каждой точке (x0 , y0) ∈ Γ. Условие 1) определения 6 осуществимо, только если прямая l(x0 , y0) не вертикальна, а условие 2) - если она не горизонтальна4) . Если же эта прямая - наклонная (т. е. ни вертикальна, ни горизонтальна), то условия 1) и 2), вообще говоря, не эквивалентны, поскольку кривая может удовлетворять одному из них, не удовлетворяя при этом другому. Однако подобный казус невозможен для интегральной кривой при условии непрерывности поля направлений. Иными словами, справедлива Лемма 6. Если Γ - интегральная кривая поля направлений l ∈ C(G) и в некоторой точке (x0 , y0) ∈ G прямая l(x0 , y0) - наклонная, то в этой точке выполнены оба условия 1) и 2) определения 6. 3) В отличие от определения 2, здесь уже возможно и равенство ϕ = π/2, а ctg ϕ(x0 , y0) - обратный угловой коэффициент прямой l(x0 , y0). 4) В противном случае функция, график которой локально совпадает с кривой Γ, может просто не найтись, а если и найдется, то ее производная в точке x0 или, соответственно, в точке y0 не будет определена. 9 1. Если для интегральной кривой Γ в точке (x0 , y0) с наклонным направлением l(x0 , y0) поля выполнено, скажем, условие 1), то в этой точке имеем loc Γ = Γy и y (x0) = tg ϕ(x0 , y0) = 0. 2. Пусть, для определенности, tg ϕ(x0 , y0) > 0. Тогда, в силу условия l ∈ C(G), в целой окрестности точки (x0 , y0) имеем и tg ϕ(x, y) > 0, и ctg ϕ(x, y) > 0. Следовательно, в этой окрестности для каждой точки (x, y) кривой Γ имеем y (x) > 0 (если в какой-либо точке кривой только x (y) > 0, то в силу существования непрерывной обратной к x функции y существует и ее производная −1 Δy Δx 1 (x) = lim (y) > 0, = y (x) = lim Δx→0 Δx Δy→0 Δy x (y) так как Δx → 0 ⇐⇒ Δy → 0). 3. Поэтому функция y строго монотонна5) на некотором интервале I, содержащем x0 , а значит, имеет обратную x = y−1 , дифференцируемую в точке y0 и удовлетворяющую условиям x (y0) = 1 loc loc = ctg ϕ(x0 , y0) и Γx = Γy = Γ tg ϕ(x0 , y0) (в точке (x0 , y0) ∈ Γx), что и означает выполнение условия 2). 1.4. Уравнение в дифференциалах I. Пусть на открытых множествах Gf и Gg заданы соответственно уравнения y = f (x, y), (x, y) ∈ Gf , и x = g(y, x), (x, y) ∈ Gg , (5) удовлетворяющие условию f (x, y) · g(y, x) = 1, (x, y) ∈ Gf,g ≡ Gf ∩ Gg . Определение 7. Поле направлений в области G = Gf ∪ Gg , заданное формулой l (x, y), (x, y) ∈ Gf , lf,g (x, y) = f lg (y, x), (x, y) ∈ Gg , 5) В 10 данном случае даже возрастает. назовем обобщенным, задаваемым парой сопряженных уравнений (5). Поскольку во втором уравнении по сравнению с первым буквы x и y поменялись ролями, согласно определению 2, поле направлений lg строится по следующему правилу: каждой точке (x, y) ∈ Gg соответствует прямая lg (y, x) с обратным угловым коэффициентом ctg ϕ, равным g(y, x). Пара уравнений (5) может задавать действительно более широкое поле направлений, чем одно уравнение (2), за счет точек (x, y) ∈ Gg \ Gf , в которых направление может оказаться уже и вертикальным. Однако корректность определения 7 нуждается в обосновании, так как согласно ему в точках6) (x, y) ∈ Gf,g заданы сразу два, формально разных, значения поля направлений. Лемма 7. Определение 7 корректно, причем если f ∈ C(Gf) и g ∈ C(Gg), то lf,g ∈ C(G). 1. В любой точке (x, y) ∈ Gf,g оба уравнения задают одну и ту же наклонную прямую с угловым коэффициентом7) f (x, y). 2. В любой точке (x, y) ∈ Gf ∪Gg , в силу открытости множеств Gf и Gg , поле lf,g локально совпадает либо с lf , либо с lg , а потому непрерывно. II. Для функций M, N ∈ C(G) рассмотрим пару сопряженных уравнений y = M (x, y) , N (x, y) x = N (x, y) , M (x, y) (6) определенных соответственно на множествах Gf = {(x, y) ∈ G | N (x, y) = 0}, Gg = {(x, y) ∈ G | M (x, y) = 0}. Эта пара, в соответствии с определением 7, задает обобщенное поле направлений в области G = G \ {(x, y)| N (x, y) = M (x, y) = 0}. (7) 6) В которых, кстати, направление может быть только наклонным. уравнение задает обратный угловой коэффициент g(y, x), но зато относительно другой оси, поэтому прямая - та же. 7) Второе 11 Определение 8. Пара сопряженных уравнений (6) в области (7), записанная в симметричной форме8) N (x, y) dy = M (x, y) dx, (x, y) ∈ G, называется уравнением в дифференциалах. 1.5. Расширение уравнения первообразной (3) в точки вида (α, y), y ∈ R, при условии, что функция f , стоящая в правой части уравнения, имеет в точке x = α особенность типа полюс, происходит следующим образом: во-первых, предполагается выполнение условий f ∈ C(I \ {α}), lim x→α 1 = 0, f (x) (8) последнее из которых равносильно следующему lim |f (x)| = ∞ ⇐⇒ x→α lim f (x) = +∞ или −∞ x→α−0 lim f (x) = +∞ или −∞ (9) x→α+0 (поскольку если в достаточно малой проколотой окрестности точки α функция f отлична от нуля и непрерывна, то она и слева, и справа от α локально знакоопределена, а значит, ее модуль раскрывается с фиксированным знаком); во-вторых, берется уравнение 1/f (x), x ∈ I \ {α}, f (x) = 0, x = g(x) ≡ 0, x = α, которое (см. определение 7), будучи сопряженным к уравнению (3), в паре с ним задает в области G = I × R обобщенное поле направлений с вертикальным значением в точках, где x = α. Согласно теореме 3, области G1 = {(x, y) ∈ G| x < α} и G2 = {(x, y) ∈ G| x > α} 8) Эта форма записи оправдана уже тем, что с помощью операций деления она может быть превращена в любое из двух уравнений (6). 12 сплошь заполнены интегральными кривыми9) , которые задаются формулами x x y= f (ξ) dξ + C1 , x1 < α, и y = f (ξ) dξ + C2 , x2 > α, x1 x2 Еще одна обобщенная интегральная кривая10) задается равенством x = α. Поэтому для описания всех интегральных кривых достаточно выяснить, как они могут склеиваться, т. е. в каких точках области G может нарушаться локальная единственность. Теорема 8. Все точки множества (I \ {α}) × R - точки единственности обобщенного поля направлений для уравнения (3) при условиях (8), а точки прямой x = α являются точками единственности тогда и только тогда (а тогда все сразу), когда расходятся оба интеграла α±0 f (ξ) dξ. 1. Все точки множества G1 ∪G2 - точки локальной единственности в силу следствия 5. 2. Рассмотрим точку (x0 , y0), где x0 = α. α−0 A. Если несобственный интеграл x1 f (ξ) dξ (x1 < α) равен какому-то числу, скажем y1 , то для некоторого решения y из области G1 имеем α−0 f (ξ) dξ + C1 = y1 + C1 = y0 , lim y(x) = x→α−0 x1 если C1 = y0 − y1 . Поэтому через точку (x0 , y0) проходит еще одна интегральная кривая, которая сначала совпадает с решением y, а затем идет по прямой11) x = α. B. Интегральную кривую в п. A пришлось доопределить в точку (x0 , y0) по непрерывности. Докажем, что в предельной точке кривая имеет вертикальную касательную12), т. е. подходит к 9) В данном случае даже обычными, но это не мешает им называться обобщенными. 10) Действительно обобщенная, причем прямая. 11) Точнее, по одному из двух ее лучей с началом в точке (x , y), в зависи0 0 мости от направления, в котором кривая подходит к прямой. 12) Хотя и одностороннюю. 13 этой точке либо только снизу, либо только сверху, а направление касательной стремится к вертикальному: x α−0 f (ξ) dξ Δy y(x) − y0 x1 f (ξ) dξ − x1 (x0) = = Δx x−α x−α ⎧ M(α−x) α−0 lim f (x) = ∞, f (ξ) dξ ⎨ α−x = M, x→α−0 = x ⎩ −M(α−x) = −M, α−x lim f (x) = −∞, α−x x→α−0 где M > 0 - наперед заданное число, а значения x достаточно близки к α (чтобы выполнялись условия sgn f (x) = const и |f (x)| M , откуда либо f (x) M , либо f (x) −M ; см. условие (9)), поэтому Δy (x0) = +∞ или −∞. Δx α−0 C. Если интеграл x1 f (ξ) dξ расходится, то интегральные кривые слева от прямой x = α приближаются к ней лишь асимптотически при y → ∞ и не имеют общих предельных точек с этой прямой. Поэтому слева от нее единственность не нарушается. D. Аналогично изучается поведение кривых при x → α + 0. Возврат от обобщенного уравнения к исходному происходит путем забывания добавленных точек прямой x = α. lim Δx→−0 1.6. Автономное уравнение имеет вид y = g(y), g: I → R, (10) и задано в области G = R × I. I. Будем предполагать, что нули функции g изолированы: скажем, для простоты, их просто нет или нуль всего один. Из доказанных выше теорем 3 и 8 вытекает Теорема 9. Пусть g ∈ C(I), тогда для уравнения (10) справедливы утверждения: 1) если функция g не обращается в нуль на интервале I, то все точки области G - точки существования и единственности, причем для любого фиксированного y0 ∈ I общее решение 14 неявно задается уравнением x= y y0 dη + C; g(η) (11) 2) если функция g обнуляется на интервале I ровно в одной точке α ∈ I, то в каждой из областей G1 = {(x, y) ∈ G| y < α} и G2 = {(x, y) ∈ G| y > α} справедливы выводы предыдущего пункта настоящей теоремы, а прямая y = α - интегральная кривая, причем ее точки - точки единственности тогда и только тогда (а тогда все сразу), когда расходятся оба интеграла α±0 dη . (12) g(η) 1. Если в уравнении (10) поменять местами буквы x и y, то оно принимает вид x = g(x) и, являясь сопряженным к уравнению y = f (x) ≡ 1/g(x), (13) является результатом доопределения поля направлений уравнения (13) вертикалями, т. е. в новых обозначениях справедливо равенство lg = lf,g . Действительно, во втором из сформулированных в теореме случаев имеют место соотношения 1 1 1/f (x), x = α, = lim = lim g(x) = 0, g(x) = lim x→α f (x) x→α 1/g(x) x→α 0, x = α. 2. Уравнение (13) является уравнением первообразной. Применив к нему все выводы теорем 3, 8 и сделав обратную перестановку букв x и y местами, мы получим утверждение доказываемой теоремы. 3. Остается заметить только, что на любом интервале, где функция f не обнуляется, она имеет фиксированный знак, следовательно, задаваемая формулой (11) функция x - на таком интервале монотонна, а значит, обратима. 15 II. Один из наиболее перспективных13) способов обеспечения локальной единственности решений уравнения (10) состоит в требовании самой обыкновенной дифференцируемости его правой части, как показывает Следствие 10. Если в условиях случая 2) теоремы 9 существует производная f (α), то все точки прямой y = α - точки единственности. Докажем, что при сделанных предположениях интегралы (12) расходятся. Действительно, например, при y → α − 0 имеем |f (y)| |f (α)| + |f (α)(y − α)| + |o(y − α)| L(α − y) где L ≡ |f (α)|+ 1, а значения α− y > 0 не превышают некоторого h0 > 0, и коль скоро функция14) f (y) имеет фиксированный знак, при y ∈ (y0 ; α) ≡ (α − h0 ; α) получаем y y α−h 1 h0 dζ dη dη dη = → ∞, = L h ζ y0 f (η) y0 |f (η)| α−h0 L(α − η) если α − y ≡ h → +0. 1.7. Уравнение в полных дифференциалах - это такое уравнение в дифференциалах (см. определение 8) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, M, N: G → R, (14) для которого существует функция Φ: G → R, называемая потенциалом и удовлетворяющая равенствам Φx (x, y) = M (x, y), Φy (x, y) = N (x, y), (x, y) ∈ G. (15) Чтобы уравнение (14), при условии M, N ∈ C1 (G), было уравнением в полных дифференциалах, необходимо15) выполнение равенства (16) My (x, y) = Nx (x, y), (x, y) ∈ G: 13) См. теорему 14 ниже. и не принимающая нулевых значений при y < α. 15) А в случае односвязности области G - и достаточно, что доказано в курсе математического анализа. 14) Непрерывная 16 действительно, при этом условии имеем =⇒ My (x, y) Φx , Φy ∈ C1 (G) =⇒ Φ ∈ C2 (G) = Φxy (x, y) = Φyx (x, y) = Nx (x, y), (x, y) ∈ G. Теорема 11. Если уравнение (14) - уравнение в полных дифференциалах с коэффициентами M, N ∈ C(G) или, что то же, с потенциалом Φ ∈ C1 (G), то все точки области G - точки существования и единственности, а общее решение задается уравнением Φ(x, y) = C. (17) 1. Пусть, например, N (x0 , y0) = 0, тогда Φy (x0 , y0) = 0 и по теореме о неявной функции уравнение (17) с константой C = Φ(x0 , y0) в достаточно малой окрестности точки (x0 , y0) задает дифференцируемую функцию y = y(x), определенную в некоторой окрестности точки x0 , локально единственную и удовлетворяющую условию (18) y(x0) = y0 . 2. Из неравенства N (x0 , y0) = 0 следует (определение 8), что в достаточно малой окрестности точки (x0 , y0) уравнение (14) записывается в виде M (x, y) . (19) y = − N (x, y) 3. Но для функции y = y(x), удовлетворяющей условию (18), уравнения (17) и (19) эквивалентны (см. равенства (15)): Φ(x, y(x)) = Φ(x0 , y0) ⇐⇒ ⇐⇒ Φx (x, y(x)) + Φy (x, y(x))y (x) d dx Φ(x, y(x)) =0 = 0 ⇐⇒ y (x) = − M(x,y(x)) N (x,y(x)) , поэтому и уравнение (14) также задает локально единственную кривую, проходящую через точку (x0 , y0), - а именно, график упомянутой выше функции y. 17 1.8. Уравнение с разделяющимися переменными записывается в виде P (x)Q(y) dy = R(x)S(y) dx, P, R: I → R, Q, S: J → R, (20) и задано в области G = (I × J) \ {(x, y)| P (x)Q(y) = R(x)S(y) = 0}. (21) Из теоремы 11 вытекает Теорема 12. Если P, R ∈ C(I) и Q, S ∈ C(J), а функции P и S не имеют нулей, то для уравнения (20) любая фиксированная точка (x0 , y0) ∈ G - точка существования и единственности, а общее решение задается уравнением y x Q(η) R(ξ) dη = dξ + C. (22) S(η) P (ξ) y0 x0 Действительно, в области G уравнение где M (x) = M (x) dx + N (y) dy = 0, R(x) , P (x) N (y) = − Q(y) , S(y) равносильное исходному, есть уравнение в полных дифференциалах с потенциалом x y Φ(x, y) = M (ξ) dξ + N (η) dη. x0 y0 Поэтому к нему непосредственно применима теорема 11. 1.9. Вопросы и задачи для самостоятельного решения I. Задает ли формула x y= f (ξ) dξ + C2 C1 общее решение уравнения (3) первообразной? Каким недостатком обладает эта формула? 18 II. Является ли (в случае непостоянной непрерывной на интервале функции f) уравнением в полных дифференциалах: - уравнение первообразной, записанное в форме dy = f (x) dx; - автономное уравнение, записанное в форме dy = f (y) dx? III. Получить формулу для общего решения уравнения (14) в полных дифференциалах в области G = I × J при выполнении условия (16). IV. Может ли в случае уравнения (14) в полных дифференциалах множество точек (17) быть не связным, а потому представлять собой не одну, а несколько интегральных кривых? Может ли число таких кривых не быть одинаковым для разных значений C? V. Какие преобразования плоскости не меняют поле направлений любого: - уравнения первообразной; - автономного уравнения; - однородного уравнения (см. задачу X ниже)? VI. Привести пример кривой, касающейся в точке (x0 , y0) наклонной прямой l(x0 , y0) поля направлений, удовлетворяя условию 1), но не 2) определения 6. VII. Для уравнения y = |y|a (или y = |y|a · sgn y) в зависимости от значения a ∈ R исследовать на существование и единственность точки (x, y) ∈ R2 (доопределив при a 0 по непрерывности обобщенное поле направлений в точки, где y = 0.) VIII. Какое наибольшее количество не равных локально друг другу интегральных кривых может проходить через точку прямой x = α в формулировке теоремы 8, если: - расходится один из указанных в ней интегралов; - расходятся оба указанных в ней интеграла? IX. Доказать утверждение: если P, R ∈ C(I) и Q, S ∈ C(J), а функция P имеет изолированный нуль α ∈ I, то в области (21) 19 любой интервал прямой x = α - интегральная кривая, причем ее точка (x0 , y0), удовлетворяюшая условию Q(y0) = 0, (23) - точка единственности тогда и только тогда, когда расходятся оба интеграла α±0 R(ξ) dξ. P (ξ) Существенно ли в этом утверждении условие (23)? X. Доказать, что если f ∈ C(I), то замена переменной y на t = y/x приводит так называемое однородное уравнение y = f (y/x) , G = {(x, y)| x > 0, y/x ∈ I} , к уравнению с разделяющимися переменными, причем справедливы утверждения: a) если функция f не обращается в нуль на интервале I, то все точки области G - точки существования и единственности; b) если функция g обнуляется на интервале I ровно в одной точке α ∈ I, то в каждой из областей G1 = {(x, y) ∈ G| y/x < α} и G2 = {(x, y) ∈ G| y/x > α} справедливы выводы предыдущего пункта настоящей теоремы, а луч y = α - интегральная кривая, причем ее точки - точки единственности тогда и только тогда, когда расходятся оба интеграла α±0 dη . f (η) − η 2. Существование, единственность и продолжаемость решений 2.1. Задача Коши для нормальной системы I. Задача Коши (или начальная задача) ставится так: по за20 данной правой части f: G → Rn , где G ⊂ R1+n ≡ R × Rn , и начальным данным (или начальной точке) (t0 , x0) ∈ G найти решение уравнения (или нормальной (n × n)-системы) (24) ẋ = f (t, x), удовлетворяющее начальному условию (25) x(t0) = x0 . Решение задачи Коши - это функция x: I → R , удовлетворяющая условиям (24) - (25) при подстановке x = x(t): n ẋ(t) ≡ f (t, x(t)), x(t0) = x0 , (t0 ∈ I). (26) Переменная x ∈ Rn обычно называется фазовой, а переменная t ∈ R - временем. Если в Rn фиксирован базис, то задача Коши записывается покоординатно в виде системы ⎧ ⎧ ⎨ x1 (t0) = x10 ⎨ ẋ1 = f 1 (t, x1 , . . . , xn) ··· ··· ⎩ n ⎩ n x (t0) = xn0 . ẋ = f n (t, x1 , . . . , xn), II. Производная вектор-функции x: I → Rn в точке t ∈ I может пониматься двояко: либо в абстрактном линейном векторном пространстве x(t + h) − x(t) , ẋ(t) = lim h→0 h либо в координатном линейном пространстве ⎛ ⎞ ẋ1 (t) ⎜ ⎟ ẋ(t) = ⎝ ... ⎠ . ẋn (t) Оба эти понятия приводят к одинаковому результату из-за естественного изоморфизма1) между указанными линейными топологическими пространствами, т. е. изоморфизма, сохраняющего 1) Определяемого базисом в Rn . 21 не только линейные операции, но и предельный переход, возможный благодаря имеющейся в пространстве системе открытых множеств, которая называется его топологией. В данном случае в обоих рассматриваемых линейных пространствах топология задается с помощью нормы2) : открытым считается любое множество, в котором каждая точка содержится с целой окрестностью - шариком достаточно малого радиуса с центром в этой точке. И хотя саму норму изоморфизм линейных пространств может и не сохранять, но топологию обязательно сохраняет. Просто, в конечномерном линейном пространстве любые две нормы задают одну и ту же топологию, или эквивалентны, что и доказывает Лемма 13. Для любых двух норм · 1 и · 2 в Rn существует константа c, удовлетворяющая оценке x1 cx2 , x ∈ Rn . Действительно, пусть в пространстве Rn , на время доказательства - уже евклидовом (т. е. наделенном скалярным произведением), фиксирован некоторый ортонормированный базис e1 , . . . , en и обозначено |x| = |x1 e1 + . . . + xn en | = x21 + . . . + x2n = (x, x), тогда имеем x1 = где величина x2 · x1 x2 x2 · sup |y|=1 0 cx2 , y1 y2 = cx2 , x = 0, x = 0, y1 |y|=1 y2 c ≡ sup - конечна, так как функция, стоящая под знаком точной верхней грани по компакту {y| |y| = 1} ⊂ Rn , непрерывна в смысле топологии, задаваемой евклидовой нормой | · |, поскольку любая норма · непрерывна в том же смысле в 2) Существуют 22 и другие способы задания топологии. силу оценки x = x1 e1 + . . . + xn en |x1 | e1 + . . . + |xn | en C|x|, где C ≡ e1 + . . . + en . 2.2. Формулировка локальной теоремы существования и единственности Следующие вопросы о решении задачи Коши ждут своего ответа: какие свойства функции f могут гарантировать - существование, хотя бы локальное, решения; - единственность, хотя бы локальную, решения; - продолжаемость решения неограниченно вправо и влево по оси времени; - продолжаемость решения до границы области G; - единственность продолжения решения; - непрерывную зависимость решения от начальных данных и от правой части уравнения; - дифференцируемость решения по начальным данным или по параметру. Последние вопросы будут рассматриваться в главе 5, а на некоторые из перечисленных вопросов в частных случаях (при n = 1) ранее мы получали ответы (теоремы 3, 8, 9, 11 и 12). Более общий, а потому менее сильный результат представляет следующая Теорема 14. Если f, fx ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , x0) ∈ G: 1) в некоторой окрестности I точки t0 существует решение x: I → Rn задачи Коши (24) - (25); 2) любое другое решение этой задачи локально совпадает с решением x. Последнее условие теоремы означает, что для любого решения y этой задачи существует интервал J ⊂ I, содержащий точку t0 , для которого выполнено равенство y|J = x|J . (27) Доказательству теоремы предпошлем ряд вспомогательных понятий и фактов. 23 2.3. Сведе́ние задачи Коши к интегральному уравнению Лемма 15. Если f ∈ C(G), то функция x: I → Rn - решение задачи Коши (24) - (25) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению t x(t) = x0 + f (τ, x(τ)) dτ, t ∈ I. (28) t0 1. Если x - решение задачи Коши, то заменив t на τ в тождестве (26) и проинтегрировав его по τ от t0 до некоторого t ∈ I, получаем t x(t) − x(t0) = f (τ, x(τ)) dτ, t0 а с учетом начального условия (26) имеем равенство (28). 2. Если функция x удовлетворяет равенству (28), то продифференцировав его по t и, соответственно, положив в нем t = t0 , получим для этой функции оба условия (26): дифференцировать равенство (28) можно, так как его правая часть непрерывна по t, следовательно, левая - тоже3) , откуда подынтегральная функция f (τ, x(τ)) непрерывна по τ (поскольку функции f и x непрерывны), а значит, правая часть дифференцируема по t и, стало быть, левая - тоже. 2.4. Операторная норма, оценка конечных приращений I. В евклидовом пространстве Rn фиксируем евклидову норму | · |, а в пространстве End Rn - операторную норму · , задаваемую формулой |Ax| = sup |Ax| < ∞, |x|=0 |x| |x|=1 A = sup A ∈ End Rn , последнее неравенство выполнено, поскольку для любого ортонормированного базиса e1 , . . . , en ⊂ Rn имеем |Ax| |Ax1 e1 | + . . . + |Axn en | = |x1 | |Ae1 | + . . . + |xn | |Aen | C|x|, 3) Впрочем, ее непрерывность можно было предположить с самого начала, уже в формулировке леммы. 24 где C = |Ae1 | + . . . + |Aen |. Тогда справедлива оценка |Ax| A · |x|, поскольку |Ax| = |Ax| · |x| A · |x|, 0 A · |x|, |x| x = 0, x = 0, а операторная норма - банахова, т. е. A · |Bx| B · |x| A · sup = A · B. AB sup |x| |x| |x|=0 |x|=0 II. В формулировке теоремы 14 участвует производная g (в точке x, с параметром t) конечномерной функции конечномерной переменной g: Rn → Rn , которая определяется как линейный оператор g (x) ∈ End Rn , удовлетворяющий условию g(x + h) − g(x) = g (x)h + o(|h|), h → 0. Следующее утверждение обобщает формулу Лагранжа конечных приращений на случай такой функции. Лемма 16. Если g(x) ∈ C1 (B), где B ⊂ Rn - выпуклый компакт, то |g(y) − g(x)| sup g (ξ) · |y − x|, x, y ∈ B. ξ∈U Действительно, если x ∈ B и y = (x + Δx) ∈ B, то для любого θ ∈ имеем (x + θΔx) ∈ B и, обозначив ϕ(θ) = g(x + θΔx), получаем 1 |g(x + Δx) − g(x)| = |ϕ(1) − ϕ(0)| = 0 g (x + θΔx)Δx dθ 1 0 g (x + θΔx) |Δx| dθ sup g (ξ) |Δx|. ξ∈U 2.5. Принцип сжимающих отображений, равномерная метрика I. Напомним, что последовательность xn (n ∈ N) в пространстве с метрикой ρ(·, ·) называется фундаментальной, если выполнено условие lim ρ(xm , xn) = 0, m>n→∞ 25 а метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Любое замкнутое подпространство полного пространства - также полное. Определение 9. Пусть X - метрическое пространство, тогда отображение A: X → X называется сжимающим, если существует число q ∈ (0; 1), для которого справедлива оценка ρ(Ay, Ax) q ρ(y, x), x, y ∈ X, а точка x ∈ X называется неподвижной, если Ax = x. Лемма 17. Любое сжимающее отображение полного метрического пространства имеет единственную неподвижную точку. 1. Единственность неподвижной точки докажем от противного: если бы существовали две разные неподвижные точки x, y ∈ X, то получилось бы противоречие ρ(x, y) > 0 и ρ(x, y) = ρ(Ax, Ay) q ρ(x, y) < ρ(x, y). 2. Для нахождения неподвижной точки возьмем произвольную точку x0 ∈ X и образуем последовательность xn = An x0 , n ∈ N. Она - фундаментальна, так как ρ(xn , xn+1) q n ρ(x0 , x1) =⇒ ρ(xn , xm) ρ(xn , xn+1) + ρ(xn+1 , xn+2) + . . . + ρ(xm−1 , xm) 0 ,x1) ρ(x0 , x1)(q n + q n+1 + . . . + q m−1) q n ρ(x1−q ε при достаточно больших значениях n < m. Поэтому в пространстве4) X существует предельная точка x (xn → x при n → ∞), которая является неподвижной, для доказательства чего достаточно перейти в равенстве Axn = xn+1 к пределу при n → ∞, получив равенство Ax = x (соотношение Axn → Ax вытекает из оценки ρ(Axn , Ax) q ρ(xn , x) → 0). II. Для заданного отрезка K ⊂ R через C(K) обозначаем множество непрерывных функций x: K → Rn с равномерной нормой (метрикой) x ≡ sup |x(t)| ρ(x, y) ≡ x − y . t∈K 4) Полном. 26 Из курса математического анализа известно, что C(K) - полное нормированное (метрическое) пространство. 2.6. Доказательство теоремы 14 фактически сводится к следующему: по заданной области G, функции f и точке (t0 , x0) требуется построить упомянутый в формулировке этой теоремы интервал I. 1. Выберем целиком лежащий в области G замкнутый шар Br = {(t, x)| |(t, x) − (t0 , x0)| r}, что возможно, так как точка (t0 , x0) лежит в этой области с целой окрестностью, в которой можно выбрать меньшую: шаровую и замкнутую. 2. Обозначим M≡ sup |f (t, x)| < ∞, (t,x)∈Br L≡ sup fx (t, x) < ∞ (t,x)∈Br (29) (эти значения конечны, так как обе функции под знаком верхней грани - непрерывны, а значит, принимают свои наибольшие значения на компакте Br ⊂ Rn+1). 3. Обозначив KT ≡ , CT,R ≡ {(t, x)| t ∈ KT , |x − x0 | R}, выберем T0 , R0 > 0 так, чтобы при любых T T0 , R R0 выполнялось включение CT,R ⊂ Br . Например, если положить T0 = R0 = r/2, то для любой точки (t, x) ∈ CT,R будет выполнена оценка |(t, x) − (t0 , x0)| = r√ |t − t0 |2 + |x − x0 |2 T 2 + R2 2 < r, 2 из которой будет следовать условие (t, x) ∈ Br . 4. Фиксировав какое-нибудь R R0 , обозначим x0 (·) ≡ x0 и XT ≡ {x ∈ C(KT)| Γx ⊂ CT,R } = {x ∈ C(KT)| x − x0 T R}. 27 В полном пространстве C(KT) множество функций XT есть замкнутый шар с центром x0 и радиусом R, поэтому метрическое подпространство XT замкнуто, а значит, это - полное метрическое пространство. 5. Выберем T1 T0 так, что при любом T T1 формула t f (τ, x(τ)) dτ, t ∈ KT , (Ax)(t) = x0 + t0 задает оператор A: XT → XT . Это возможно, поскольку если x ∈ XT и t ∈ KT , то t t |Ax(t)−x0 | = f (τ, x(τ)) dτ sup |f (s, x)| dτ T M R t0 t0 (s,x)∈Br при T T1 ≡ R/(M + 1), откуда Ax − x0 T R и Ax ∈ XT . 6. Если x ∈ XT , то функция x - неподвижная точка оператора A тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению (28), в котором переменная t пробегает не интервал I, а отрезок KT . 7. Выберем T2 T1 так, чтобы при любом T T2 оператор A был сжимающим (например, с коэффициентом q = 1/2): это возможно, поскольку если x, y ∈ XT , то, применяя при каждом фиксированном t0 ∈ KT лемму 16 к функции f (t, x), определенной на выпуклом замкнутом сечении Br,t шара Br плоскостью t = t0 , имеем оценку t |f (τ, x(τ)) − f (τ, y(τ))| dτ |Ax(t) − Ay(t)| = t0 t sup f (s, x) |x(τ) − y(τ)| dτ T Lx − yT qx − yT t0(s,x)∈Br,t при T T2 ≡ q/(L + 1), откуда Ax − AyT qx − yT . 8. По принципу сжимающих отображений для оператора A, переводящего полное метрическое пространство XT в себя, имеем: для любого T T2 существует единственная неподвижная точка оператора A, поэтому в пространстве XT существует единственное решение уравнения (28) на отрезке KT . Следовательно, можно утверждать, что на интервале I ≡ (t0 − T2 ; t0 + T2) 28 решение задачи Коши, по меньшей мере, существует, т. е. этот интервал удовлетворяет условию 1) теоремы. 9. Докажем справедливость условия 2) теоремы. Пусть y - решение задачи Коши, тогда y - решение уравнения (28) и функция y - непрерывна в точке t0 , причем y(t0) = x0 и для некоторого T T2 выполнено неравенство |y(t) − x0 | R, t ∈ KT ≡ J ⊂ I, следовательно, y ∈ XT и y - неподвижная точка оператора A. Из единственности неподвижной точки следует равенство (27), а с ним и условие 2) теоремы 14. 2.7. Варианты формулировок локальной теоремы I. Условие 2) в теореме 14 можно переформулировать так: любые два решения задачи Коши локально совпадают. Действительно, оба они локально совпадают с тем решением, существование которого утверждается в условии 1), а значит, и друг с другом. II. Условие f, fx ∈ C(G), равносильное условию f, ∂f i ∈ C(G), ∂xj i, j = 1, . . . , n, можно в формулировке теоремы 14 заменить более сильным, но легче проверяемым условием f ∈ C1 (G), ослабив тем самым теорему. III. Теорему 14 можно усилить, заменив условие fx ∈ C(G) более слабым5) : f - липшицева по x (обозначение f ∈ Lipx (G)), т. е. для некоторой константы L и любых точек (t, x), (t, y) ∈ G выполнена оценка (условие Липшица) |f (t, y) − f (t, x)| L|y − x|. Действительно, если f ∈ Lipx (G) - липшицева, то оценка в п. 7 доказательства теоремы будет вытекать прямо из условия Липшица. 5) Но более трудным для проверки. 29 Формально, условие f ∈ Lipx (G) из условия fx ∈ C(G) не вытекает, так как единой для всей области G константы L может и не найтись. Однако локальная, для любой точки (t0 , x0) ∈ G, липшицевость из этого условия все же вытекает: заменив область G какой-либо ограниченной замкнутой выпуклой окрестностью B ⊂ G точки (t0 , x0) ∈ G, можно обеспечить липшицевость по x функции f |B с константой L = sup fx (t, x) < ∞, (t,x)∈B от чего факты локального существования и локальной единственности не пострадают6) . IV. В формулировке теоремы 14 можно явно указать размер интервала KT = (t0 − T ; t0 + T), на котором заведомо существует решение. Он равен 2T и зависит только от радиуса r содержащегося в области G замкнутого шара Br с центром в точке (t0 , x0) и величин M, L, заданных равенствами (29). Например, в качестве T годится любое положительное число r 1 1 , T T (r, M, L) ≡ min r, . 2 M +1 L+1 2.8. Теорема единственности в целом Теорема 18. Если f, fx ∈ C(G), то для любых решений x и y задачи Коши (24) - (25) справедливо равенство y|D = x|D , D ≡ D(x) ∩ D(y). 1. Предположим, что вопреки утверждению теоремы, например, множество S ≡ {t ∈ D| t t0 , y(t) = x(t)} не пусто (случай неравенства t t0 в определении множества S рассматривается аналогично). 2. Обозначим t1 ≡ inf S, 6) Именно 30 это рассуждение и использовалось в доказательстве теоремы 14. тогда t0 t1 ∈ D. В случае t0 < t1 имеем равенство y(t) = x(t), t0 t < t1 , (30) которое выполнено и при t = t1 (для доказательства достаточно перейти в нем к пределу при t → t1 − 0, воспользовавшись непрерывностью функций x и y), т. е. y(t1) = x(t1) ≡ x1 (в случае t0 = t1 последнее равенство выполнено уже в силу начального условия). 3. Таким образом, обе функции x и y являются решениями задачи Коши с тем же уравнением и начальной точкой (t1 , x1) ∈ G, а значит, они, согласно теореме 14, локально совпадают. Поэтому равенство (30) останется справедливым и после замены числа t1 несколько бо́льшим числом t2 , откуда получим противоречие t1 = inf S t2 > t1 . 2.9. Непродолжаемые решения Данные в определении 4 понятия продолжения решения и непродолжаемого решения дифференциального уравнения без труда распространяются на решения задачи Коши. Лемма 19. Если f, fx ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , x0) ∈ G существует единственное непродолжаемое решение задачи Коши (24) - (25), причем оно служит продолжением любого решения этой задачи. 1. Множество всех решений задачи Коши (24) - (25), обозначенное через E, согласно теореме 14, не пусто, поэтому можно в качестве области определения искомого непродолжаемого решения x взять множество D(y), D(x) = y∈E а саму функцию x задать с помощью правила x(t) = y(t), как только t ∈ D(y). 31 2. Полученная область определения D(x) - интервал, так как это открытое и связное (благодаря точке t0) множество на прямой, а сформулированное правило корректно, поскольку согласно теореме 18 все решения, содержащие в своей области определения какую-либо точку, принимают в ней одно и то же значение. 3. Полученная функция x есть: a) решение задачи Коши, так как для любого t ∈ D(x) существует решение y ∈ E, для которого t ∈ D(y) и x|D(y) = y; b) продолжение любого решения y ∈ E (по определению); c) непродолжаемое решение, так как оно само является продолжением любого решения y ∈ E; d) единственное непродолжаемое решение, так как любое другое решение y ∈ E имеет отличное от себя продолжение x, а значит, продолжаемо. 2.10. Теорема продолжаемости гласит, по существу, что непродолжаемое решение задачи Коши, существующее в силу теоремы 19, обязательно выходит, как вправо, так и влево, за пределы любого компакта, лежащего в области G определения правой части уравнения. Иными словами, любое решение асимптотически продолжается до границы области: ведь окрестностью границы ∂G как раз и следует признать7) дополнение такого компакта до G. Теорема 20. Пусть f, fx ∈ C(G), а x - непродолжаемое решение уравнения (24). Тогда для любого компакта C ⊂ G существует такой отрезок K ⊂ D(x), что имеет место включение Γx|D(x)\K ⊂ (G \ C). Прежде чем доказывать теорему, напомним, что расстоянием между подмножествами X, Y метрического пространства M называется величина8) ρ(X, Y) ≡ 7) Ср. ρ(x, y), с окрестностью точек ±∞ на числовой прямой. по определению ∞, если хотя бы одно из этих подмножеств пусто. 8) Равная 32 inf x∈X, y∈Y и докажем следующую лемму. Лемма 21. Если X, Y ⊂ M , X ∩ Y = ∅, X - компакт, а Y - замкнуто, то ρ(X, Y) > 0. Пусть, напротив, ρ(X, Y) = 0. Тогда для некоторых двух последовательностей xn ∈ X и yn ∈ Y (n ∈ N), первую из которых (в силу компактности X) можно сразу считать сходящейся к некоторому x0 ∈ X, имеет место равенство 0 = ρ(X, Y) = lim ρ(xn , yn), n→∞ а значит, и равенство lim ρ(x0 , yn) lim ρ(x0 , xn) + lim ρ(xn , yn) = 0, n→∞ n→∞ n→∞ из которого (в силу замкнутости Y) получаем условие x0 ∈ Y , а с ним и противоречие: x0 ∈ X ∩ Y = ∅. Приступим теперь к доказательству теоремы 20. 1. Выберем такое r, что ρ(C, ∂G) 2r > 0 (это возможно, так как по лемме 21 первое из чисел цепочки положительно, поскольку C - компакт, а граница ∂G - замкнута). 2. Для каждой точки (t, x) ∈ C обозначим Br (t, x) = {(s, y) ∈ R1+n | ρ((s, y), (t, x)) r}, тогда для любой точки (s, y) ∈ Br (t, x) имеем ρ((s, y), ∂G) ρ((t, x), ∂G) − ρ((t, x), (s, y)) r. 3. Обозначим B= Br (t, x), (t,x)∈C тогда9) ρ(B, ∂G) r, поэтому B ⊂ G и можно определить константы M = sup |f (t, x)| < ∞, (t,x)∈B 9) Можно L = sup fx (t, x) < ∞. (t,x)∈B доказать, что множество B - замкнуто. 33 4. Для любой точки (t, x) ∈ C имеем Br (t, x) ⊂ B, поэтому решение задачи Коши с этой начальной точкой определено по меньшей мере на интервале (t − T ; t + T), где T = T (r, M, L) (см. вариант IV теоремы 14 из п. 2.7). 5. Пусть некоторая точка (t0 , x(t0)) графика непродолжаемого решения x принадлежит компакту C (если такой точки нет, то теорема доказана), тогда D(x) ≡ (α; β) ⊃ (t0 − T ; t0 + T). 6. Докажем существование такого числа t1 ∈ (α; β), что (t, x(t)) ∈ / C, α < t < t1 . A. В случае α = −∞, в силу ограниченности множества C, достаточно взять t1 = inf{t| (t, x(t)) ∈ C} > −∞ = α. B. В случае α > −∞ положим t1 ≡ α + T < t0 . Тогда если существует такая точка (t, x(t)) ∈ C, что t < t1 , то решение задачи Коши с этой начальной точкой продолжается влево по меньшей мере до10) числа t − T < t1 − T = α, что противоречит непродолжаемости решения x. 7. Существование такого числа t2 ∈ (α; β), что (t, x(t)) ∈ / C, доказывается аналогично. 10) Не 34 включительно. t2 < t < β, 2.11. Лемма Гронуолла - Беллмана или лемма об интегральном неравенстве, позволяет получать так называемые априорные оценки нормы решений дифференциального или интегрального уравнения. Лемма 22. Если функция u ∈ C(J), где J = , рассматривается аналогично). 11) Здесь 36 G = I × Rn . 3. Тогда для функции u(t) = |x(t)| при всех t ∈ J имеем t t 0 u(t) |x0 | + t0 (A(τ) u(τ) + |F (τ)|) dτ a + b t0 u(τ) dτ =⇒ u(t) aeb(t−t0) R (согласно лемме Гронуолла - Беллмана), где β a = |x0 | + |F (τ)| dτ, b = sup A(t), R = aeb(β −t0) . t0 t∈J 4. Тогда график непродолжаемого решения x при t > t0 не выходит за пределы компакта C = {(t, x)| t ∈ J, |x| R} ⊂ G, что противоречит теореме 20. 2.13. Ломаная Эйлера для задачи Коши (24) - (25) - это график любой такой непрерывной функции ϕ: K → Rn , где K ≡ [α; β] t0 , или сама эта функция12) , которая удовлетворяет условию ϕ(t0) = x0 и для некоторого разбиения σ = (s0 , s1 , . . . , snσ), α ≡ s0 < s1 < . . . < snσ ≡ β, отрезка K при каждом значении i = 1, . . . , nσ для некоторого s ∈ задается равенством13) ϕ̇(t) = f (s, ϕ(s)), t ∈ . Нормой разбиения σ называется величина |σ| = max i∈{1,...,nσ } (si − si−1). I. Значение s, фигурирующее в определении ломаной Эйлера, следует считать функцией s = sσ (t) по меньшей мере от t и σ, которая тогда удовлетворяет условиям sσ (t) ∈ , t ∈ , =⇒ |sσ (t) − t| |σ|, i = 1, . . . , nσ , t ∈ K, 12) В зависимости от контекста. означает, что функция ϕ - кусочно линейна, а ее график - действительно ломаная. 13) Которое 37 а для кусочно дифференцируемой функции ϕ справедливо равенство (32) ϕ̇(t) = f (sσ (t), ϕ(sσ (t))), t ∈ K \ {s0 , . . . , snσ }. II. Построим простейшую ломаную Эйлера: - возьмем в качестве одной из точек разбиения точку t0 и будем двигаться от нее вправо, сначала положив s = t0 (тем самым определяется значение f (s, ϕ(s)), задающее угловой коэффициент звена ломаной) и выбрав точку разбиения t1 > t0 , затем положив s = t1 и выбрав точку разбиения t2 > t1 , и т. д. до тех пор, пока (s, ϕ(s)) ∈ G; - аналогично, будем двигаться от t0 влево, сначала положив s = t0 и выбрав точку разбиения t−1 < t0 , затем положив s = t−1 и выбрав точку разбиения t−2 < t−1 , и т. д.; - перенумеровав числа t0 , t±1 , t±2 , . . . подряд в возрастающем порядке, получим разбиение σ. 2.14. Теорема Арцела - Асколи Определение 10. Cемейство Φ функций ϕ: K → Rn на отрезке K ⊂ R называется: a) равномерно ограниченным, если sup ϕK < ∞; ϕ∈Φ b) равностепенно непрерывным14), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых ϕ ∈ Φ и t, s ∈ K имеет место импликация |t − s| < δ =⇒ |ϕ(t) − ϕ(s)| < ε; c) предкомпактным, в смысле равномерной на K нормы, если из любой последовательности ϕn ∈ Φ (n ∈ N) можно выбрать фундаментальную подпоследовательность. Теорема 25. Всякое равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство Φ ⊂ C(K) - предкомпактно. 14) Из чего, в частности, следует, что каждая из функций семейства - непрерывна, и даже равномерно непрерывна. 38 1. Пусть заданы ϕn ∈ Φ (n ∈ N) и ε > 0. A. По заданному ε > 0 в соответствии с п. b) определения 10 выберем число δ > 0. Кроме того, выберем разбиение σ = (sj | j ∈ J) отрезка K с нормой |σ| < δ, а в ограниченном, согласно п. a) определения 10, множестве X ⊂ Rn всех значений всех функций семейства Φ выберем конечную ε-сеть15) {xi }. Рассмотрим конечное множество всех функций ψk ∈ C(K), графики которых являются ломаными16) с узлами в точках вида (sj , xi). B. Каждой функции ϕn поставим в соответствие какую-либо функцию ψk , для которой |ϕn (sj) − ψk (sj)| < ε, j ∈ J. Тогда хотя бы одна из функций ψk будет поставлена в соответствие бесконечному числу членов последовательности ϕn , образующих подпоследовательность, причем любые два члена ϕn1 , ϕn2 этой подпоследовательности при t ∈ , j ∈ J \ {0} будут удовлетворять неравенству |ϕn1 (t) − ϕn2 (t)| |ϕn1 (t) − ϕn1 (sj)| + |ϕn1 (sj) − ψk (sj)| +|ϕn2 (t) − ϕn2 (sj)| + |ϕn2 (sj) − ψk (sj)| < 4ε, откуда будем иметь ϕn1 − ϕn2 K < 4ε. C. Из найденной подпоследовательности исключим первую функцию, предварительно обозначив ее через ϕ∗1 . D. Уменьшим вдвое значение ε и проделаем с оставшейся подпоследовательностью те же операции A - C, получив функцию ϕ∗2 , затем, аналогично, функцию ϕ∗3 и т. д. 2. Полученная в итоге последовательность ϕ∗n будет фундаментальной, так как lim n1 >n2 →∞ ϕ∗n1 − ϕ∗n2 K = 0. 15) Т. е. такое множество центров шаров радиуса ε, что объединение этих шаров содержит множество X. 16) Не ломаными Эйлера! 39 2.15. Теорема Пеано утверждает, что существование17) решения задачи Коши гарантируется одной лишь непрерывностью правой части системы, каковое условие представляется уже совершенно естественным. Теорема 26. Если f ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , x0) ∈ G существует решение задачи Коши (24) - (25). 1. Выберем целиком лежащий в бласти G замкнутый шар B = {(t, x)| |(t, x) − (t0 , x0)| r} и обозначим M ≡ sup |f (t, x)| < ∞. (t,x)∈B 2. Обозначим через Φ множество всех ломаных Эйлера, определенных на отрезке K = [α; β] ≡ и лежащих в шаре B, а через Φσ ⊂ Φ - подмножество тех из них, которые соответствуют разбиению σ отрезка K. Выберем число T > 0 столь малым, чтобы любое из множеств Φσ было не пусто. Это возможно, поскольку, например, простейшая ломаная ϕ ∈ Φσ может быть по индукции достроена вправо (аналогично, влево) на весь отрезок K: действительно, во-первых, имеем (t0 , ϕ(t0)) = (t0 , x0) ∈ B и, во-вторых, если уже (ti , ϕ(ti)) ∈ B, i = 0, . . . , k − 1, то и (tk , ϕ(tk)) ∈ B, так как в силу равенства (32) имеем t t |ϕ(tk) − ϕ(t0)| = t0k ϕ̇(τ) dτ = t0k f (sσ (τ), ϕ(sσ (τ))) dτ sup |f (s, ϕ(s))| · (tk − t0) M T s∈ =⇒ |(tk , ϕ(t)) − (t0 , x0)| T 2 + (M T)2 T (M + 1) r, как только T r/(M + 1). 17) Но 40 не единственность! 3. Семейство Φ ломаных Эйлера равномерно ограничено, поскольку sup ϕK |x0 | + sup |ϕ(t) − x0 | |x0 | + r < ∞, ϕ∈Φ t∈K ϕ∈Φ и равностепенно непрерывно (даже равностепенно липшицево с константой M), поскольку в силу равенства (32) имеем t |ϕ(t) − ϕ(s)| = f (sσ (τ), ϕ(sσ (τ))) dτ M |t − s| < ε, ϕ ∈ Φ, s если только числа t, s ∈ K таковы, что |t − s| < δ ≡ ε/M . 4. Выберем такую последовательность ϕn ∈ Φ (n ∈ N) ломаных Эйлера, что соответствующие им разбиения σn отрезка K удовлетворяют условию |σn | → 0 при n → ∞. По теореме Арцела - Асколи из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность (сохраним для нее прежнее обозначение ϕn), которая, в силу полноты пространства C(K), равномерно сходится к некоторой непрерывной функции ϕ0 . 5. Докажем, что функция ϕ = ϕ0 |I , где I ≡ (α; β), - есть решение задачи Коши. A. Начальное условие выполнено, поскольку ϕ(t0) = lim ϕn (t0) = lim x0 = x0 . n→∞ n→∞ B. Для каждого t ∈ I проверим равенство ϕ̇(t) = f (t, ϕ(t)) ⇐⇒ ϕ(t + h) − ϕ(t) − f (t, ϕ(t))h = o(h), h → 0. Действительно, пусть задано ε > 0. Тогда в силу непрерывности функции f в точке (t, ϕ(t)) для некоторого δ > 0 имеем |s − t| < δ =⇒ |f (s, y) − f (t, ϕ(t))| < ε. |y − ϕ(t)| < δ Далее, с учетом равенства (32) имеем |ϕ(t + h) − ϕ(t) − f (t, ϕ(t))h| |ϕ(t + h) − ϕn (t + h)| t+h +|ϕn (t) − ϕ(t)| + t (ϕ̇n (τ) − f (t, ϕ(t))) dτ t+h < ε|h| + ε|h| + t |f (sσn (τ), ϕn (sσn (τ))) − f (t, ϕ(t))| dτ < 3ε|h|, 41 если только число h = 0 - достаточно мало и число n - достаточно велико, а именно, если только выполнены условия δ δ |σn | < |h| 0 < |h| < min t − α, β − t, ϕn − ϕK < ε|h|, 2 2M + ε так как тогда |sσn (τ) − t| |sσn (τ) − τ | + |τ − t| |σn | + |h| < 2|h| < δ =⇒ |ϕn (sσn (τ)) − ϕ(t)| |ϕn (sσn (τ)) − ϕn (t)| + ϕn − ϕK < M |sσn (τ) − t| + ε|h| < (2M + ε)|h| < δ =⇒ |f (sσn (τ), ϕn (sσn (τ))) − f (t, ϕ(t))| < ε. Теорема 26 доказана. 2.16. Сведе́ние уравнения произвольного порядка к нормальной системе Обозначим через Ef и Ef (t0 , y0 , y1 , . . . , yn−1) множества всех решений следующего уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, и, соответственно, задачи Коши для него ⎧ y(t0) = y0 ⎪ ⎨ ẏ(t0) = y1 (33) y (n) = f (t, y, ẏ, . . . , y (n−1)), . ⎪ ⎩ . .(n−1) (t0) = yn−1 , y а через Ef и Ef (t0 , y 0) - множества решений следующей нормальной системы и, соответственно, задачи Коши для нее ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ x2 y0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ··· ⎟ , x(t0) = y 0 ≡ ⎜ y1 ⎟ . ẋ = f (t, x) ≡ ⎜ ⎝ ⎝ ⎠ ··· ⎠ xn yn−1 f (t, x1 , . . . , xn) Определение 11. Канонической заменой (переменных) назовем отображение ψ, переводящее любую (n − 1) раз дифференцируемую скалярную функцию y в вектор-функцию ⎛ ⎞ y ⎜ ⎟ ẏ ⎟ ψy ≡ ⎜ ⎝ ··· ⎠. y(n−1) 42 Лемма 27. Каноническая замена ψ осуществляет изоморфизмы ψ Ef → Ef и ψ Ef (t0 , y0 , . . . , yn−1) → Ef (t0 , y 0) множеств, наделенных структурой областей определения функций, локального их совпадения и продолжения, причем обратные к этим изоморфизмам отображения задаются формулой ψ −1 x = x1 . Имеется в виду, что отображение ψ, равно как и обратное к нему, сохраняет указанную структуру, т. е. и области определения всех функций, и всякие факты их локального совпадения, и свойство всякой функции быть продолжением другой. Для доказательства достаточно проверить следующие свойства: a) ψ(Ef) ⊂ Ef , причем D(ψy) = D(y): действительно, если y ∈ Ef , то при всех t ∈ D(y) имеем ⎛ ⎛ ⎞· y ⎜ ẏ ⎟ ⎟(t) = ⎜ ⎝ ··· ⎠ ⎜ (ψy)· (t) = ⎜ ⎝ y(n−1) ⎞ ẏ(t) ⎟ ÿ(t) ⎟ = f (t, ψy(t)), ⎠ ··· f (t, y(t), . . . , y(n−1) (t)) поэтому ψy ∈ Ef , причем D(y) = D(ẏ) = . . . = D(y(n−1)) = D(ψy); ψ b) Ef → Ef - сюръекция: действительно, для x ∈ Ef положим y = x1 , тогда при всех t ∈ D(x) имеем ⎧ ẏ(t) = ẋ1 (t) = x2 (t) ⎪ ⎨ ··· (n−1) ⎪ ⎩ y(n) (t) = ẋn−1 (t) = xn (t) y (t) = ẋn (t) = f (t, x(t)) = f (t, y(t), . . . , y(n−1) (t)), откуда y ∈ Ef и ψy = x; 43 ψ c) Ef → Ef - инъекция18) : действительно, если совпадают вектор-функции ψy1 = ψy2 , то совпадают и их первые координаты y1 = y2 ; ψ d) Ef → Ef - биекция, причем (ψ|Ef)−1 x = x1 , x ∈ Ef , (следствие предыдущих пунктов доказательства); e) ψ (Ef (t0 , y0 , . . . , yn−1)) = Ef (t0 , y0): действительно, имеем Ef (t0 , y0 , . . . , yn−1) ⊂ Ef , причем и Ef (t0 , y 0) ⊂ Ef , ⎧ y(t0) = y0 ⎪ ⎨ ẏ(t0) = y1 ⇐⇒ ψy(t0) = y0 ; · ⎪ ⎩ · ·(n−1) y (t0) = yn−1 f) оба отображения ψ|Ef и (ψ|Ef)−1 сохраняют равенство функций (так как ψ|Ef - биекция) и переход от функции к ее сужению (из-за сохранения областей определения), а значит, они сохраняют и свойство одной функции быть продолжением другой (т. е. равенство второй функции сужению первой; см. определение 4), и локальное равенство функций (т. е. равенство некоторых их сужений). 2.17. Теоремы существования, единственности и продолжаемости для уравнения n-го порядка выводятся из соответствующих теорем для нормальной системы с помощью леммы 27, которая фактически означает, что в отношении вопросов локального существования решений, их локальной единственности, продолжаемости и единственности в целом множества решений задачи Коши для уравнения и для соответствующей системы устроены совершенно одинаково. Теорема 28. Если f, fy , . . . , fy (n−1) ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , y0 , . . . , yn−1) ∈ G: 18) Причем как функция, определенная не только на E , но и с самой полной f областью определения - множеством всех (n − 1) раз дифференцируемых скалярных функций. 44 1) в некоторой окрестности I точки t0 существует решение y: I → R задачи Коши (33); 2) любое другое решение этой задачи локально совпадает с решением y. Теорема 29. Если f, fy , . . . , fy (n−1) ∈ C(G), то для любых решений y и z задачи Коши (33), то справедливо равенство y|D = z|D , D ≡ D(y) ∩ D(z). Лемма 30. Если f, fy , . . . , fy (n−1) ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , y0 , . . . , yn−1) ∈ G существует единственное непродолжаемое решение задачи Коши (33), причем оно служит продолжением любого решения этой задачи. Теорема 31. Пусть f, fy , . . . , fy (n−1) ∈ C(G), а y - непродолжаемое решение уравнения (33). Тогда для любого компакта C ⊂ G существует такой отрезок K ⊂ D(y), что имеет место включение Γ(y,...,y(n−1))|D(x)\K ⊂ (G \ C). Теорема 32. Если f ∈ C(G), то для любой начальной точки (t0 , y0 , . . . , yn−1) ∈ G существует решение задачи Коши (33). 2.18. Теорема продолжаемости для линейного уравнения y (n) + a1 (t)y (n−1) + . . . + an (t)y = f (t), a1 , . . . , an , f: I → R, называемого линейным неоднородным уравнением19) , а в случае f = 0 - линейным однородным, уточняет теорему 31. Теорема 33. Если a1 , . . . , an , f ∈ C(I), то для любой начальной точки (t0 , y0 , . . . , yn−1) ∈ I × Rn существует единственное непродолжаемое решение задачи Коши, причем оно служит продолжением любого решения этой задачи и определено на всем интервале I. 19) n-го порядка, и даже приведенным, т. е. с коэффициентом a = 1 при 0 старшей производной; здесь G = I × Rn . 45 Каноническая замена (определение 11) приводит уравнение к линейной системе ⎛ ⎞ x2 ⎜ ⎟ ··· ⎟ ≡ A(t)x + F (t), t ∈ I, ẋ = ⎜ ⎝ ⎠ xn −an (t)x1 − . . . − a1 (t)xn + f (t) где ⎛ ⎜ ⎜ A≡⎜ ⎜ ⎝ 0 1 .. . ··· .. . 0 0 ··· 0 1 0 −an · · · −a2 0 −a1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ 0 ⎜ ··· ⎟ ⎟ F ≡⎜ ⎝ 0 ⎠, f (34) к которой можно применить теорему 24, сведя полученное утверждение к доказываемому с помощью леммы 27. Определение 12. Матричную функцию A и вектор-функцию F , определенные по формулам (34), назовем матрицей линейного уравнения и его векторной неоднородностью соответственно. 2.19. Вопросы и задачи для самостоятельного решения I. Какое из условий 1) или 2), сформулированных в теореме 14, не вытекает из единого условия, состоящего в следующем: в некоторой окрестности I точки t0 существует единственное решение x: I → Rn задачи Коши (24) - (25)? II. Доказать, что теорема 14 останется в силе, если в ней условие f, fx ∈ C(G) заменить следующим: f - непрерывна по t и липшицева по x в области G. III. При каждом значении n ∈ N определить, могут ли два различных решения уравнения y (n) = f (t, y), f ∈ C1 (R2), пересекаться друг с другом или касаться друг друга хотя бы в одной точке (t0 , y0) ∈ R2 . 46 IV. Какой наименьший порядок может иметь уравнение y (n) = f (t, y, ẏ, . . . , y (n−1)), f ∈ C1 (Rn+1), с частными решениями y1 (t) = t и y2 (t) = sin t? V. Останется ли верной лемма 21, если в ней условие компактности множества X заменить его замкнутостью? VI. Доказать, что если для каждой точки (t0 , x0) ∈ G существует хотя бы одно решение задачи Коши (24) - (25), то существует и непродолжаемое ее решение. VII. Для заданного уравнения (24) и компакта C ⊂ G оценить снизу время пребывания вне этого компакта графика любого непродолжаемого решения, начинающегося в этом компакте, при движении по оси времени, например, вправо. VIII. Какие из следующих утверждений для уравнения (24) верны: a) если f ∈ C1 (R2), то область определения D(x) любого непродолжаемого решения x есть вся числовая ось R; b) если f ∈ C1 (R2) и область определения D(x) некоторого непродолжаемого решения x есть луч R+ ≡ (0; ∞), то существует бесконечный (т. е. равный +∞ или −∞) предел lim x(t); t→+0 (35) c) если f ∈ C1 (R+ × R) и область определения D(x) некоторого непродолжаемого решения x есть луч R+ , то существует предел (35), возможно, бесконечный? IX. Построить (графически) простейшую ломаную Эйлера для задачи Коши ẋ = −x, x(0) = 1, на отрезке в случае разбиения σ, равного: a) (0, 1, 2, 3); b) (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3). X. Доказать, что если функция f липшицева по x и непрерывна в области G, содержащей множество C ≡ {(t, x)| α t β, |x − x0 | R}, 47 причем R M ≡ sup |f (t, x)| β−α (t,x)∈C (если M = ∞, то и R = ∞), то для любой точки (t0 , x0) ∈ C последовательность xn: [α; β] → Rn (n ∈ N) приближений Пикара, определяемая равенствами t xn = Axn−1 ≡ x0 + f (τ, xn−1 (τ)) dτ, n ∈ N, x0 ≡ x0 , t0 сходится равномерно на отрезке [α; β] к решению уравнения (28). 48 3. Общая теория линейных уравнений и систем 3.1. Линейное пространство функций f: I → Rn с естественными линейными операциями (C1 f1 +C2 f2)(t) = C1 f1 (t)+C2 f2 (t), t ∈ I, f1,2 ∈ Φ, C1,2 ∈ R, обозначим через1) Φ. Нулем 0 ∈ Φ в этом линейном пространстве является функция 0(t) = 0 ∈ Rn , t ∈ I. Определение 13. Функции f1 , . . . , fk ∈ Φ называются линейно зависимыми, если для некоторого ненулевого2) набора констант C1 , . . . , Ck выполнено равенство C1 f1 + . . . + Ck fk = 0, и линейно независимыми - в противном случае. Согласно теореме 24, если A, F ∈ C(I), то множества EA,F и EA всех непродолжаемых решений линейной неоднородной системы (36) ẋ = A(t)x + F (t), x ∈ Rn , t ∈ I, и соответствующей однородной системы ẋ = A(t)x, x ∈ Rn , t ∈ I, (37) являются подмножествами пространства Φ. 3.2. Общее решение линейной однородной системы образует подпространство линейного пространства Φ и, рассматриваемое как линейное пространство, отождествимо с множеством начальных значений самих решений, что утверждает следующая, называемая теоремой об изоморфизме, 1) Здесь интервал I и число n ∈ N - заранее фиксированы, но в обозначение пространства Φ не включены. 2) Т. е. не состоящего из одних нулей. 49 Теорема 34. Множество EA - линейное пространство, причем для любого t0 ∈ I отображение ϕt0: x ∈ EA → x(t0) ∈ Rn осуществляет изоморфизм линейных пространств EA и Rn . 1. Множество EA - есть линейное пространство, так как оно - подмножество линейного пространства Φ и замкнуто относительно линейных операций: действительно, если x1 , x2 ∈ EA и C1 , C2 ∈ R, то (C1 x1 + C2 x2)· = C1 ẋ1 + C2 ẋ2 = C1 Ax1 + C2 Ax2 = A(C1 x1 + C2 x2), откуда (C1 x1 + C2 x2) ∈ EA . 2. Отображение ϕt0: EA → Rn - биекция, так как согласно теореме 24 для любого начального значения a ∈ Rn существует единственная функция x ∈ EA , удовлетворяющая начальному условию ϕt0 (x) = x(t0) = a. 3. Отображение ϕt0: EA → Rn - гомоморфизм линейных пространств (а раз биекция - то и изоморфизм), поскольку если x1 , x2 ∈ EA и C1 , C2 ∈ R, то ϕt0 (C1 x1 + C2 x2) = (C1 x1)(t0) + (C2 x2)(t0) = C1 ϕt0 (x1) + C2 ϕt0 (x2). Таким образом, любые свойства и характеристики решений, определяемые только линейными операциями3) , - такие же, как и для их начальных значений. Следствие 35. Размерность пространства решений линейной однородной (n × n)-системы равна n. Определение 14. Любой базис x1 , . . . , xn в пространстве EA решений линейной однородной (n × n)-системы (37) называется фундаментальной системой ее решений. Следствие 36. Фундаментальные системы решений линейной однородной системы (37) существуют. Если x1 , . . . , xn - 3) Как-то: размерность пространства или подпространства решений, линейная зависимость или независимость данной системы решений, принадлежность ее линейной оболочке какого-либо решения и т. п. 50 фундаментальная система решений системы (37), то общее решение этой системы имеет вид x = C1 x1 (t) + . . . + Cn xn (t). Для построения фундаментальной системы решений достаточно взять любой базис e1 , . . . , en в Rn и, выбрав начальный момент t0 ∈ I, построить решения −1 x1 = ϕ−1 t0 e1 , . . . , xn = ϕt0 en . 3.3. Определитель Вронского вектор-функций f1 , . . . , fn ∈ Φ - это функция Wf1 ,...,fn (t) = det(f1 (t), . . . , fn (t)), t ∈ I. Здесь предполагается, что в линейном пространстве Rn выбран базис, или что Rn - координатное векторное пространство. Правда, в евклидовом пространстве Rn определителю Вронского можно придать и инвариантный4) геометрический смысл, а именно, Wf1 ,...,fn (t) - это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на репер f1 (t), . . . , fn (t). Лемма 37. Если функции f1 , . . . , fn ∈ Φ - линейно зависимы, то Wf1 ,...,fn (t) = 0, t ∈ I. Если линейно зависимы вектор-функции f1 , . . . , fn ∈ Φ, то для каждого t ∈ I линейно зависимы их значения f1 (t), . . . , fn (t) в момент t, а значит, Wf1 ,...,fn (t) = 0. Обратное к лемме 37, вообще говоря, неверное, утверждение справедливо для решений линейной однородной системы, более того, имеет место Теорема 38. Если x1 , . . . , xn ∈ EA , то следующие утверждения эквивалентны: 4) Относительно выбора в Rn ортогонального базиса положительной ориентации. 51 1) функции x1 , . . . , xn - линейно зависимы; 2) Wx1 ,...,xn = 0; 3) Wx1 ,...,xn (t0) = 0 для некоторого t0 ∈ I. Из первого утверждения по лемме 37 получаем второе, из второго - третье, а из третьего следует, что векторы x1 (t0) = ϕt0 (x1), . . . , xn (t0) = ϕt0 (xn) - линейно зависимы, откуда, согласно теореме 34, получаем снова первое утверждение. 3.4. Фундаментальная матрица - это такая матрица решений X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), t ∈ I, x1 , . . . , xn ∈ EA , (38) столбцы которой5) образуют фундаментальную систему решений. I. Из теоремы 38 вытекает Следствие 39. Для матрицы решений X следующие утверждения эквивалентны: 1) матрица X - фундаментальна; 2) det X(t0) = 0 для некоторого t0 ∈ I; 3) det X(t) = 0 для всех t ∈ I. Из следствия 36 получаем Следствие 40. Общее решение системы (37) с фундаментальной матрицей X имеет вид x = X(t)c, c ∈ Rn . Действительно, в силу равенства (38) имеем: ⎞ ⎛ C1 x = x1 C1 + . . . + xn Cn ≡ Xc, c ≡ ⎝ · · · ⎠ ∈ Rn . Cn 5) В 52 координатном векторном пространстве Rn . (39) II. Производную (n×n)-матричной функции X: I → Mn×n , по определению6) , вычисляют покоординатно, а производную оператор-функции X: I → End Rn - по формуле X(t + h) − X(t) h→0 h Ẋ(t) = lim (предельный оператор, если он существует, - обязательно линейный, в силу полноты пространства End Rn). Эти вычисления приводят к одинаковому результату из-за естественного изоморфизма7) между n2 -мерными линейными топологическими (см. лемму 13) пространствами End Rn и Mn×n: если матричная функция X служит записью оператор-функции X в некотором базисе, то ее производная Ẋ служит записью оператора Ẋ в том же базисе. Кроме того, для таких функций будут верны все обычные правила для взятия производных или пределов8) . Лемма 41. Матрица X решений системы (37) и только она она удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Ẋ = A(t)X, t ∈ I. (40) По формуле (38) уравнение (40) равносильно следующему (ẋ1 , . . . , ẋn) = (A(t)x1 , . . . , A(t)xn) ⇐⇒ ẋi = A(t)xi , i = 1, . . . , n. 3.5. Оператор Коши системы (37), или оператор сдвига, X(t, s): Rn → Rn - это оператор, удовлетворяющий для заданной пары t, s ∈ I равенству X(t, s)x(s) = x(t), x ∈ EA . (41) Здесь пространство Rn - абстрактное линейное, т. е. не обязательно координатное. Более того, оператор Коши, по определению, замечателен своим естественным геометрическим смыслом, 6) Как и вектор-функции. базисом в Rn . 8) Такие как производная или предел суммы, произведения (композиции операторов), вынос постоянного множителя (вектора, матрицы, оператора) и т. п. 7) Определяемого 53 который позволяет формулировать и доказывать утверждения с его участием, не прибегая к координатной записи. Лемма 42. Равенство (41) однозначно задает линейный невырожденный оператор, причем для любых t, s, r ∈ I справедливы следующие свойства: a) X(t, t) = I - тождественный оператор; b) X(t, s) X(s, r) = X(t, r); c) X−1 (t, s) = X(s, t). 1. Проверим корректность определения: для любого a ∈ Rn существует единственное решение x ∈ EA , для которого x(s) = a, поэтому значение X(t, s)a = x(t) определено однозначно. 2. Проверим линейность: пусть a1 = x1 (s), a2 = x2 (s), причем x1 , x2 ∈ EA , тогда для любых C1 , C2 ∈ R имеем (C1 x1 +C2 x2) ∈ EA и X(t, s)(C1 a1 + C2 a2) = X(t, s)(C1 x1 + C2 x2)(s) = (C1 x1 + C2 x2)(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) = C1 X(t, s)a1 + C2 X(t, s)a2 . 3. Проверим свойства: a) для всякого решения x ∈ EA имеем X(t, t)x(t) = x(t) = I x(t), откуда X(t, t) = I; b) для всякого решения x ∈ EA имеем X(t, s)X(s, r)x(r) = X(t, s)x(s) = x(t) = X(t, r)x(r), откуда X(t, s)X(s, r) = X(t, r); c) для всяких чисел t, s ∈ I имеем X(t, s)X(s, t) = X(t, t) = I, откуда получаем X−1 (t, s) = X(s, t), а заодно и то, что оператор X(t, s) невырожден. Матрица оператора Коши есть не что иное как фундаментальная матрица, нормированная в начальный момент, что, в частности, и утверждает следующая Лемма 43. Если X(·, ·) - матрица оператора Коши системы (37) в некотором базисе в Rn , то: 54 1) для любой фундаментальной матрицы X(·) имеет место представление X(t, s) = X(t)X −1 (s), t, s ∈ I; 2) для любого фиксированного значения s ∈ I матричная функция X(·, s) и только она есть матрица решений X(·) с начальным условием X(s) = E. 1. Если X - фундаментальная матрица, то для любого решения x ∈ EA существует такой вектор c ∈ Rn , что x = Xc и X(t)X −1 (s) x(s) = X(t)X −1 (s)X(s)c = X(t)c = x(t), поэтому X(t)X −1 (s) = X(t, s). 2. С одной стороны, если X - матрица решений и X(s) = E - невырождена, то X - фундаментальная матрица и X(t, s) = X(t)X −1 (s) = X(t). С другой стороны, для любой фундаментальной матрицы X имеем d d −1 (s) = Ẋ(t)X −1 (s) dt X(t, s) = dt X(t)X = A(t)X(t)X −1 (s) = A(t)X(t, s), t ∈ I, поэтому X(t, s) - матрица решений (лемма 41) и X(s, s) = E. Из п. 2 леммы 43, с учетом леммы 41, вытекает Следствие 44. Для любого фиксированного значения s ∈ I оператор Коши X системы (37) и только он удовлетворяет операторному дифференциальному уравнению Ẋ(·, s) = A(t)X(·, s), t ∈ I, с начальным условием X(s, s) = I. 3.6. Формула Лиувилля - Остроградского касается определителя Вронского решений линейной однородной системы в координатном пространстве Rn . Теорема 45. Для любых решений x1 , . . . , xn ∈ EA имеет место формула t tr A(τ) dτ Wx1 ,...,xn (t) = Wx1 ,...,xn (t0) · e t0 , t0 , t ∈ I. 55 1. Докажем, что определитель Вронского W ≡ Wx1 ,...,xn удовлетворяет дифференциальному уравнению Ẇ = tr A(t) · W, из которого будет вытекать требуемое W (t) = Ce t t0 tr A(τ) dτ , C = W (t0). 2. Производную определителя матричной функции можно считать по правилу ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ ẋ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ··· ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ (det X)· = det ⎜ ⎝ · · · ⎠ + . . . + det ⎝ xn−1 ⎠ , ẋn xn где xi - i-я строка матрицы X. Этот факт вытекает, например, из представления определителя в виде знакопеременной суммы всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца · σ 1 n (−1) x · . . . · x σ σ(1) σ(n) = σ (−1)σ ẋ1σ(1) · . . . · xnσ(n) + . . . + σ (−1)σ x1σ(1) · . . . · ẋnσ(n) . 3. Если ai - i-я строка матрицы A, то 1 · 1 1 1 1 x ẋ x a X x Ẇ = · · · = · · · + . . . + · · · = · · · + . . . + · · · xn xn ẋn xn an X 1 1 a1 x + . . . + a1n xn x1 ··· ··· + ... + = n n 1 n n x a1 x + . . . + an x 1 1 x1 a1 x x1 = . . . + . . . + · · · = (a11 + . . . + ann) · · · = tr A · W. ann xn xn xn Следствие 46. Если tr A ≡ 0, то определитель Вронского любых решений x1 , . . . , xn ∈ EA равен константе. 56 Таким образом, если след матрицы системы тождественно равен нулю, то объем параллелепипеда, натянутого на любой репер решений x1 (t), . . . , xn (t), взятых в момент t, не меняется с изменением времени t. Определение 15. Определитель det X и след tr X оператора X ∈ End Rn - это определитель и след его матрицы X, записанной в некотором базисе в Rn . Инвариантность этих характеристик оператора относительно выбора базиса или, что то же, относительно матрицы L перехода к новому базису вытекает, например, из такой же инвариантности его характеристического многочлена det(λE − L−1 XL) = det L−1 · det(λE − X) · det L = det(λE − X) = λn − tr X · λn−1 + . . . + (−1)n det X, первый коэффициент которого равен − tr X, а свободный член равен (−1)n det X. Следствие 47. Если X(t, s) - оператор Коши системы (37), то t det X(t, s) = e s tr A(τ) dτ . Если в Rn фиксирован базис, то (лемма 43) X(·, s) - матрица решений, причем X(s, s) = E, поэтому согласно теореме 45 имеем t t det X(t, s) = det X(s, s) · e s tr A(τ) dτ = e s tr A(τ) dτ . 3.7. Общее решение линейной неоднородной системы есть общее решение однородной системы плюс частное решение неоднородной системы, как утверждает следующая Теорема 48. Для всякого решения x0 ∈ EA,F справедливо равенство EA,F = EA + x0 . Под суммой двух подмножеств9) Φ1 , Φ2 ⊂ Φ понимается множество Φ1 + Φ2 = {f1 + f2 | f1 ∈ Φ1 , f2 ∈ Φ2 }. 9) Одно из которых в данном случае содержит всего один элемент. 57 Пусть x0 ∈ EA,F , тогда: 1) если x ∈ EA , то (x + x0)· = ẋ + ẋ0 = Ax + (Ax0 + F) = A(x + x0) + F, поэтому (x + x0) ∈ EA,F ; 2) если x ∈ EA,F , то x = (x − x0) + x0 , где (x − x0)· = ẋ − ẋ0 = (Ax + F) − (Ax0 + F) = A(x − x0), т. е. (x − x0) ∈ EA . Следствие 49. Если x0 - частное решение линейной неоднородной системы (36), а x1 , . . . , xn - фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (37), то общее решение системы (36) имеет вид x = C1 x1 (t) + . . . + Cn xn (t) + x0 (t). С абстрактной точки зрения, множество решений линейной неоднородной системы представляет собой n-мерное аффинное пространство, или сдвиг n-мерного линейного пространства - множества решений соответствующей однородной системы, т. е. множество точек с операцией, называемой разностью и обладающей тем свойством, что всевозможные разности между точками10) образуют n-мерное векторное пространство. 3.8. Метод вариации постоянных для системы точнее, для линейной неоднородной (n × n)-системы (36), исходит из формулы общего решения (39) соответствующей однородной системы. Согласно этому методу, носящему имя Лагранжа, достаточно приравнять к неоднородности системы правую часть упомянутой формулы, считая в ней постоянный вектор c функцией от t и навесив над ней точку (знак производной). Теорема 50. Для любой фундаментальной матрицы X линейной однородной системы (37) и вектор-функции c: I → Rn справедливо утверждение Xc ∈ EA,F ⇐⇒ X(t)ċ(t) = F (t), 10) Даже 58 при фиксированной вычитаемой точке. t ∈ I. Имеем Xc ∈ EA,F ⇐⇒ Ẋc + X ċ = AXc + F ⇐⇒ X ċ = F, так как Ẋ = AX. Согласно следствию 39, при каждом t ∈ I матрица X(t) невырождена, а значит, последнее уравнение в формулировке теоремы однозначно разрешимо относительно неизвестной ċ: t ċ(t) = X −1 (t)F (t) ⇐⇒ c(t) = c(t0) + t0 X −1 (τ)F (τ) dτ t ⇐⇒ X(t)c(t) = X(t)c(t0) + t0 X(t)X −1 (τ)F (τ) dτ, откуда по теореме 50 находим специальное частное решение линейной неоднородной системы (36) t x0 (t) = X(t)X −1 (τ)F (τ) dτ, x0 (t0) = 0, t0 и, прибавив к нему решение соответствующей однородной системы (37), получаем формулу11) вариации постоянной для решения задачи Коши, которую представляет Следствие 51. Решение задачи Коши для линейной неоднородной системы (36) с начальным условием (25) задается формулой t X(t, τ)F (τ) dτ, (42) x(t) = X(t, t0)x0 + t0 где X - оператор Коши соответствующей однородной системы (37). 3.9. Общее решение линейного уравнения I. Обозначим через Φn−1 линейное пространство12) всех скалярных (n − 1) раз дифференцируемых функций f: I → R. 11) Уже 12) В не зависящую от базиса в Rn . его обозначение не входит фикстрованный интервал I. 59 Лемма 52. Каноническая замена (определение 11) осуществляет изоморфизм линейных пространств ψ Φn−1 → ψ Φn−1 ⊂ Φ. Если f1 , f2 ∈ Φn−1 и C1 , C2 ∈ R, то ⎛ C1 f1 + C2 f2 ⎜ C1 f˙1 + C2 f˙2 ψ(C1 f1 + C2 f2) = ⎜ ⎝ ··· (n−1) (n−1) + C2 f2 C1 f1 ⎞ ⎟ ⎟ = C1 (ψf1) + C2 (ψf2), ⎠ поэтому рассматриваемое отображение ψ сохраняет линейные операции, стало быть, образ ψ Φn−1 линейного пространства Φn−1 - тоже линейное пространство, а раз каноническая замена - инъекция13) , то ψ - биекция. II. Для подмножеств Ea,f , Ea ⊂ Φn−1 , состоящих из всех непродолжаемых решений линейного неоднородного уравнения y (n) + a1 (t)y (n−1) + . . . + an (t)y = f (t), y ∈ R, t ∈ I, (43) и соответствующего однородного уравнения y (n) + a1 (t)y (n−1) + . . . + an (t)y = 0, y ∈ R, t ∈ I, (44) где a ≡ (a1 , . . . , an) и a, f ∈ C(I) (теорема 33), справедлив следующий аналог теорем 34 и 48. Теорема 53. Множество Ea - линейное пространство, причем: 1) для любого t0 ∈ I отображение ψt0: y ∈ Ea → (ψy)(t0) ∈ Rn осуществляет изоморфизм линейных пространств Ea и Rn ; 2) для всякого решения y0 ∈ Ea,f справедливо равенство Ea,f = Ea + y0 . 13) См. 60 п. 3 доказательства леммы 27. 1. Отображение ψt0 = (ϕt0 ◦ ψ|Ea): Ea → Rn есть изоморфизм линейных пространств в силу следующих двух обстоятельств: a) если A - матрица линейного уравнения (44) (определение 12), то отображение ψ|Ea: Ea → EA осуществляет изоморфизм линейных пространств, так как мно27) - прообраз линейного жество Ea = ψ −1 (EA) ⊂ Φn−1 (лемма (лемма 52) липодпространства EA ⊂ ψ Φn−1 при изоморфизме n−1 n−1 , а значит, кстати, - тоже и ψ Φ нейных пространств Φ линейное пространство; b) отображение ϕt0: EA → Rn - изоморфизм линейных пространств (теорема 34). 2. В обозначениях определения 12 по лемме 27 и теореме 48 ψ имеем: Ea,f → EA,F - биекция, ψy0 ∈ EA,F и Ea,f = ψ −1 EA,F = ψ −1 (EA + ψy0) = ψ −1 EA + ψ −1 (ψy0) = Ea + y0 . III. Попутно было доказано Следствие 54. Если A - матрица линейного уравнения (44), то отображение ψ Ea → EA осуществляет изоморфизм линейных пространств. Из теоремы 53 получаем Следствие 55. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-го порядка равна n. Определение 16. Любой базис y1 , . . . , yn в пространстве Ea решений линейного однородного уравнения (37) называется фундаментальной системой его решений. Следствие 56. Фундаментальные системы решений линейного однородного уравнения (44) существуют. Если y1 , . . . , yn - 61 фундаментальная система решений однородного уравнения (44), а y0 - частное решение неоднородного уравнения (43), то общие решения этих уравнений имеют, соответственно, вид y = C1 y1 (t) + . . . + Cn yn (t) и y = C1 y1 (t) + . . . + Cn yn (t) + y0 (t). Фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют, например, решения e1 , . . . , yn = ψt−1 en , y1 = ψt−1 0 0 если только t0 ∈ I, а e1 , . . . , en - базис в Rn . Таким образом, как и для линейных систем, общее решение линейного неоднородного уравнения есть общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения. 3.10. Определитель Вронского скалярных функций f1 , . . . , fn ∈ Φn−1 - это функция f1 (t) f˙1 (t) Wf1 ,...,fn (t) = Wψf1 ,...,ψfn (t) = (n−1) f (t) 1 ... fn (t) ... f˙n (t) ··· (n−1) . . . fn (t) , t ∈ I. I. Утверждения о связи определителя Вронского с линейной зависимостью скалярных функций аналогичны соответствующим утверждениям для вектор-функций (см. п. 3.3). Лемма 57. Если функции f1 , . . . , fn ∈ Φn−1 - линейно зависимы, то Wf1 ,...,fn (t) ≡ 0, t ∈ I. Если функции f1 , . . . , fn ∈ Φn−1 - линейно зависимы, то вектор-функции ψf1 , . . . , ψfn - тоже линейно зависимы (лемма 52), поэтому Wf1 ,...,fn = Wψf1 ,...,ψfn = 0 (лемма 37). Обратное к лемме 57, вообще говоря, неверное, утверждение справедливо для решений линейного однородного уравнения, более того, имеет место 62 Теорема 58. Если y1 , . . . , yn ∈ Ea , то следующие утверждения эквивалентны: 1) функции y1 , . . . , yn - линейно зависимы; 2) Wy1 ,...,yn = 0; 3) Wy1 ,...,yn (t0) = 0 для некоторого t0 ∈ I. Настоящая теорема превращается в теорему 38 благодаря тому, что определители Вронского для функций y1 , . . . , yn ∈ Ea и ψy1 , . . . , ψyn ∈ EA совпадают по определению, а высказывания об их линейной зависимости эквивалентны, так как ψ - изоморфизм линейных пространств Ea и EA (следствие 54). II. Формула Лиувилля - Остроградского для линейного однородного уравнения принимает следующий вид. Теорема 59. Для любых решений y1 , . . . , yn ∈ Ea имеет место формула t a (τ) dτ − , t0 , t ∈ I. Wy1 ,...,yn (t) = Wy1 ,...,yn (t0) · e t0 1 Действительно, в силу теоремы 45 и равенства tr A = −a1 , вытекающего из определения (34), имеем t tr A(τ) dτ Wy1 ,...,yn (t) = Wψy1 ,...,ψyn (t) = Wψy1 ,...,ψyn (t0) · e t0 t a (τ) dτ − , t0 , t ∈ I. = Wy1 ,...,yn (t0) · e t0 1 3.11. Восстановление линейного уравнения по фундаментальной системе его решений Чтобы данные n функций образовывали фундаментальную систему некоторого линейного однородного уравнения n-го порядка, необходимо, чтобы они были n раз непрерывно дифференцируемы и их определитель Вронского нигде не обнулялся. Этого и достаточно, как показывает Лемма 60. Если скалярные функции f1 , . . . , fn ∈ Cn (I) удовлетворяют условию Wf1 ,...,fn (t) = 0, t ∈ I, 63 то они образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения n-го порядка f1 (t) 1 (n−1) (t) Wf1 ,...,fn (t) f1 f (n) (t) 1 ... fn (t) ... (n−1) . . . fn (t) (n) ... fn (t) y y (n−1) y (n) = 0. (45) 1. Если разложить определитель (45) по последнему столбцу и, разделив на коэффициент Wf1 ,...,fn (t) = 0 при старшей производной y (n) , приравнять к нулю, то получится линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно y. 2. Каждая из функций fi , i = 1, . . . , n, удовлетворяет полученному уравнению, так как при подстановке y = fi (·) определитель (45) обнуляется. А все вместе они, согласно теореме 58, образуют фундаментальную систему решений. Следствие 61. Если скалярные функции f1 , . . . , fn ∈ Cn−1 (I) удовлетворяют условиям Wf1 ,...,fn (t) = 0, Wf1 ,...,fn−1 (t) = 0, t ∈ I, то они линейно зависимы. Из данных условий вытекает, что функция fn - частное решение линейного однородного уравнения (n−1)-го порядка с фундаментальной системой решений f1 , . . . , fn−1 , а значит, их линейная оболочка содержит эту функцию. 3.12. Метод вариации постоянных для уравнения точнее, линейного неоднородного уравнения (43) n-го порядка, в качестве отправной точки использует формулу ⎞ ⎛ C1 y = y1 (t)C1 +. . .+yn (t)Cn ≡ Y (t)c, c ≡ ⎝ · · · ⎠ , Y ≡ (y1 , . . . , yn), Cn общего решения соответствующего однородного уравнения (44), образуемую по фундаментальной системе его решений y1 , . . . , yn 64 (следствие 56), и состоит в том, чтобы, считая в этой формуле постоянные C1 , . . . , Cn функциями от t, записать для их производных систему специального вида. Теорема 62. Если y1 , . . . , yn - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (44), то для любой вектор-функции c: I → Rn справедливо утверждение ⎧ Y (t)ċ(t) = 0 ⎪ ⎨ ··· (46) t ∈ I, =⇒ Y c ∈ Ea,f . (n−2) ⎪ ⎩ Y (n−1) (t)ċ(t) = 0 (t)ċ(t) = f (t), Y Если A - матрица линейного уравнения (43), а F - его векторная неоднородность (определение 12), то по теореме 50 и лемме 27 из системы (46) получаем (ψy1 , . . . , ψyn)ċ = F =⇒ (ψy1 , . . . , ψyn)c ∈ EA,F =⇒ ψ −1 ((ψy1 , . . . , ψyn)c) ∈ Ea,f =⇒ Y c ∈ Ea,f . Система (46) разрешима относительно неизвестной ċ, так как при каждом t ∈ I матрица ее коэффициентов (ψy1 (t), . . . , ψyn (t)) не вырождена. При n = 1 эта система превращается в одно уравнение y1 (t)Ċ1 = f (t), а при n > 1 - имеет вид ⎧ y1 (t)Ċ1 + . . . + yn (t)Ċn = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ... (n−2) (n−2) (t)Ċ1 + . . . + yn (t)Ċn = 0 ⎪ ⎪ y1 ⎩ (n−1) (n−1) (t)Ċ1 + . . . + yn (t)Ċn = f (t) y1 и является лишь достаточным, но вовсе не необходимым условием того, что функция y0 ≡ y1 C1 +. . .+yn Cn - решение неоднородного уравнения. 3.13. Нули решений уравнения второго порядка I. Изучается вопрос о количестве или частоте нулей всякого ненулевого14) решения линейного однородного уравнения второго 14) Точнее, не тождественно нулевого, всюду ниже - по умолчанию. 65 порядка ÿ + p(t)ẏ + q(t)y = 0, y ∈ R, t ∈ I, p, q ∈ C(I). (47) Свойство нулей решения быть соседними делает корректным15) следующая Лемма 63. Всякое решение уравнения (47) на любом отрезке K ⊂ I имеет лишь конечное число нулей. Пусть, напротив, некоторое ненулевое решение y имеет на отрезке K бесконечно много различных нулей. Тогда некоторая их последовательность t1 , t2 , . . . , скажем, строго возрастая, сходится к некоторому числу t0 ∈ K, и по теореме Ролля на каждом интервале (tk ; tk+1), k ∈ N, существует точка sk , в которой ẏ(sk) = 0, поэтому y(t0) = lim y(tk) = 0, k→∞ ẏ(t0) = lim ẏ(sk) = 0, k→∞ а значит, согласно теореме 28 существования и единственности, решение y совпадет с нулевым решением, имеющим в точке t0 те же начальные условия. Противоречие. II. Если дополнительно предположить, что ṗ ∈ C(I), (48) то при исследовании нулей решений можно без ограничения общности считать, что p = 0, как показывает следующая Лемма 64. Уравнение (47), при условии (48), с помощью некоторой замены y = a(t)z, a(t) = 0, t ∈ I, приводится к виду z̈ + r(t)z = 0, r ∈ C(I). (49) Из равенств y = az, 15) Кстати, 66 ẏ = ȧz + aż, ÿ = äz + 2ȧż + az̈ как раз у нулевого решения нет ни одной пары соседних нулей. получаем, что в левой части уравнения ÿ + pẏ + qy = az̈ + (2ȧ + pa)ż + (ä + pȧ + qa)z коэффициент при ż равен нулю, если 2ȧ + ap = 0 ⇐⇒ a(t) = Ce − 12 t t0 p(τ) dτ , t ∈ I, где C > 0 и t0 ∈ I - фиксированы, причем тогда ap ap2 aṗ ä + pȧ + qa p2 ṗ ȧ = − , ä = − =⇒ r = = q− − ∈ C(I). 2 4 2 a 4 2 3.14. Теорема Штурма или теорема сравнения, позволяет по коэффициентам уравнений ÿ + r(t)y = 0 и z̈ + R(t)z = 0, (50) судить о взаимном расположении нулей их решений и фактически утверждает, что чем больше в уравнении указанного вида коэффициент при неизвестной функции, тем чаще колеблются его решения. Более точно, справедлива Теорема 65. Если коэффициенты уравнений (50) удовлетворяют неравенству r(t) R(t), t ∈ I, (51) то между (нестрого) любыми нулями всякого решения y есть хотя бы один нуль всякого решения z. Пусть решение z не обнуляется ни в одной точке строго между соседними нулями t1 < t2 решения y, тогда обе функции16) y и z имеют на интервале (t1 ; t2) фиксированный знак, скажем для определенности, положительный (если для какого-либо решения это не так, заменим его другим решением, противоположным по знаку): y(t), z(t) > 0, t1 < t < t2 , y(t1,2) = 0, ẏ(t1,2) = 0 16) Непрерывные. 67 (иначе, по теореме 28 существования и единственности, y = 0). Поэтому ẏ(t1) > 0 > ẏ(t2), z(t1,2) 0 и с учетом равенств (R − r)yz = ÿz − yz̈ = (ẏz − yż)· имеем 0 t2 t2 t1 R(t) − r(t) y(t)z(t) dt = ẏ(t)z(t) − y(t)ż(t) t1 = ẏ(t2)z(t2) − ẏ(t1)z(t1) 0, поэтому последнее17) неравенство в цепочке обращается в равенство и z(t1,2) = 0, что и требовалось доказать. Фактически в процессе доказательства теоремы 65 получено более сильное Следствие 66. Если коэффициенты уравнений (50) удовлетворяют неравенству (51) и строго между нулями t1 < t2 решения y нет ни одного нуля решения z, то t1 , t2 - соседние нули обоих решений, причем r(t) = R(t), t1 t t 2 . Следствие 67. Нули всяких двух линейно зависимых решений уравнения (47), удовлетворяющего условию (48), совпадают, а линейно независимых - перемежаются18). 1. Если два решения обнуляются в некоторой общей точке, то они линейно зависимы (так как их определитель Вронского в этой точке равен нулю), следовательно, их нули полностью совпадают. 2. Если же общих нулей у этих двух решений нет, то к ним, как к решениям двух одинаковых уравнений, к которым с помощью леммы 64 приводится исходное уравнение, можно применить теорему 65, согласно которой между (в данном случае строго) нулями одного решения имеется хотя бы один нуль другого. 17) Как, между прочим, и первое. строго между любыми двумя нулями одного решения есть хотя бы один нуль другого решения. 18) Т. е. 68 3.15. Оценки колеблемости I. Из теоремы сравнения 65 выводятся оценки частоты нулей решений уравнения (49). Следствие 68. Если выполнено неравенство r(t) 0, t ∈ I, то на интервале I всякое решение уравнения (49) имеет не более одного нуля. Если неравенство выполнено, но какое-то решение уравнения (49) имеет на интервале I два нуля, то по теореме 65 между ними имеет нуль и всякое решение уравнения z̈ = 0, в частности, решение z = 1, что неверно. Следствие 69. Если для некоторого ω > 0 выполнено неравенство r(t) ω 2 или, наоборот, r(t) ω 2 , t ∈ I, то на интервале I любые соседние нули t1 < t2 всякого решения уравнения (49) удовлетворяют оценке t2 − t1 π/ω или, соответственно наоборот, t2 − t1 π/ω. 1. Расстояние между любыми соседними нулями всякого решения уравнения19) z̈ + ω 2 z = 0 ⇐⇒ z = C1 cos ωt + C1 sin ωt, C1 , C2 ∈ R, ⇐⇒ z = A cos(ωt + ϕ), A, ϕ ∈ R, равно π/ω, причем, подбирая параметр ϕ, можно располагать эти нули в любом наперед заданном месте интервала I. 2. Если выполнено первое из данных неравенств, то соседние нули всякого решения y удовлетворяют первой оценке, так как иначе t1 < t2 < t1 + π/ω и обе точки t1 и t2 лежат внутри некоторого интервала длины π/ω, поэтому решение z с нулями в концах этого интервала не имеет нулей на отрезке , что противоречит теореме 65. 19) С постоянными коэффициентами (см. п. 4.10). 69 3. Если выполнено второе из данных неравенств, то соседние нули всякого решения y удовлетворяют второй оценке, так как иначе t2 > t1 + π/ω и решение с соседними нулями t1 и t2 не имеет нулей на некотором отрезке длины π/ω, концы которого являются нулями некоторого решения z, что противоречит теореме 65. II. Как мы видели (следствие 69), свойство уравнения (49), состоящее в том, что всякое его решение имеет на положительной полуоси бесконечно много нулей, обеспечивается уже отделенностью от нуля положителеного коэффициента r. Следующая теорема Кнезера20) устанавливает, с какой скоростью21) может убывать этот коэффициент к нулю при t → ∞, не нарушая указанного свойства. Теорема 70. Если для данного луча I ≡ (t0 , ∞), t0 > 0, выполнено неравенство r(t) 1 , 4t2 t ∈ I, или, наоборот, для некоторого ε > 0 - неравенство r(t) 1+ε , 4t2 t ∈ I, то на луче I всякое решение уравнения (49) имеет не более одного нуля или, соответственно наоборот, бесконечно много нулей. 1. Обозначим τ = ln t и для каждого δ 0 рассмотрим уравнение22) 1 + 4δ 2 d2 z dz + (1 + 4δ 2)z = 0 z = 0 ⇐⇒ 4 −4 2 2 dτ dτ 4t eτ /2 (C1 cos δτ + C1 sin δτ), δ > 0, ⇐⇒ z = C1 , C2 ∈ R, eτ /2 (C1 + C1 τ), δ = 0, z̈ + имеющее частное решение √ zδ (t) = t · cos(δ ln t), 20) Уточняющая t ∈ I. следствие 68, а в чем-то и следствие 69. в некоторой специальной шкале. 22) Уравнение Эйлера, сводящееся экспоненциальной заменой времени к уравнению с постоянными коэффициентами (см. задачу XII из п. 4.13). 21) Измеренной 70 2. Если выполнено первое из данных неравенств, но какое-то решение y уравнения (49) имеет на луче I два нуля, то по теореме √ 65 между ними имеет нуль и решение z0 (t) = t, что неверно. 3. Если выполнено второе из данных неравенств, то по теореме 65 всякое решение y уравнения (49) имеет нуль между любыми √ нулями решения zδ , δ ≡ 2ε , которых бесконечно много. 3.16. Краевая задача ставится так: по заданной правой части, состоящей из скалярной функции f ∈ C(I) и чисел ϕ1 , ϕ2 ∈ R, найти решение уравнения ÿ + p(t)ẏ + q(t)y = f (t), y ∈ R, t ∈ I, p, q ∈ C(I), (52) удовлетворяющее двум краевым условиям αi y(ti) + βi ẏ(ti) = ϕi , (αi , βi) = (0, 0), ti ∈ I, i = 1, 2, (53) (соответствующая однородная задача - это задача с нулевой правой частью). Краевую задачу назовем корректной23) , если она для любой правой части имеет единственное решение, и некорректной, если для каждой правой части она либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. Заметим, что логически возможна ситуация, когда задача при одних правых частях имеет единственное решение, а при других - нет, т. е. она в смысле данного определения - ни корректна, ни некорректна. Однако описанная ситуация - лишь плод нашей фантазии, как показывает следующая, называемая теоремой об альтернативе, Теорема 71. Краевая задача либо корректна, либо некорректна. Краевые условия (53) накладывают на общее решение y = y0 (t) + C1 y1 (t) + C2 y2 (t), C1 , C2 ∈ R, линейного неоднородного уравнения (52) следующие ограничения αi y0 (ti) + C1 y1 (ti) + C2 y2 (ti) + βi ẏ0 (ti) + C1 ẏ1 (ti) + C2 ẏ2 (ti) = ϕi ⇐⇒ ai C1 + bi C2 = di (i = 1, 2), 23) Обычно в понятие корректности задачи включают также и непрерывную зависимость ее решения от правой части. 71 где коэффициенты в левой части последней системы не зависят от выбора правой части f, ϕ1,2 , так как полностью определяются левой частью краевой задачи и двумя линейно независимыми решениями соответствующего однородного уравнения (52): ai = αi y1 (ti) + βi ẏ1 (ti), bi = αi y2 (ti) + βi ẏ2 (ti), i = 1, 2. Поэтому определитель матрицы последней системы либо всегда24) не равен нулю, либо всегда равен нулю. В первом случае эта система разрешима однозначно, а во втором - наоборот. Следствие 72. Краевая задача корректна тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение. 3.17. Вопросы и задачи для самостоятельного решения I. Какое наименьшее количество решений уравнения (43) нужно знать, чтобы по ним можно было восстановить все остальные его решения, не зная самого уравнения? II. Доказать, что в методе вариации постоянной для уравнения (43): a) импликация, обратная к (46), неверна; b) при выполнении первых (n − 1) равенств системы из левой части импликации (46) последнее равенство равносильно ее правой части. III. Проверить справедливость явной формулы X(t, s) = e t s a(τ) dτ , s, t ∈ I, для оператора Коши линейного однородного уравнения 1-го порядка ẋ = a(t)x, x ∈ R, t ∈ I. С помощью этой формулы и формулы вариации постоянной (42) выразить в случае n = 1 общее решение линейного неоднородного уравнения 1-го порядка через его коэффициенты. 24) Для 72 всех правых частей краевой задачи сразу. IV. Какому операторному уравнению, подобному тому, что приведено в следствии 44, удовлетворяет при каждом фиксированном значении s ∈ I оператор Коши X(s, ·) системы (37) как функция второго аргумента? V. Если функции A: R → End Rn и f: R → Rn - T -периодичны, то и системы (37) и (36) называются T -периодичными, а оператор Коши X(T, 0) линейной однородной системы (37) и его собственные значения называются ее оператором монодромии и мультипликаторами, соответственно. Доказать, что: a) линейная однородная T -периодичная система (37) имеет хотя бы одно ненулевое T -периодичное решение тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее мультипликаторов равен единице; b) линейная неоднородная T -периодичная система (36) имеет единственное T -периодичное решение тогда и только тогда, когда все мультипликаторы соответствующей однородной системы (37) отличны от единицы. VI. Верно ли, что определитель Вронского любых (k − 1) раз дифференцируемых функций f1 , . . . , fk: I → R либо тождественно равен нулю на интервале I, либо нигде на нем не обнуляется? Верно ли это утверждение для решений y1 , . . . , yk ∈ Ea уравнения (44) n-го порядка, где: a) n = k; b) n > k? VII. Проверить, что следующие примеры опровергают обратные утверждения к леммам 37 и 57 при n = 2 (t ∈ R): 1 t , f2 (t) = и f1 (t) = t3 , f2 (t) = |t|3 . f1 (t) = 0 0 VIII. Доказать, что коэффициенты уравнения (44) восстанавливаются по фундаментальной системе его решений однозначно. IX. Доказать, что если определитель Вронского скалярных функций f1 , . . . , fn−1 ∈ Cn (I) не обнуляется ни в одной точке интервала I, то существует такая скалярная функция fn ∈ Cn (I), что определитель Вронского Wf1 ,...,fn также не обнуляется ни в одной точке этого интервала. X. Доказать, что если для некоторого натурального k n скалярные функции f1 , . . . , fn ∈ Cn−1 (I) удовлетворяют при всех 73 t ∈ I условиям Wf1 ,...,fn (t) = 0, . . . , Wf1 ,...,fk (t) = 0, Wf1 ,...,fk−1 (t) = 0 (при k = 1 последнего условия нет), то они линейно зависимы. XI. Доказать, что если k скалярных функций на интервале I являются аналитическими или служат решениями некоторого уравнения (44) n-го порядка, где n k, то тождественное равенство нулю их определителя Вронского на каком-либо интервале J ⊂ I необходимо и достаточно для их линейной зависимости. XII. Может ли какое-либо ненулевое решение уравнения (44) с непрерывными коэффициентами иметь на каком-либо отрезке бесконечно много нулей? XIII. Перемежаются ли нули двух решений уравнения (47), для одного из которых t0 - точка максимума, а для другого - точка минимума? XIV. Доказать, что нули всяких двух линейно зависимых решений любого уравнения (47), даже не удовлетворяющего условию (48), совпадают, а линейно независимых - перемежаются. XV. Имеет ли бесконечно много нулей всякое решение уравнения 1 ÿ + y = 0, t > 0? 4t XVI. Сколько решений имеет задача ÿ + y = f, y(0) = ϕ1 , y(π) = ϕ2 , при: a) f = 0, ϕ1 = 1, ϕ2 = 2; b) f = 1, ϕ1 = 0, ϕ2 = 2? XVII. Верна ли теорема 71 об альтернативе для краевой задачи с теми же краевыми условиями и с линейным неоднородным уравнением не второго, а: a) первого порядка; b) третьего порядка? 74 4. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами 4.1. Экспонента оператора A ∈ End Rn - это оператор, равный, по определению, сумме ряда ∞ eA = I+A+ A2 A3 + +. . . ≡ k (A), 2 6 k (A) ≡ k=1 Ak−1 , (k − 1)! A0 ≡ I. Корректность этого определения доказывает следующая Лемма 73. Ряд экспоненты любого оператора A ∈ End Rn сходится абсолютно, причем для любого ограниченного множества M ⊂ End Rn - равномерно по A ∈ M . Свойство ограниченности множества, а также факт абсолютной и равномерной сходимости ряда, как и собственно сумма, не зависят от нормы в конечномерном пространстве End Rn (лемма 13). Поэтому достаточно доказать утверждение, например, для операторной нормы (банаховой, см. п. 2.4): действительно, если sup A ≡ a < ∞, A∈M то k−1 A ak−1 k (A) = (k − 1)! (k − 1)! = k (a), причем ∞ k (a) = ea , k=1 откуда, по признаку Вейерштрасса, получаем утверждение теоремы. 4.2. Связь экспоненты с линейной однородной системой ẋ = Ax, x ∈ Rn , t ∈ R, (54) (с постоянными коэффициентами) раскрывает Теорема 74. Оператор Коши X системы (54) удовлетворяет равенству X(t, 0) = eAt , t ∈ R. 75 Согласно следствию 44, доказываемое утверждение вытекает из двух фактов: во-первых, eA·0 = E и, во-вторых, ∞ · ∞ ∞ · At · k (At) = k (At) = AeAt , (e) = k (At) = A k=1 k=1 k=1 в силу выкладок1) · k−1 k−2 A t · (At)k−1 (k−2)! = Ak−2 (At), k (At) = = (k − 1)! 0, k 2, k = 1, (почленное дифференцирование исходного ряда2) - законно, так как ряд из производных его членов согласно лемме 73 сходится равномерно на интервале (t − δ; t + δ) при любом δ > 0). Из теоремы 74 с помощью следствия 47 получаем Следствие 75. Столбцы матрицы eAt образуют фундаментальную систему решений системы (54), а экспонента оператора A удовлетворяет равенствам3) eA = X(1, 0), det eA = etr A . 4.3. Комплексификация линейного оператора Пространство Rn естественным образом вкладывется в Cn , а действительный оператор A ∈ End Rn распространяется до комплексного A ∈ End Cn . Определение 17. Под комплексификацией (действительного) пространства Rn будем понимать C-линейное пространство Cn = Rn ⊕ iRn , представляющее собой множество векторов z = x + iy, x, y ∈ Rn , 1) Которые можно было бы и не проводить, если бы заранее была известна их справедливость в случае, когда A - число (т. е. в случае n = 1, в котором (eat)· = aeat), так как для оператора, чисто алгебраически, выкладки те же. 2) Сходящегося. 3) Первое из которых, кстати, можно принять за определение экспоненты оператора A (через оператор Коши системы (54)). 76 с компонентами x = Re z и y = Im z, в котором, помимо покомпонентного равенства, сложения и умножения на действительные числа, заданы также умножение на комплексные числа, основанное на правиле4) i(x + iy) = −y + ix, x, y ∈ Rn , и комплексное сопряжение x + iy = x − iy, Подмножество x, y ∈ Rn . Re Cn ≡ Rn ⊕ i0 ⊂ Cn отождествим с исходным пространством Rn . Комплексификацией (действительного) оператора A ∈ End Rn назовем комплексный оператор A: Cn → Cn , задаваемый равенством A(x + iy) = Ax + iAy, x, y ∈ Rn , а его сужение на множество Re Cn обозначим через Re A. Лемма 76. Пусть Cn - комплексификация пространства Rn , а A - комплексификация оператора A ∈ End Rn . Тогда справедливы утверждения: 1) A ∈ End Cn и Re A = A; 2) Cn - n-мерное C-линейное пространство, причем любой базис в Rn - базис и в Cn , а матрицы операторов A ∈ End Rn и A ∈ End Cn в этом базисе совпадают. 1. Если C = α + iβ, α, β ∈ R и x, y, xj , yj ∈ Rn , j = 1, 2, то A(Cz) = A (αx − βy) + i(αy + βx) = (αAx − βAy) + i(αAy + βAx) = C(Az), z = x + iy, A(z1 + z2) = A (x1 + x2) + i(y1 + y2) = (Ax1 + Ax2) + i(Ay1 + Ay2) = Az1 + Az2 , zj = xj + iyj , (Re A)x = A(x + i0) = Ax + iA0 = Ax. 2. Пусть e1 , . . . , en - базис в Rn и Cj = αj + iβj (j = 1, . . . , n). Тогда: 4) И доопределяемое с помощью аксиом линейного пространства на все остальные комплексные числа. 77 a) любой вектор z ∈ Cn раскладывается по этому базису, так как если Re z = α1 e1 + . . . + αn en и Im z = β1 e1 + . . . + βn en , то z = (α1 e1 + . . . + αn en) + i(β1 e1 + . . . + βn en) = C1 e1 + . . . + Cn en ; b) система векторов e1 , . . . , en - C-линейно независима, так как если C1 e1 + . . . + Cn en = 0, то (α1 e1 + . . . + αn en) + i(β1 e1 + . . . + βn en) = 0 + i0 =⇒ α1 e1 + . . . + αn en = β1 e1 + . . . + βn en = 0 =⇒ αj = βj = 0, откуда Cj = 0, j = 1, . . . , n. Поэтому e1 , . . . , en - базис в Cn , причем Aej = A(ej + i0) = Aej + iA0 = Aej , значит, матрицы операторов A и A одинаковы. 4.4. Комплексификация линейной системы (54) приводит ее к комплексифицированной линейной однородной системе ż = Az, z ∈ Cn , t ∈ R, (55) где Cn и A - комплексификации пространства Rn и оператора A ∈ End Rn соответственно (см. определение 17), а производная комплексной вектор-функции5) z = x+iy вычисляется по формуле ż(t) = lim h→0 x(t + h) − x(t) y(t + h) − y(t) + i lim = ẋ(t) + iẏ(t). h→0 h h Доказательства сформулированных ранее теорем о действительных линейных системах практически дословно переносятся на комплексный случай. В частности, все решения комплексной линейной системы с постоянными коэффициентами определены на всей прямой и образуют n-мерное C-линейное пространство, а ее оператор Коши также совпадает с соответствующей экспонентой (теорема 74). Для множеств EA ≡ EA , Re EA ≡ {Re z(·)| z ∈ EA } 5) Правда, от действительного аргумента, благодаря чему производная определяется лишь R-линейной структурой пространства Cn . 78 справедлива Лемма 77. Если A ∈ End Rn , то EA = Re EA ⊂ EA . 1. Если x ∈ EA , то ẋ = Ax + iA0 = A(x + i0) = Ax =⇒ x ∈ EA , причем Re x = x а значит, x ∈ Re EA , поэтому EA ⊂ Re EA ∩ EA . 2. Если z ∈ EA , то (Re z)· + i(Im z)· = ż = Az = A Re z + iA Im z =⇒ (Re z)· = A Re z, а значит, Re z ∈ EA , поэтому Re EA ⊂ EA и, с учетом доказанного в п. 1, даже Re EA = EA . Следствие 78. Если вектор-функции z1 , . . . , zn - действительны и образуют фундаментальную систему решений для комплексифицированной линейной однородной системы, то и для исходной - тоже. Решения z1 , . . . , zn ∈ Re EA = EA - даже C-линейно независимы, а тем более R-линейно независимы, поэтому образуют базис в EA . 4.5. Жорданова форма матрицы известна из курса алгебры. Эту, вообще говоря, комплексную форму матрицы действительного оператора описывает Теорема 79. Матрица любого оператора A ∈ End Cn , полученного в результате комплексификации оператора A ∈ End Rn , в некотором, называемом жордановым, базисе - жорданова, т. е. имеет клеточно-диагональный вид, причем: 1) каждая жорданова клетка ⎛ ⎞ λ 1 ··· 0 ⎜ . ⎟ ⎜ 0 λ . . . .. ⎟ ⎟ Jλ,m = ⎜ ⎜ . . . ⎟ .. 1 ⎠ ⎝ .. .. 0 0 ··· λ 79 порядка m соответствует некоторому собственному значению λ оператора A и порождается своей подсистемой векторов h1 , . . . , hm жорданова базиса, т. е. образуется как (m × m)-матрица сужения оператора A на линейную оболочку этих векторов; 2) если Jλ,m1 , . . . , Jλ,mj - все клетки, соответствующие собственному значению λ кратности k, то m1 + . . . + mj = k; 3) если λ ∈ R, то каждая клетка Jλ,m - действительная и порождается подсистемой также действительных векторов h 1 , . . . , hm ; 4) если λ ∈ / R, то клетки, соответствующие значениям λ и λ, разбиваются на пары комплексно сопряженных клеток Jλ,m и Jλ,m ≡ Jλ,m , которые порождаются также комплексно сопряженными подсистемами векторов h1 , . . . , hm и h1 , . . . , hm . 4.6. Вычисление экспоненты матрицы оператора A ∈ End Cn (обозначаемой здесь также через A) возможно с помощью теоремы 79 о приведении матрицы к жордановой форме и следующих лемм, благодаря которым матрицу A достаточно привести к жордановой форме и, взяв экспоненту от каждой жордановой клетки, вернуться к исходному базису. ⎞ ⎛ A1 · · · 0 ⎟ ⎜ Лемма 80. Если матрица A = ⎝ ... . . . ... ⎠ - клеточ⎛ e A1 ⎜ но-диагональна, то eA = ⎝ ... 0 ··· .. . ... 0 ··· ⎞ 0 .. ⎟ . . ⎠ Al e Матрица eA вычисляется по определению: ⎛ ∞ ⎞ ⎛ 0 ⎜ k=1 k (A1) · · · ⎟ ∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. k (A) = ⎜ ⎟=⎝ . . . ⎜ ⎟ ∞ k=1 ⎝ ⎠ k (Al) 0 ... k=1 80 Al e A1 .. . 0 ⎞ ··· 0 .. ⎟ . .. . . ⎠ Al ... e Лемма 81. Если AB = BA, то eA+B = eA · eB . Ряды eA = E + A + A3 A2 + + ... 2 6 и eB = E + B + B3 B2 + + ... 2 6 сходятся абсолютно, поэтому ряд, являющийся их произведением, тоже сходится абсолютно, и его члены можно сгруппировать как угодно, например, в однородные суммы E, A + B, (A + B)2 A2 + AB + BA + B 2 A2 B2 = = · E + AB + E · ,..., 2 2 2 2 и чисто алгебраически, как в случае числовых рядов6) , получить ряд для экспоненты суммы eA+B . Лемма 82. При каждом7) t ∈ R справедливо равенство ⎛ e Jλ,m t =e λt ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 t 0 1 .. .. . . 0 0 ··· .. . .. . ··· ⎞ m (t) .. ⎟ . ⎟ ⎟, ⎟ t ⎠ 1 m (t) ≡ tm−1 . (m − 1)! Пусть E - единичная (m×m)-матрица и N ≡ Jλ,m −λE, тогда eJλ,m t = eλtE+tN = eλtE · etN = eλt (E + tN + . . . + m (t)N m−1), так как EN = N E, N ei = ei−1 , где ⎞ δ1i ei = ⎝ · · · ⎠ , i δm ⎛ δji = 1, j = i, 0, j = i, 6) Например, последнее из выписанных равенств существенно опирается на возможность переставлять местами (как числа) множители A и B в произведении BA. 7) Для решения задачи о вычислении экспоненты матрицы достаточно установить настоящее утверждение лишь при t = 1. 81 поэтому N k ei = ei−k , N m = 0 и ⎛ k нулей 0 ⎜ .. ⎜ . ⎜ k N = (e1−k , . . . , em−k) = ⎜ ⎜ 0 ⎜ . ⎝ .. 0 !" # ⎞ ··· 1 ··· 0 . ⎟ .. .. . . .. ⎟ ⎟ 0 1 ⎟ ⎟. .. ⎟ .. . . ⎠ ··· 0 ··· 0 (56) Лемма 83. Если A = LBL−1 , то eA = LeB L−1 . Действительно, имеем ∞ ∞ ∞ (LBL−1)k−1 A =L k (A) = k (B) L−1 = LeB L−1 . e = (k − 1)! k=1 k=1 k=1 4.7. Решение системы с помощью жордановой формы предполагает нахождение жорданова базиса и жордановой формы матрицы линейной однородной системы с постоянными коэффициентами с последующим построением по ним фундаментальной системы решений. Теорема 84. Пусть A ∈ End Rn , тогда фундаментальная система решений: 1) комплексифицированной линейной системы (55) получается в результате слияния одну систему всех функций, которые строятся по жордановой форме матрицы A и соответствующему жорданову базису следующим образом: каждой жордановой клетке Jλ,m , порожденной подсистемой векторов h1 , . . . , hm жорданова базиса, ставится в соответствие подсистема функций z1 = eλt h1 , z2 = eλt (h2 + th1), . . . , zm = eλt (hm + . . . + m (t)h1) . 2) 8) действительной линейной системы (54) строится аналогично предыдущему пункту теоремы, но со следующим изменением: в случае λ ∈ / R каждые две подсистемы по m функций, 8) Здесь 82 фундаментальная система - уже действительных решений. построенные по паре комплексно сопряженных клеток Jλ,m и Jλ,m , заменяются одной подсистемой из 2m действительных функций x1 = Re z1 , y1 = Im z1 , . . . , xm = Re zm , ym = Im zm . 1. Согласно теореме 74, eAt - оператор Коши линейной системы (55), поэтому решения9) zj = eAt hj = eλt (hj + thj−1 + . . . + j−1 (t)h1) , j = 1 . . . , m, построенные по каждой жордановой клетке и взятые все вместе, образуют фундаментальную систему решений, так как векторы hj , взятые все вместе, образуют базис в Rn . 2. В построенной в п. 1 фундаментальной системе решений каждую пару комплексных решений zj , zj (j = 1 . . . , m) можно заменить парой действительных функций xj = zj + zj , 2 yj = zj − zj , 2i являющихся C-линейными комбинациями решений, а значит, также решениями и имеющих ту же C-линейную оболочку, так как zj = xj + iyj , zj = xj − iyj . В итоге получится снова базис в EA , а значит, и в EA (поскольку он состоит только из действительных функций; следствие 78). 4.8. Квазимногочлены степени k 0 с показателем λ ∈ C - это любые функции вида q(t) = eλt pk (t), где pk - многочлен степени k над полем R или C. Множество всех действительных или комплексных квазимногочленов степени, меньшей k, с показателем λ обозначим через Qλ,k или, соответственно, через Qλ,k , а множество всех вектор-функций со значениями в Rn , все координаты которых в некотором10) базисе - 9) Задаваемые соответствующими столбцами матрицы оператора eAt в том базисе, в котором матрица оператора A - жорданова. 10) А значит, в любом. 83 такие квазимногочлены, обозначим через Qnλ,k или, соответственно, через Qnλ,k . Кроме того, для чисел α, β ∈ R любую функцию из множества Qnα±iβ,k ≡ {q1 (t) cos(βt) + q2 (t) sin(βt)| q1,2 ∈ Qnα,k } будем также называть квазимногочленом степени k 0, но с парой комплексно сопряженных показателей α ± iβ. Лемма 85. Каждое из множеств Qnλ,k есть C-линейное пространство, а каждое из множеств Qnλ,k , Qnα±iβ,k - R-линейное пространство, причем dim Qλ,k , dim Qλ,k k, dim Qα±iβ,k 2k, (57) n n n n n Re Qλ,k , Re Qλ,k ⊂ QRe λ±i Im λ,k ⊂ Qλ,k + Qλ,k , (58) а при m k справедливы включения Qλ,m ⊂ Qλ,k , Qλ,m ⊂ Qλ,k , Qα±iβ,m ⊂ Qα±iβ,k . Обозначим α = Re λ, β = Im λ. 1. Неравенства (57) получаются из того факта, что участвующие в них пространства натянуты, соответственно, на следующие системы11) функций: eλt , eλt t, . . . , eλt tk−1 ; e αt αt k−1 cos βt, . . . , e t cos βt, e αt (59) αt k−1 sin βt, . . . , e t sin βt. (60) 2. Включения (58) вытекают из формул Эйлера e(α±iβ)t = eαt (cos βt ± i sin βt), iβt −iβt iβt −iβt cos βt = e +e , sin βt = e −e . 2 2i 3. Остальные включения леммы вытекают прямо из определения квазимногочленов. 11) Линейно независимые (правда, последняя - только при β = 0); см. следствие 88 ниже. 84 4.9. Метод неопределенных коэффициентов представляет собой один из возможных методов решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами, согласно которому в систему подставляется выражение определенного вида, но с неопределенными коэффициентами. Этому методу посвящена Лемма 86. Если λ1 , . . . , λl - все попарно различные собственные значения оператора A ∈ End Rn , а m1 , . . . , ml - наибольшие порядки соответствующих им жордановых клеток, то EA ⊂ l Qnλj ,mj . j=1 Если, кроме того, первые r чисел λj , j = 1, . . . , r, - действительные, а остальные 2p = l − r чисел разбиваются на p пар комплексно сопряженных, т. е. λj = λj+p = αj + iβj то EA ⊂ r j=1 (βj = 0), Qnλj ,mj + r+p j = r + 1, . . . , r + p, Qnαj ±iβj ,mj . j=r+1 1. Добавим к приведенному набору из l жордановых клеток наибольших порядков, соответствующих всем различным собственным значениям матрицы оператора A, все остальные клетки с номерами j = l + 1, . . . , l . В соответствии с полным набором клеток получаем разложение пространства решений EA в прямую сумму подпространств E A = F 1 ⊕ . . . ⊕ F l , где каждое из подпространств Fj размерности mj есть C-линейная оболочка подсистемы функций z1 , . . . , zmj ∈ Qnλj ,mj , определенной в формулировке теоремы 84 и включенной в фундаментальную систему решений. Тогда из включений Fj ⊂ Qnλj ,mj получаем цепочку EA ⊂ Qnλ1 ,m1 + . . . + Qnλl ,ml ⊂ Qnλ1 ,m1 + . . . + Qnλl ,ml 85 (каждое из подпространств Qnλj ,mj , j > l, отброшено, так как оно содержится в одном из первых l подпространств, соответствующем тому же собственому значению; см. лемму 85). 2. Из предыдущего пункта с учетом лемм 77 и 85 имеем r+p r EA = Re EA ⊂ Re Qnλj ,mj + Re Qnλj ,mj + Qnλ ,m j=1 r ⊂ j=1 Qnλj ,mj + j=r+1 r+p Qnαj ±iβj ,mj . j=r+1 j j 4.10. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = 0, y, t ∈ R, a1 , . . . , an ∈ R, (61) при комплексификации переходит в комплексифицированное линейное однородное уравнение z (n) + a1 z (n−1) + . . . + an z = 0, z ∈ C, t ∈ R, (62) множество решений которого будем обозначать через Ea . Для комплексного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами также справедливы теоремы, доказанные ранее лишь в действительном случае, в частности, все его решения определены на всей прямой и образуют C-линейное пространство, причем Ea = ψ −1 (EA), где A - матрица уравнения (61) (определение 12). Теорема 87. Если A - матрица уравнения (61), а λ1 , . . . , λl - все ее попарно различные собственные значения кратностей k1 , . . . , kl соответственно, то Ea = l Qλj ,kj . j=1 Если, кроме того, первые r чисел λj , j = 1, . . . , r, - действительные, а остальные 2p = l − r чисел разбиваются на p пар комплексно сопряженных, т. е. λj = λj+p = αj + iβj 86 (βj = 0), j = r + 1, . . . , r + p, то Ea = r r+p Qλj ,kj + j=1 Qαj ±iβj ,kj . j=r+1 1. Если m1 , . . . , ml - наибольшие порядки жордановых клеток, соответствующих числам λ1 , . . . , λl , то в силу леммы 86 имеют место включения Ea = ψ −1 (EA) ⊂ Ea = ψ −1 (EA) ⊂ r j=1 l j=1 Qλj ,mj + Qλj ,mj , r+p j=r+1 Qαj ±iβj ,mj . 2. Из первого включения получаем цепочку n = dim Ea l dim Qλj ,mj j=1 l mj j=1 l kj = n, j=1 в которой все неравенства, а с ними и исходное включение, обращаются в равенства, причем mj = kj , j = 1, . . . , l. 3. Аналогично, с аналогичными же последствиями, из второго включения получаем цепочку n = dim Ea r j=1 mj + r j=1 r+p dim Qλj ,mj + j=r+1 2mj = l j=1 r+p j=r+1 mj Qαj ±iβj ,mj l kj = n. j=1 Следствие 88. Все суммы пространств квазимногочленов, фигурирующие в формулировке теоремы 87, - прямые. В частности, все неравенства (57), последнее из которых - только при β = 0, обращаются в равенства, а если n = 1 и λ ∈ / R, то сумма во включениях (58) - прямая. Фигурирующие в теореме 87 суммы - прямые, так как в каждой из них сумма размерностей слагаемых равна размерности суммы. 87 Следствие 89. Фундаментальная система: 1) решений комплексифисированного уравнения (62) получается в результате слияния в одну систему всех функций, которые строятся по собственным значениям его матрицы следующим образом: каждому собственному значению λ кратности k ставится в соответствие подсистема функций (59); 2) действительных решений действительного уравнения (61) строится аналогично предыдущему пункту следствия, но со следующим изменением: в случае λ ∈ / R две подсистемы по k функций, построенные по паре комплексно сопряженных собственных значений λ = α ± iβ, заменяются одной подсистемой (60) из 2k действительных функций. 4.11. Характеристический многочлен линейного уравнения (61) с постоянными (действительными) коэффициентами - это многочлен L(λ) = λn + a1 λn−1 + . . . + an . I. Очередную связь между линейным уравнением и его матрицей A (определение 12), упрощающую нахождение ее собственных значений, раскрывает Лемма 90. Характеристический многочлен линейного уравнения (61) с постоянными коэффициентами совпадает с характеристическим многочленом det(λE − A) матрицы этого уравнения. Доказательство проведем индукцией по степени n ∈ N характеристического многочлена. 1. При n = 1 имеем det(λE − A) = λ + a1 = L(λ). 2. Если утверждение уже доказано для многочленов степени n − 1, то, разложив определитель по первому столбцу, получим 88 требуемое det(λE − A) = λ = λ 0 0 an−1 .. .. . 0 . −1 ··· λ · · · a2 λ 0 0 0 an 0 0 −1 λ + a1 −1 ··· 0 0 .. . 0 λ 0 .. . −1 0 0 0 ··· λ −1 an−1 · · · a2 λ + a1 −1 · · · .. . + (−1)n−1 an λ . .. 0 0 ··· 0 0 0 −1 0 λ −1 0 = λ(λn−1 + a1 λn−2 + . . . + an−1) + (−1)n−1 · (−1)n−1 an = L(λ). II. Пусть Φ∞ - линейное пространство скалярных бесконечно дифференцируемых функций на R. Если оператор дифференцирования d ∞ : Φ → Φ∞ dt обозначить через D, а тождественный оператор D0 - через I, то тот же характеристический многочлен L, взятый не от λ, а от D, и имеющий вид L(D) ≡ Dn + a1 Dn−1 + . . . + an−1 D1 + an I, будет также линейным оператором L(D): Φ∞ → Φ∞ , а уравнение (61) запишется в виде L(D)y = 0. При взятии многочленов от оператора D произведение многочленов превращается в композицию операторов12), что и утверждает следующая Лемма 91. Если L(λ) = M (λ) · N (λ), то L(D) = M (D) · N (D). Достаточно проверить свойства: 1) (M1 + M2)(D) · N (D) = M1 (D) · N (D) + M2 (D) N (D), 2) (aDi) · (N1 + N2)(D) = (aDi) · N1 (D) + (aDi) · N2 (D), i 0, 12) Которая, таким образом, не зависит от порядка сомножителей-многочленов и которую мы можем обозначать по-прежнему, точкой. 89 3) (aDi) · (bDj) = (ab)Di+j , i, j 0, последовательным применением которых получается требуемое равенство. 4.12. Уравнение с квазимногочленом в правой части I. Множество всех комплексных решений линейного неоднородного уравнения z (n) + a1 z (n−1) + . . . + an z = f (t), z ∈ C, t ∈ R, (63) с постоянными коэффициентами обозначим через Ea,f . Неоднородность линейного неоднородного комплексного13) уравнения можно разбивать на слагаемые14) и работать с каждым из них отдельно, как показывает следующая Лемма 92. Если f = f1 + . . . + fl и zj ∈ Ea,fj при j = 1, . . . , l, то z1 + . . . + zl ∈ Ea,f . Действительно, из равенств L(D)zj = fj , имеем j = 1, . . . , l, L(D)(z1 + . . . + zl) = f1 + . . . + fl = f. II. Для каждого R-линейного или C-линейного пространства Q... или Q... действительных или, соответственно, комплексных квазимногочленов (п. 4.8) обозначим Q...,k ≡ {tk q(t)| q ∈ Q... }, Q...,k ≡ {tk q(t)| q ∈ Q... }. Определение 18. Пусть неоднородность f линейного неоднородного уравнения (63) есть квазимногочлен с показателем μ или с парой показателей α ± iβ. Тогда будем говорить, что: - имеет место резонанс кратности k в случае, если число μ или, соответственно, каждое из чисел α ± iβ является k-кратным 13) Или ми. 14) По 90 действительного, причем не только с постоянными коэффициента- своему усмотрению. корнем характеристического многочлена соответствующего однородного уравнения; - резонанса нет или, что то же, его кратность равна 0 - в противном случае. Частное решение уравнения (63) с квазимногочленом в правой части ищется однозначно в специальном виде, который описывает Теорема 93. Для любой неоднородности f ∈ Qμ,m существует единственное решение z0 , удовлетворяющее условию z0 ∈ Ea,f ∩ Qμ,m,k , где k - кратность резонанса. 1. Характеристический многочлен соответствующего однородного уравнения представляется в виде L(λ) = (λ − μ)k · M (λ), где M (μ) = 0. 2. Достаточно доказать, что линейный оператор15) L(D) = M (D) · (D − μI)k осуществляет биекцию пространства Qμ,m,k в пространство Qμ,m: Qμ,m,k (D−μI)k −→ M(D) Qμ,m −→ Qμ,m . 3. Матрица оператора D: Qμ,m+k → Qμ,m+k в базисе ej , j = 1, . . . , m + k, ej (t) ≡ eμt j (t), j (t) ≡ tj−1 , (j − 1)! есть жорданова клетка Jμ,m+k = μE + N , поскольку Dej = D eμt j (t) = μ eμt j (t) +eμt j−1 (t) = μej +ej−1 (0 = 0). 4. Матрица оператора (D − μI)k: Qμ,m+k → Qμ,m+k 15) Точнее, его сужение, и ниже - тоже. 91 имеет вид (56), поэтому оператор (D − μI)k: Qμ,m,k → Qμ,m - биекция. 5. Аналогично, матрица оператора D: Qμ,m → Qμ,m в базисе ej (j = 1, . . . , m) есть также жорданова клетка Jμ,m , а значит, матрица оператора M (D) в том же базисе - треугольная с числами M (μ) = 0 на диагонали16) . Поэтому оператор M (D): Qμ,m → Qμ,m - также биекция. III. Если неоднородность и коэффициенты левой части уравнения (63) - действительны, то имеет смысл искать действительное частное решение, и это позволяет сделать Следствие 94. Пусть aj ∈ R, j = 1, . . . , n, тогда если μ ∈ R, то для любой неоднородности f ∈ Qμ,m существует единственное решение y0 , удовлетворяющее условию y0 ∈ Ea,f ∩ Qμ,m,k , а если α, β ∈ R, причем β = 0, то для любой неоднородности f ∈ Qα±iβ,m существует единственное решение y0 , удовлетворяющее условию y0 ∈ Ea,f ∩ Qα±iβ,m,k , где17) k - кратность резонанса. 1. Если f - действительная функция и z0 ∈ Ea,f , то y0 ≡ Re z0 ∈ Ea,f , так как L(D)y0 = L(D) Re z0 = Re L(D)z0 = Re f = f. 16) При перемножении верхне-треугольных матриц их диагонали почленно перемножаются - чисто алгебраический факт. 17) В обоих случаях. 92 2. Если μ ∈ R и f ∈ Qμ,m ⊂ Qμ,m , то по теореме 93 существует частное решение z0 ∈ Qμ,m,k , а значит, y0 ∈ Qμ,m,k и y0 ∈ Ea,f ∩ Qμ,m,k , причем такое решение y0 , согласно теореме 93, единственно. 3. Если же μ = α + iβ ∈ / R и f ∈ Qα±iβ,m ⊂ (Qμ,m ⊕ Qμ,m), то по теореме 93 существует частное решение z0 ∈ (Qμ,m,k + Qμ,m,k), а значит, y0 ∈ Qα±iβ,m,k и y0 ∈ Ea,f ∩ (Qμ,m,k + Qμ,m,k) , причем такое решение y0 единственно, поскольку оператор L(D): Qμ,m,k ⊕ Qμ,m,k → Qμ,m ⊕ Qμ,m - биекция, так как, согласно теореме 93, он осуществляет взаимно-однозначное соответствие между каждым слагаемым первой прямой суммы и соответствующим слагаемым второй (см. следствие 88). 4.13. Вопросы и задачи для самостоятельного решения I. Пусть A ∈ End Cn - комплексификация действительного оператора, который в некотором базисе e1 , . . . , en ∈ Rn записывался матрицей A. Если овеществить пространство Cn , рассмотрев его как R-линейное пространство18) размерности 2n, то каким в этом пространстве должен быть естественный базис? Если после этого овеществить оператор A, рассмотрев его как линейный оператор в овеществленном пространстве Cn , то какова матрица этого оператора в естественном базисе? II. Доказать, что множество EA решений комплексифицированной линейной однородной системы (55) представляется в виде EA = EA + iEA , где EA - множество решений исходной (действительной) линейной однородной системы (54). 18) Т. е. сохранив в нем умножение лишь на действительные числа и забыв про комплексные. 93 III. Найти eA , где A= a b −b a a, b ∈ R. , IV. Привести пример операторов A и B, для которых eA+B = eA · eB . Обратимо ли утверждение леммы 81? V. Справедлива ли явная формула X(t, s) = e t s A(τ) dτ для оператора Коши линейной однородной системы (37)? VI. Зная семейство матриц Коши X(t, s), t, s ∈ R, системы (54), найти матрицу A. VII. Логарифм ln A оператора A ∈ End Cn определяется как любой из операторов19) B ∈ End Cn , удовлетворяющий равенству eB = A, Доказать, что любой невырожденный оператор имеет логарифм, а вырожденный - нет. Найти все значения ln A, где a 0 A= , a ∈ R \ {0}. 0 a VIII. Доказать теорему Флоке - Ляпунова (см. задачу V из п. 3.17): если функция A: R → End Cn - T -периодична, то для некоторой T -периодичной оператор-функции20) L ∈ C1 (R) с помощью замены переменной x на y = L(t)x система (37) приводима к системе с постоянными коэффициентами 1 ẏ = By, B = ln X(T, 0). T 19) Который в пространстве End Cn находится неоднозначно. при каждом t ∈ R. 20) Невырожденной 94 IX. Доказать, что любая система функций, получаемая объединением подсистем (59) для различных значений λ = λ1 , λ2 , . . . , λr с соответствующими им значениями k = k1 , k2 , . . . , kr и подсистем (60) для различных пар (α, β) = (αr+1 , βr+1), (αr+2 , βr+2), . . . , (αr+p , βr+p), β = 0, с соответствующими им значениями k = kr+1 , kr+2 , . . . , kr+p , - линейно независима. X. Доказать, что в жордановой форме матрицы уравнения (61) каждому собственному значению соответствует ровно одна жорданова клетка, порядок которой равен кратности этого значения. XI. Верно ли, что если aj ∈ R (j = 1, . . . , n), μ ∈ R и неоднородность f - есть квазимногочлен степени m с показателем μ, то существует частное решение y0 ∈ Ea,f , являющееся квазимногочленом с тем же показателем степени именно m + k, где k - кратность резонанса? XII. Доказать, что замена переменной t на τ = ln |t| приводит уравнение Эйлера21) tn y (n) + a1 tn−1 y (n−1) + . . . + an−1 tẏ + an y = 0, y ∈ R, к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами и характеристическим многочленом L(λ) = ln (λ) + a1 ln−1 (λ) + . . . + an−1 l1 (λ) + an l0 (λ), где l0 (λ) ≡ 1, lk (λ) ≡ lk−1 (λ)(λ − (k − 1)), k ∈ N. 21) Уравнение вырождается при t = 0, поэтому рассматривается отдельно при t > 0 и при t < 0. 95 Сергеев Игорь Hиколаевич Лекции по дифференциальным уравнениям. I семестр Учебное пособие Оригинал макет изготовлен издательской группой механико-математического факультета МГУ Подписано в печать 4.1.2004 г. Формат 60×90/16 Объем 6 п. л. Заказ 2 Тираж 200 экз. Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, г. Москва, Воробьевы горы. Лицензия на издательскую деятельность ИД №04059 от 20.2.2001 Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А. М. Ляпунова 96
